基于Gauss羽流模型低階預(yù)估旋流燃燒室中守恒標(biāo)量的空間分布*

吳子恒, 張 弛, 張世紅, 王柏森

(北京航空航天大學(xué) 航空發(fā)動機(jī)研究院 航空發(fā)動機(jī)氣動熱力國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 102206)

0 引 言

隨著先進(jìn)燃?xì)廨啓C(jī)性能提升,其對燃燒室高效穩(wěn)定燃燒和高出口溫度場品質(zhì)的需求也在增加[1],對渦輪葉片可靠性與壽命也具有重要意義．燃燒室內(nèi)復(fù)雜的旋流流動和油氣混合是影響燃燒高溫區(qū)和出口溫度分布的關(guān)鍵因素,空氣通過頭部旋流器進(jìn)入到火焰筒中,與燃料混合燃燒后產(chǎn)生局部高溫區(qū),其在旋流作用下在下游發(fā)生遷移,影響燃燒室出口溫度分布的不均勻性．為了改善燃燒室出口溫度場品質(zhì),通過頭部旋流流動和燃料-空氣混合方法來控制旋流燃燒局部高溫區(qū)的生成具有重要意義．混合分?jǐn)?shù)是表征燃料-空氣混合效果的守恒標(biāo)量[2],其三維空間分布對于燃?xì)廨啓C(jī)燃燒室混合設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義．混合分?jǐn)?shù)也是燃燒室湍流燃燒建模的關(guān)鍵參考標(biāo)量,如概率密度函數(shù)輸運(yùn)(PDF)[3]、條件矩(CMC)[4]、層流小火焰等模型[5]通過混合分?jǐn)?shù)構(gòu)建小尺度混合模型或基于溫度、組分與混合分?jǐn)?shù)的關(guān)聯(lián)函數(shù)封閉湍流-火焰的相互作用．國內(nèi)外學(xué)者利用非接觸光學(xué)測量了簡單典型燃燒器的混合分?jǐn)?shù)[6-8],然而目前還無法準(zhǔn)確測量復(fù)雜非典型燃燒器的混合分?jǐn)?shù)場,且通過實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)燃燒室設(shè)計成本高、效率低,測試方案數(shù)量有限,參數(shù)顆粒度跨度大,對方案的精細(xì)化尋優(yōu)難度極大[9]．燃?xì)廨啓C(jī)燃燒室等復(fù)雜燃燒器的混合分?jǐn)?shù)場空間分布往往通過三維數(shù)值仿真獲得．Kim等[10]采用Reynolds時均(RANS)數(shù)值模擬方法探究了不同入口速度和當(dāng)量比條件下直葉片和扭曲葉片旋流對燃料-空氣混合和燃燒特性的影響．Lv等[11]通過大渦模擬(LES)方法研究了燃料-空氣混合和分級旋流火焰燃燒穩(wěn)定性．Steinhausen等[12]消耗了1 800萬核時(計算時處理器核心數(shù)量乘以小時數(shù)),通過直接數(shù)值模擬(DNS)的方法,采用詳細(xì)化學(xué)反應(yīng)機(jī)理,研究了湍流火焰-壁面的相互作用．目前三維數(shù)值模擬方法廣泛應(yīng)用于燃燒室混合、燃燒高溫區(qū)、出口溫度分布評估和氣動設(shè)計的過程中,但對于復(fù)雜燃燒器,存在算不動、算不起的問題,這對燃燒室方案設(shè)計的迭代效率產(chǎn)生很大的影響．低階預(yù)估模型可以規(guī)避上述劣勢,目前鮮有對于燃燒室混合分?jǐn)?shù)場低階預(yù)估的研究．發(fā)展混合分?jǐn)?shù)場的低階預(yù)估模型,以加速燃料-空氣混合策略的評估和燃燒室參數(shù)化設(shè)計過程,具有很高的工程應(yīng)用價值．

