基于Gauss羽流模型低階預估旋流燃燒室中守恒標量的空間分布*

吳子恒, 張 弛, 張世紅, 王柏森

(北京航空航天大學 航空發(fā)動機研究院 航空發(fā)動機氣動熱力國家級重點實驗室, 北京 102206)

0 引 言

隨著先進燃氣輪機性能提升,其對燃燒室高效穩(wěn)定燃燒和高出口溫度場品質(zhì)的需求也在增加[1],對渦輪葉片可靠性與壽命也具有重要意義．燃燒室內(nèi)復雜的旋流流動和油氣混合是影響燃燒高溫區(qū)和出口溫度分布的關鍵因素,空氣通過頭部旋流器進入到火焰筒中,與燃料混合燃燒后產(chǎn)生局部高溫區(qū),其在旋流作用下在下游發(fā)生遷移,影響燃燒室出口溫度分布的不均勻性．為了改善燃燒室出口溫度場品質(zhì),通過頭部旋流流動和燃料-空氣混合方法來控制旋流燃燒局部高溫區(qū)的生成具有重要意義．混合分數(shù)是表征燃料-空氣混合效果的守恒標量[2],其三維空間分布對于燃氣輪機燃燒室混合設計具有重要的指導意義．混合分數(shù)也是燃燒室湍流燃燒建模的關鍵參考標量,如概率密度函數(shù)輸運(PDF)[3]、條件矩(CMC)[4]、層流小火焰等模型[5]通過混合分數(shù)構建小尺度混合模型或基于溫度、組分與混合分數(shù)的關聯(lián)函數(shù)封閉湍流-火焰的相互作用．國內(nèi)外學者利用非接觸光學測量了簡單典型燃燒器的混合分數(shù)[6-8],然而目前還無法準確測量復雜非典型燃燒器的混合分數(shù)場,且通過實驗指導燃燒室設計成本高、效率低,測試方案數(shù)量有限,參數(shù)顆粒度跨度大,對方案的精細化尋優(yōu)難度極大[9]．燃氣輪機燃燒室等復雜燃燒器的混合分數(shù)場空間分布往往通過三維數(shù)值仿真獲得．Kim等[10]采用Reynolds時均(RANS)數(shù)值模擬方法探究了不同入口速度和當量比條件下直葉片和扭曲葉片旋流對燃料-空氣混合和燃燒特性的影響．Lv等[11]通過大渦模擬(LES)方法研究了燃料-空氣混合和分級旋流火焰燃燒穩(wěn)定性．Steinhausen等[12]消耗了1 800萬核時(計算時處理器核心數(shù)量乘以小時數(shù)),通過直接數(shù)值模擬(DNS)的方法,采用詳細化學反應機理,研究了湍流火焰-壁面的相互作用．目前三維數(shù)值模擬方法廣泛應用于燃燒室混合、燃燒高溫區(qū)、出口溫度分布評估和氣動設計的過程中,但對于復雜燃燒器,存在算不動、算不起的問題,這對燃燒室方案設計的迭代效率產(chǎn)生很大的影響．低階預估模型可以規(guī)避上述劣勢,目前鮮有對于燃燒室混合分數(shù)場低階預估的研究．發(fā)展混合分數(shù)場的低階預估模型,以加速燃料-空氣混合策略的評估和燃燒室參數(shù)化設計過程,具有很高的工程應用價值．

Gauss羽流模型可以用來描述點源在主流來流中的擴散過程[13]．Sánchez-Sosa等[14]將Gauss羽流模型應用于移動機器人室內(nèi)氣體源定位．李萬莉[15]將Gauss羽流模型應用到了復雜地形下天然氣泄露這一場景,對模型進行了校驗．目前,鮮有研究將Gauss羽流模型應用于燃燒室中湍流燃燒混合過程的預測．傳統(tǒng)Gauss羽流模型沒有考慮徑向?qū)α鲗旌线^程的影響,且不能應用于存在旋流來流、多點源和限制域壁面的場景．

本文從混合分數(shù)控制方程出發(fā),同時考慮了標量的對流與擴散,推導出考慮對流影響的Gauss煙團方程,從而得到了考慮對流影響的Gauss羽流模型．進一步考慮了旋流來流和多點源場景,發(fā)展了鏡像反射模型來模擬壁面-羽流霧相互作用,并引入相關修正來確保質(zhì)量守恒,將新推導的Gauss羽流模型應用于甲烷旋流燃燒室混合分數(shù)場的低階預測．對甲烷旋流燃燒室開展三維數(shù)值仿真計算,獲得了數(shù)值收斂的混合分數(shù)場數(shù)據(jù)庫．采用最小二乘法對模型參數(shù)進行優(yōu)化,在寬范圍條件下驗證了模型的的預測精度．

1 理 論 模 型

1.1 模型推導

圖1所示為點源釋放氣體在直流空氣來流速度U=(u,v,w)條件下、開放空間中的發(fā)展示意圖,針對該過程開展模型推導,對Gauss羽流模型進行二次發(fā)展．點源來流在空氣來流輸運過程中,守恒標量混合分數(shù)ξ的控制方程可以寫為

圖1 點源釋放氣體在直流空氣來流中的發(fā)展示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the development of a point source releasing gas in a straight air stream

(1)

其中ρ為密度,D為擴散系數(shù)[16],在Gauss羽流模型中兩者均假設為定值,根據(jù)來流工況確定．將ρξ記為C(x,y,z,t),引入三個方向速度分量u,v,w,同樣滿足Gauss羽流模型假設,u,v,w為定值．式(1)可以寫為

(2)

(3)

其中F為Fourier變換,i為虛數(shù)單位．

進一步解析式(3)得[18]

(4)

通過Fourier逆變換獲得

C(x,y,z,t)=F-1[F(λ1,λ2,λ3,t)]=

(5)

基于式(4),定義函數(shù)G(λ1,λ2,λ3,t):

(6)

設函數(shù)g(x,y,z,t)的Fourier變換為G(λ1,λ2,λ3,t),即

F[g(x,y,z,t)]=G(λ1,λ2,λ3,t)．

(7)

在t=0 s時刻,上述定義的Fourier變換函數(shù)為

F(λ1,λ2,λ3,0)=F[C(x,y,z,0)]．

(8)

根據(jù)Fourier卷積定理[19],對于任意函數(shù)f和h有

f*h=F-1[F(f)·F(h)]．

(9)

其中*表示卷積運算．

根據(jù)式(5)—(9),可以推導獲得

C(x,y,z,t)=C(x,y,z,0)*g(x,y,z,t)．

(10)

為獲得C(x,y,z,t)的解析式,則需要求解函數(shù)g(x,y,z,t):

g(x,y,z,t)=F-1[G(λ1,λ2,λ3,t)]=

(11)

由式(10)和(11)可得

(12)

(13)

式(13)便是考慮對流影響的Gauss煙團方程(Gaussian puff equation)．

需要說明的是:式(13)表征點源瞬態(tài)釋放的氣體的空間分布．若要得到式(13)的等效三維穩(wěn)態(tài)方程,即考慮徑向?qū)α饔绊懙腉auss羽流模型,可將點源上游來流空間離散為厚度為dx的薄板,并對每個薄板采用Lagrange觀點進行分析[21]．圖2為將來流離散為薄板掃略點源的示意圖．

圖2 將來流離散為薄板掃略點源的示意圖Fig. 2 Schematic diagram of discretizing the flow stream into thin sheets sweeping the point source

參考式(2),離散薄板上的二維輸運方程為

(14)

參考式(3)—(13)的推導過程可得到

(15)

(16)

式(16)可表征不同軸向位置薄板上的濃度分布．每個薄板厚度為dx,將式(16)除以dx,即可得到三維穩(wěn)態(tài)空間分布,即考慮徑向?qū)α鞯腉auss羽流模型

(17)

Gauss羽流模型的有效范圍為x軸下游x≥x0．基于C=ρξ,同時考慮點源處混合分數(shù)ξ上限為1,將式(17)進一步變換為

(18)

其中a,b為待定模型參數(shù)．

如圖3所示,當考慮旋流來流的影響時,該點源位置y和z方向上的速度分量v和w分別記為

圖3 點源釋放氣體在旋流空氣來流中的發(fā)展簡圖Fig. 3 Schematic diagram of the development of a point source releasing gas in a swirling air stream

v=vc,

(19)

w=wc．

(20)