Gauss羽流模型可以用來描述點(diǎn)源在主流來流中的擴(kuò)散過程[13]．Sánchez-Sosa等[14]將Gauss羽流模型應(yīng)用于移動機(jī)器人室內(nèi)氣體源定位．李萬莉[15]將Gauss羽流模型應(yīng)用到了復(fù)雜地形下天然氣泄露這一場景,對模型進(jìn)行了校驗(yàn)．目前,鮮有研究將Gauss羽流模型應(yīng)用于燃燒室中湍流燃燒混合過程的預(yù)測．傳統(tǒng)Gauss羽流模型沒有考慮徑向?qū)α鲗旌线^程的影響,且不能應(yīng)用于存在旋流來流、多點(diǎn)源和限制域壁面的場景．

本文從混合分?jǐn)?shù)控制方程出發(fā),同時考慮了標(biāo)量的對流與擴(kuò)散,推導(dǎo)出考慮對流影響的Gauss煙團(tuán)方程,從而得到了考慮對流影響的Gauss羽流模型．進(jìn)一步考慮了旋流來流和多點(diǎn)源場景,發(fā)展了鏡像反射模型來模擬壁面-羽流霧相互作用,并引入相關(guān)修正來確保質(zhì)量守恒,將新推導(dǎo)的Gauss羽流模型應(yīng)用于甲烷旋流燃燒室混合分?jǐn)?shù)場的低階預(yù)測．對甲烷旋流燃燒室開展三維數(shù)值仿真計算,獲得了數(shù)值收斂的混合分?jǐn)?shù)場數(shù)據(jù)庫．采用最小二乘法對模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,在寬范圍條件下驗(yàn)證了模型的的預(yù)測精度．

1 理 論 模 型

1.1 模型推導(dǎo)

圖1所示為點(diǎn)源釋放氣體在直流空氣來流速度U=(u,v,w)條件下、開放空間中的發(fā)展示意圖,針對該過程開展模型推導(dǎo),對Gauss羽流模型進(jìn)行二次發(fā)展．點(diǎn)源來流在空氣來流輸運(yùn)過程中,守恒標(biāo)量混合分?jǐn)?shù)ξ的控制方程可以寫為

圖1 點(diǎn)源釋放氣體在直流空氣來流中的發(fā)展示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the development of a point source releasing gas in a straight air stream

(1)

其中ρ為密度,D為擴(kuò)散系數(shù)[16],在Gauss羽流模型中兩者均假設(shè)為定值,根據(jù)來流工況確定．將ρξ記為C(x,y,z,t),引入三個方向速度分量u,v,w,同樣滿足Gauss羽流模型假設(shè),u,v,w為定值．式(1)可以寫為

(2)

(3)

其中F為Fourier變換,i為虛數(shù)單位．

進(jìn)一步解析式(3)得[18]

(4)

通過Fourier逆變換獲得

C(x,y,z,t)=F-1[F(λ1,λ2,λ3,t)]=

(5)

基于式(4),定義函數(shù)G(λ1,λ2,λ3,t):

(6)

設(shè)函數(shù)g(x,y,z,t)的Fourier變換為G(λ1,λ2,λ3,t),即

F[g(x,y,z,t)]=G(λ1,λ2,λ3,t)．

(7)

在t=0 s時刻,上述定義的Fourier變換函數(shù)為

F(λ1,λ2,λ3,0)=F[C(x,y,z,0)]．

(8)

根據(jù)Fourier卷積定理[19],對于任意函數(shù)f和h有

f*h=F-1[F(f)·F(h)]．

(9)

其中*表示卷積運(yùn)算．

根據(jù)式(5)—(9),可以推導(dǎo)獲得

C(x,y,z,t)=C(x,y,z,0)*g(x,y,z,t)．

(10)

為獲得C(x,y,z,t)的解析式,則需要求解函數(shù)g(x,y,z,t):

g(x,y,z,t)=F-1[G(λ1,λ2,λ3,t)]=

(11)

由式(10)和(11)可得

(12)

(13)

式(13)便是考慮對流影響的Gauss煙團(tuán)方程(Gaussian puff equation)．

需要說明的是:式(13)表征點(diǎn)源瞬態(tài)釋放的氣體的空間分布．若要得到式(13)的等效三維穩(wěn)態(tài)方程,即考慮徑向?qū)α饔绊懙腉auss羽流模型,可將點(diǎn)源上游來流空間離散為厚度為dx的薄板,并對每個薄板采用Lagrange觀點(diǎn)進(jìn)行分析[21]．圖2為將來流離散為薄板掃略點(diǎn)源的示意圖．

圖2 將來流離散為薄板掃略點(diǎn)源的示意圖Fig. 2 Schematic diagram of discretizing the flow stream into thin sheets sweeping the point source

參考式(2),離散薄板上的二維輸運(yùn)方程為

(14)

參考式(3)—(13)的推導(dǎo)過程可得到

(15)

(16)

式(16)可表征不同軸向位置薄板上的濃度分布．每個薄板厚度為dx,將式(16)除以dx,即可得到三維穩(wěn)態(tài)空間分布,即考慮徑向?qū)α鞯腉auss羽流模型

(17)

Gauss羽流模型的有效范圍為x軸下游x≥x0．基于C=ρξ,同時考慮點(diǎn)源處混合分?jǐn)?shù)ξ上限為1,將式(17)進(jìn)一步變換為

(18)

其中a,b為待定模型參數(shù)．

如圖3所示,當(dāng)考慮旋流來流的影響時,該點(diǎn)源位置y和z方向上的速度分量v和w分別記為

圖3 點(diǎn)源釋放氣體在旋流空氣來流中的發(fā)展簡圖Fig. 3 Schematic diagram of the development of a point source releasing gas in a swirling air stream

v=vc,

(19)

w=wc．

(20)

由于燃燒室實(shí)際的燃燒室燃料噴射方式存在一個噴嘴具有多個燃料噴射點(diǎn)的情況,因此需要發(fā)展多點(diǎn)源模型,以圖4所示三點(diǎn)源為例．通過“像源法”[15]建模,引入鏡像羽流(mirror-image plume)[21]對應(yīng)的虛擬等效“點(diǎn)源”,對壁面-羽流相互作用建模．

圖4 多點(diǎn)源釋放氣體在旋流空氣來流中的發(fā)展和鏡像反射模型示意圖Fig. 4 Schematic diagram of the development of multi-point sources releasing gas in a swirling air stream and the mirror reflection model

若引入N個點(diǎn)源,則點(diǎn)源k處y和z方向上的速度分量分別為

vk=vc,k,

(21)

wk=wc,k．

(22)

由此可獲得由多點(diǎn)源表征的混合分?jǐn)?shù)場預(yù)估模型

(23)

其中(x0,y0+pk,z0+qk)為點(diǎn)源的位置．引入多點(diǎn)源的同時會產(chǎn)生質(zhì)量守恒的問題[21],為了模型在預(yù)估混合分?jǐn)?shù)場的同時保證質(zhì)量守恒,并將混合分?jǐn)?shù)限定于0≤ξ(x,y,z)≤1,可將式(23)修正為

(24)

m為待定參數(shù)．由于燃燒室限制域的影響,最小混合分?jǐn)?shù)為非0定值,進(jìn)一步引入燃燒室下游混合分?jǐn)?shù)邊界ξfinal,得到

(25)

α,β為待定參數(shù),x′為基于燃燒室長度的無量綱軸向距離．

2 三維數(shù)值仿真數(shù)據(jù)

2.1 模型燃燒室

圖5所示為甲烷旋流燃燒室?guī)缀谓Y(jié)構(gòu)圖,其基于GT2500燃?xì)廨啓C(jī)燃燒室頭部旋流方案構(gòu)建．火焰筒長為345 mm,直徑為77 mm,旋流器分內(nèi)外兩級,內(nèi)旋流葉片角度和數(shù)目分別為35°和12,旋流數(shù)為0.8．外旋流葉片角度和數(shù)目分別為30°和18,旋流數(shù)為0.6．噴嘴前端有噴孔24個,每個噴孔直徑為2 mm．表1所示為燃燒室工況條件,進(jìn)口壓力為1 554 800 Pa,進(jìn)口空氣流量為0.625 kg/s,通過改變?nèi)剂狭髁縼砀淖內(nèi)紵耶?dāng)量比．分別在燃燒室當(dāng)量比為0.8,0.9,1.0,1.1的工況下(class 1)開展Reynolds平均計算,獲得三維數(shù)值仿真數(shù)據(jù)庫,校驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)并驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性;在當(dāng)量比為0.7,0.75,1.2三個外推工況條件下(class 2)驗(yàn)證模型的寬范圍適用性．