由于燃燒室實際的燃燒室燃料噴射方式存在一個噴嘴具有多個燃料噴射點的情況,因此需要發(fā)展多點源模型,以圖4所示三點源為例．通過“像源法”[15]建模,引入鏡像羽流(mirror-image plume)[21]對應的虛擬等效“點源”,對壁面-羽流相互作用建模．

圖4 多點源釋放氣體在旋流空氣來流中的發(fā)展和鏡像反射模型示意圖Fig. 4 Schematic diagram of the development of multi-point sources releasing gas in a swirling air stream and the mirror reflection model

若引入N個點源,則點源k處y和z方向上的速度分量分別為

vk=vc,k,

(21)

wk=wc,k．

(22)

由此可獲得由多點源表征的混合分數(shù)場預估模型

(23)

其中(x0,y0+pk,z0+qk)為點源的位置．引入多點源的同時會產(chǎn)生質(zhì)量守恒的問題[21],為了模型在預估混合分數(shù)場的同時保證質(zhì)量守恒,并將混合分數(shù)限定于0≤ξ(x,y,z)≤1,可將式(23)修正為

(24)

m為待定參數(shù)．由于燃燒室限制域的影響,最小混合分數(shù)為非0定值,進一步引入燃燒室下游混合分數(shù)邊界ξfinal,得到

(25)

α,β為待定參數(shù),x′為基于燃燒室長度的無量綱軸向距離．

2 三維數(shù)值仿真數(shù)據(jù)

2.1 模型燃燒室

圖5所示為甲烷旋流燃燒室?guī)缀谓Y構圖,其基于GT2500燃氣輪機燃燒室頭部旋流方案構建．火焰筒長為345 mm,直徑為77 mm,旋流器分內(nèi)外兩級,內(nèi)旋流葉片角度和數(shù)目分別為35°和12,旋流數(shù)為0.8．外旋流葉片角度和數(shù)目分別為30°和18,旋流數(shù)為0.6．噴嘴前端有噴孔24個,每個噴孔直徑為2 mm．表1所示為燃燒室工況條件,進口壓力為1 554 800 Pa,進口空氣流量為0.625 kg/s,通過改變?nèi)剂狭髁縼砀淖內(nèi)紵耶斄勘龋謩e在燃燒室當量比為0.8,0.9,1.0,1.1的工況下(class 1)開展Reynolds平均計算,獲得三維數(shù)值仿真數(shù)據(jù)庫,校驗模型參數(shù)并驗證模型準確性;在當量比為0.7,0.75,1.2三個外推工況條件下(class 2)驗證模型的寬范圍適用性．

表1 工況條件

圖5 甲烷旋流燃燒室?guī)缀谓Y構Fig. 5 The configuration of the methane swirl combustor

在三維數(shù)值仿真中[22],采用realizablek-ε模型來描述帶旋流特征的湍流流動,壁面處湍流通過可伸縮壁面函數(shù)實現(xiàn),同時采用壁面絕熱、無滑移假設．燃燒室進口空氣速度脈動和噴嘴出口速度脈動設置為平均速度的5%,密度通過理想氣體狀態(tài)方程求解,黏度值計算遵循Sutherland定律,分別定義Schmidt數(shù)和Prandtl數(shù)將濃度和溫度擴散系數(shù)與氣體黏度關聯(lián)．湍流燃燒模型采用FGM(flamelet generated manifold)模型,化學反應機理為GRI3.0,壓力-速度耦合算法采用SIMPLE算法．采用有限體積法求解,離散精度為二階．

2.2 網(wǎng)格無關性驗證

針對上述燃燒室流體域,分別生成了384萬、520萬、890萬和1 153萬四套離散網(wǎng)格．在當量比φ為1.1的工況下開展計算,取燃燒室中軸線上的CH4質(zhì)量分數(shù)進行網(wǎng)格無關性驗證,如圖6所示．從圖中可以看出,當網(wǎng)格數(shù)量大于890萬時,燃燒室軸線上CH4質(zhì)量分數(shù)分布不再發(fā)生改變,滿足網(wǎng)格無關性的基本要求．因此選用890萬的網(wǎng)格生成三維數(shù)值仿真數(shù)據(jù),作為低階模型的驗證依據(jù)．

圖6 中軸線上甲烷質(zhì)量分數(shù)的分布Fig. 6 Mass fractions of CH4 on the centerline of the axial direction