表1 工況條件

圖5 甲烷旋流燃燒室?guī)缀谓Y(jié)構(gòu)Fig. 5 The configuration of the methane swirl combustor

在三維數(shù)值仿真中[22],采用realizablek-ε模型來描述帶旋流特征的湍流流動,壁面處湍流通過可伸縮壁面函數(shù)實(shí)現(xiàn),同時采用壁面絕熱、無滑移假設(shè)．燃燒室進(jìn)口空氣速度脈動和噴嘴出口速度脈動設(shè)置為平均速度的5%,密度通過理想氣體狀態(tài)方程求解,黏度值計算遵循Sutherland定律,分別定義Schmidt數(shù)和Prandtl數(shù)將濃度和溫度擴(kuò)散系數(shù)與氣體黏度關(guān)聯(lián)．湍流燃燒模型采用FGM(flamelet generated manifold)模型,化學(xué)反應(yīng)機(jī)理為GRI3.0,壓力-速度耦合算法采用SIMPLE算法．采用有限體積法求解,離散精度為二階．

2.2 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證

針對上述燃燒室流體域,分別生成了384萬、520萬、890萬和1 153萬四套離散網(wǎng)格．在當(dāng)量比φ為1.1的工況下開展計算,取燃燒室中軸線上的CH4質(zhì)量分?jǐn)?shù)進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證,如圖6所示．從圖中可以看出,當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量大于890萬時,燃燒室軸線上CH4質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布不再發(fā)生改變,滿足網(wǎng)格無關(guān)性的基本要求．因此選用890萬的網(wǎng)格生成三維數(shù)值仿真數(shù)據(jù),作為低階模型的驗(yàn)證依據(jù)．

圖6 中軸線上甲烷質(zhì)量分?jǐn)?shù)的分布Fig. 6 Mass fractions of CH4 on the centerline of the axial direction

3 模 型 驗(yàn) 證

3.1 點(diǎn)源數(shù)量選取

從低階預(yù)估模型的推導(dǎo)過程看,點(diǎn)源數(shù)量與噴嘴的噴射點(diǎn)數(shù)量有一定關(guān)聯(lián),此外考慮壁面反射的影響,通過鏡面反射模型引入虛擬等效“點(diǎn)源”．為了保證混合分?jǐn)?shù)場的預(yù)估精度,點(diǎn)源數(shù)量可能需要大于等于噴嘴實(shí)際噴射點(diǎn)的數(shù)量．為進(jìn)一步測試點(diǎn)源數(shù)量對預(yù)估結(jié)果的敏感性,以當(dāng)量比1.1的工況為例,分別設(shè)置點(diǎn)源數(shù)量為N=12,24,36開展預(yù)估模型的測試,并選取軸向距離x=30 mm和x=60 mm的低階預(yù)估與三維數(shù)值仿真云圖對比,如圖7和圖8所示．在x=30 mm處,N=12,24,36的預(yù)測結(jié)果差異不大．隨著軸向距離增大,如在x=60 mm處,N=12導(dǎo)致模型預(yù)測的混合分?jǐn)?shù)場出現(xiàn)不平滑、“失真”的現(xiàn)象,而N=24和36的結(jié)果基本一致,可以看到混合分?jǐn)?shù)較高的區(qū)域均為光滑的同心圓,與CFD結(jié)果相符．

(a) 混合分?jǐn)?shù)模型預(yù)估結(jié)果(N=12) (b) 混合分?jǐn)?shù)模型預(yù)估結(jié)果(N=24)(a) Model results of the mixture fraction(N=12)(b) Model results of the mixture fraction(N=24)

(a) 混合分?jǐn)?shù)模型預(yù)估結(jié)果(N=12)(b) 混合分?jǐn)?shù)模型預(yù)估結(jié)果(N=24)(a) Model results of the mixture fraction(N=12)(b) Model results of the mixture fraction(N=24)