3 模 型 驗 證

3.1 點源數(shù)量選取

從低階預估模型的推導過程看,點源數(shù)量與噴嘴的噴射點數(shù)量有一定關聯(lián),此外考慮壁面反射的影響,通過鏡面反射模型引入虛擬等效“點源”．為了保證混合分數(shù)場的預估精度,點源數(shù)量可能需要大于等于噴嘴實際噴射點的數(shù)量．為進一步測試點源數(shù)量對預估結果的敏感性,以當量比1.1的工況為例,分別設置點源數(shù)量為N=12,24,36開展預估模型的測試,并選取軸向距離x=30 mm和x=60 mm的低階預估與三維數(shù)值仿真云圖對比,如圖7和圖8所示．在x=30 mm處,N=12,24,36的預測結果差異不大．隨著軸向距離增大,如在x=60 mm處,N=12導致模型預測的混合分數(shù)場出現(xiàn)不平滑、“失真”的現(xiàn)象,而N=24和36的結果基本一致,可以看到混合分數(shù)較高的區(qū)域均為光滑的同心圓,與CFD結果相符．

(a) 混合分數(shù)模型預估結果(N=12) (b) 混合分數(shù)模型預估結果(N=24)(a) Model results of the mixture fraction(N=12)(b) Model results of the mixture fraction(N=24)

(a) 混合分數(shù)模型預估結果(N=12)(b) 混合分數(shù)模型預估結果(N=24)(a) Model results of the mixture fraction(N=12)(b) Model results of the mixture fraction(N=24)

如圖9所示,取x=60 mm處的徑向分布曲線,對不同N的預估結果進行定量比較,N=24和36的預估結果幾乎一致,與N=12的結果略有差異．綜上所述,將點源數(shù)量N=24應用于該案例的模型驗證是合理的．

圖9 不同點源數(shù)量的低階模型預估結果與三維數(shù)值模擬結果對比 (x=60 mm,徑向分布, N=12, N=24, N=36)Fig. 9 Comparison of low-order model prediction results of different numbers of point sources and the 3D numerical simulation results (x=60 mm, radial distribution,N=12, N=24, N=36)

3.2 參數(shù)尋優(yōu)以及確定

將式(25)中的N取為24,根據(jù)當量比0.8,0.9,1.0,1.1四個工況的混合分數(shù)場,使用最小二乘法對模型的參數(shù)進行尋優(yōu),確定的參數(shù)α,β,a,b,m,vc,k,wc,k,pk,qk的取值見附錄．

3.3 預估結果與三維數(shù)值模擬結果對比分析

3.3.1 參考工況對比分析

取中截面云圖,將模型的預估結果與對應的三維數(shù)值模擬結果進行對比,如圖10所示．模型預估的云圖與CFD結果具有一致性,混合分數(shù)從噴嘴開始向下游沿著頭部壁面不斷減小直至消失,整體呈“V”形區(qū)域,下游回流區(qū)同一軸向位置混合分數(shù)最高點不在中軸線上．本文發(fā)展的低階模型考慮旋流來流和徑向?qū)α鞯挠绊?可以較好地預測上述特征．

(a) 中截面混合分數(shù)低階模型預估結果(φ=0.8)(b) 中截面混合分數(shù)CFD計算結果(φ=0.8) (a) Model results of the mixture fraction (b) CFD results of the mixture fraction at the central plane (φ=0.8) at the central plane (φ=0.8)

將模型預估與三維數(shù)值模擬結果進行定量對比,如圖11所示．從結果中可以看出,低階模型可以準確預估混合分數(shù)沿中軸線的分布,混合分數(shù)在x<0.05 m的區(qū)域迅速降低,之后基本保持很小的定值不變,且隨頭部當量比的升高而升高．

(a) 模型與CFD結果對比(φ=0.8)(b) 模型與CFD結果對比(φ=0.9)(a) Comparison of the results from the model and (b) Comparison of the results from the model and the CFD(φ=0.8) the CFD(φ=0.9)

圖12所示為x=0.05 m處的混合分數(shù)徑向分布,模型的計算結果和CFD的計算結果均是中部較低,兩側(cè)較高,且隨著頭部當量比的減小,峰值逐漸增大,徑向邊界值逐漸降低．