如圖9所示,取x=60 mm處的徑向分布曲線,對不同N的預(yù)估結(jié)果進(jìn)行定量比較,N=24和36的預(yù)估結(jié)果幾乎一致,與N=12的結(jié)果略有差異．綜上所述,將點(diǎn)源數(shù)量N=24應(yīng)用于該案例的模型驗(yàn)證是合理的．

圖9 不同點(diǎn)源數(shù)量的低階模型預(yù)估結(jié)果與三維數(shù)值模擬結(jié)果對比 (x=60 mm,徑向分布, N=12, N=24, N=36)Fig. 9 Comparison of low-order model prediction results of different numbers of point sources and the 3D numerical simulation results (x=60 mm, radial distribution,N=12, N=24, N=36)

3.2 參數(shù)尋優(yōu)以及確定

將式(25)中的N取為24,根據(jù)當(dāng)量比0.8,0.9,1.0,1.1四個工況的混合分?jǐn)?shù)場,使用最小二乘法對模型的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu),確定的參數(shù)α,β,a,b,m,vc,k,wc,k,pk,qk的取值見附錄．

3.3 預(yù)估結(jié)果與三維數(shù)值模擬結(jié)果對比分析

3.3.1 參考工況對比分析

取中截面云圖,將模型的預(yù)估結(jié)果與對應(yīng)的三維數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比,如圖10所示．模型預(yù)估的云圖與CFD結(jié)果具有一致性,混合分?jǐn)?shù)從噴嘴開始向下游沿著頭部壁面不斷減小直至消失,整體呈“V”形區(qū)域,下游回流區(qū)同一軸向位置混合分?jǐn)?shù)最高點(diǎn)不在中軸線上．本文發(fā)展的低階模型考慮旋流來流和徑向?qū)α鞯挠绊?可以較好地預(yù)測上述特征．

(a) 中截面混合分?jǐn)?shù)低階模型預(yù)估結(jié)果(φ=0.8)(b) 中截面混合分?jǐn)?shù)CFD計算結(jié)果(φ=0.8) (a) Model results of the mixture fraction (b) CFD results of the mixture fraction at the central plane (φ=0.8) at the central plane (φ=0.8)

將模型預(yù)估與三維數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行定量對比,如圖11所示．從結(jié)果中可以看出,低階模型可以準(zhǔn)確預(yù)估混合分?jǐn)?shù)沿中軸線的分布,混合分?jǐn)?shù)在x<0.05 m的區(qū)域迅速降低,之后基本保持很小的定值不變,且隨頭部當(dāng)量比的升高而升高．

(a) 模型與CFD結(jié)果對比(φ=0.8)(b) 模型與CFD結(jié)果對比(φ=0.9)(a) Comparison of the results from the model and (b) Comparison of the results from the model and the CFD(φ=0.8) the CFD(φ=0.9)

圖12所示為x=0.05 m處的混合分?jǐn)?shù)徑向分布,模型的計算結(jié)果和CFD的計算結(jié)果均是中部較低,兩側(cè)較高,且隨著頭部當(dāng)量比的減小,峰值逐漸增大,徑向邊界值逐漸降低．

(a) 模型與CFD結(jié)果對比(φ=0.8)(b) 模型與CFD結(jié)果對比(φ=0.9)(a) Comparison of the results from the model and (b) Comparison of the results from the model and the CFD(φ=0.8) the CFD(φ=0.9)

同樣由于低階模型考慮了旋流來流對標(biāo)量遷移的影響,模型可以準(zhǔn)確地預(yù)估徑向混合分?jǐn)?shù)“雙峰”和“低谷”值及其所在位置．

3.3.2 外推工況對比分析

在參考工況下將預(yù)估模型的參數(shù)進(jìn)行校驗(yàn),并與三維數(shù)值模擬結(jié)果對比分析后,為驗(yàn)證寬范圍下模型的預(yù)測精度,對當(dāng)量比為0.7,0.75,1.2的數(shù)據(jù)開展驗(yàn)證分析．如圖13所示,預(yù)估模型依然可以獲得混合分?jǐn)?shù)場的“V”形分布特征．圖14和圖15軸向和徑向混合分?jǐn)?shù)變化趨勢可以被預(yù)估模型準(zhǔn)確捕捉．與參考工況相比,模型預(yù)估誤差和最大誤差的位置相似,并對定量對比數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,模型的預(yù)估結(jié)果和三維數(shù)值仿真結(jié)果的平均誤差為11.19%．

(a) 中截面混合分?jǐn)?shù)模型計算結(jié)果(φ=0.7) (b) 中截面混合分?jǐn)?shù)CFD計算結(jié)果(φ=0.7)(a) Model results of the mixture fraction (b) CFD results of the mixture fraction at the central plane (φ=0.7) at the central plane (φ=0.7)

(a) 模型與CFD結(jié)果對比(φ=0.7)(a) Comparison of the results from the model and the CFD (φ=0.7)

3.4 計算效率

圖16所示為低階預(yù)估模型與三維數(shù)值仿真模型在參數(shù)化設(shè)計過程中的耗時對比．本研究需要四個工況下的三維數(shù)值仿真數(shù)據(jù)對所發(fā)展的低階預(yù)估模型將進(jìn)行模型參數(shù)校驗(yàn),三維數(shù)值仿真每個算例開銷為120核并行迭代2 800步,3 h之后結(jié)果收斂,之后低階模型可以應(yīng)用于外推工況的混合分?jǐn)?shù)場預(yù)估,每算例僅耗時1 s,故低階模型的開銷基本由模型校驗(yàn)所需的算例數(shù)量決定．若使用三維數(shù)值仿真開展參數(shù)化研究,計算開銷隨算例數(shù)量呈線性增長．本研究發(fā)展的低階模型可以極大加快混合分?jǐn)?shù)的計算效率,加快燃燒室混合方案評估和參數(shù)化研究．

圖16 兩種方法耗時隨算例個數(shù)的對比Fig. 16 Comparison of the computational time costs with the number of cases

3.5 低階預(yù)估模型誤差

為了更好地評估模型誤差,我們將模型外推應(yīng)用于DLR旋流燃燒室混合分?jǐn)?shù)場預(yù)估[23]．如圖17所示,與高精度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(experiment)進(jìn)行定量比對,低階預(yù)估模型(model)的平均誤差為10.02%,且低階模型預(yù)估與三維數(shù)值仿真(CFD)預(yù)測[23]效果相當(dāng)．綜上所述,該低階預(yù)估模型在追求效率的同時,仍然具有較好的預(yù)測精度,符合工程應(yīng)用的需求．

4 結(jié)論與展望

1) 本研究對傳統(tǒng)的Gauss羽流模型進(jìn)行了二次開發(fā),考慮了徑向?qū)α鳌⑿鱽砹骱捅诿娴挠绊?建立了能夠應(yīng)用于甲烷旋流燃燒室的混合分?jǐn)?shù)場低階預(yù)估模型．

2) 基于模型燃燒室當(dāng)量比0.8,0.9,1.0,1.1四個工況的三維數(shù)值模擬數(shù)據(jù)庫,通過最小二乘法對低階預(yù)估模型開展參數(shù)尋優(yōu),驗(yàn)證了混合分?jǐn)?shù)場的預(yù)估精度,在外推工況條件下驗(yàn)證了模型的適用性．

3) 由于最小二乘法對于初值的敏感性, 且容易陷入局部最優(yōu)解, 會影響混合分?jǐn)?shù)場局部細(xì)節(jié)的預(yù)測, 接下來可以發(fā)展更精確的模型參數(shù)尋優(yōu)方法[24],進(jìn)一步增強(qiáng)模型的寬適用性及其在燃燒室設(shè)計應(yīng)用時的魯棒性．

附 錄

參數(shù)α,β,a,b,m的值如表A1所示．

表A1 參數(shù)α,β,a,b,m的值

參數(shù)vc,k,wc,k,pk,qk的值如表A2—A5所示．

表A2 參數(shù)vc,k的值

表A3 參數(shù)wc,k的值

表A4 參數(shù)pk的值

表A5 參數(shù)qk的值