(a) 模型與CFD結果對比(φ=0.8)(b) 模型與CFD結果對比(φ=0.9)(a) Comparison of the results from the model and (b) Comparison of the results from the model and the CFD(φ=0.8) the CFD(φ=0.9)

同樣由于低階模型考慮了旋流來流對標量遷移的影響,模型可以準確地預估徑向混合分數(shù)“雙峰”和“低谷”值及其所在位置．

3.3.2 外推工況對比分析

在參考工況下將預估模型的參數(shù)進行校驗,并與三維數(shù)值模擬結果對比分析后,為驗證寬范圍下模型的預測精度,對當量比為0.7,0.75,1.2的數(shù)據(jù)開展驗證分析．如圖13所示,預估模型依然可以獲得混合分數(shù)場的“V”形分布特征．圖14和圖15軸向和徑向混合分數(shù)變化趨勢可以被預估模型準確捕捉．與參考工況相比,模型預估誤差和最大誤差的位置相似,并對定量對比數(shù)據(jù)進行分析,模型的預估結果和三維數(shù)值仿真結果的平均誤差為11.19%．

(a) 中截面混合分數(shù)模型計算結果(φ=0.7) (b) 中截面混合分數(shù)CFD計算結果(φ=0.7)(a) Model results of the mixture fraction (b) CFD results of the mixture fraction at the central plane (φ=0.7) at the central plane (φ=0.7)

(a) 模型與CFD結果對比(φ=0.7)(a) Comparison of the results from the model and the CFD (φ=0.7)

3.4 計算效率

圖16所示為低階預估模型與三維數(shù)值仿真模型在參數(shù)化設計過程中的耗時對比．本研究需要四個工況下的三維數(shù)值仿真數(shù)據(jù)對所發(fā)展的低階預估模型將進行模型參數(shù)校驗,三維數(shù)值仿真每個算例開銷為120核并行迭代2 800步,3 h之后結果收斂,之后低階模型可以應用于外推工況的混合分數(shù)場預估,每算例僅耗時1 s,故低階模型的開銷基本由模型校驗所需的算例數(shù)量決定．若使用三維數(shù)值仿真開展參數(shù)化研究,計算開銷隨算例數(shù)量呈線性增長．本研究發(fā)展的低階模型可以極大加快混合分數(shù)的計算效率,加快燃燒室混合方案評估和參數(shù)化研究．

圖16 兩種方法耗時隨算例個數(shù)的對比Fig. 16 Comparison of the computational time costs with the number of cases

3.5 低階預估模型誤差

為了更好地評估模型誤差,我們將模型外推應用于DLR旋流燃燒室混合分數(shù)場預估[23]．如圖17所示,與高精度實驗數(shù)據(jù)(experiment)進行定量比對,低階預估模型(model)的平均誤差為10.02%,且低階模型預估與三維數(shù)值仿真(CFD)預測[23]效果相當．綜上所述,該低階預估模型在追求效率的同時,仍然具有較好的預測精度,符合工程應用的需求．

4 結論與展望

1) 本研究對傳統(tǒng)的Gauss羽流模型進行了二次開發(fā),考慮了徑向?qū)α?、旋流來流和壁面的影?建立了能夠應用于甲烷旋流燃燒室的混合分數(shù)場低階預估模型．

2) 基于模型燃燒室當量比0.8,0.9,1.0,1.1四個工況的三維數(shù)值模擬數(shù)據(jù)庫,通過最小二乘法對低階預估模型開展參數(shù)尋優(yōu),驗證了混合分數(shù)場的預估精度,在外推工況條件下驗證了模型的適用性．

3) 由于最小二乘法對于初值的敏感性, 且容易陷入局部最優(yōu)解, 會影響混合分數(shù)場局部細節(jié)的預測, 接下來可以發(fā)展更精確的模型參數(shù)尋優(yōu)方法[24],進一步增強模型的寬適用性及其在燃燒室設計應用時的魯棒性．

附 錄

參數(shù)α,β,a,b,m的值如表A1所示．

表A1 參數(shù)α,β,a,b,m的值

參數(shù)vc,k,wc,k,pk,qk的值如表A2—A5所示．

表A2 參數(shù)vc,k的值

表A3 參數(shù)wc,k的值

表A4 參數(shù)pk的值

表A5 參數(shù)qk的值