考慮撓曲電與溫度效應(yīng)的Mindlin-Medick板理論及其應(yīng)用*

魯 雙, 李東波, 陳晶博, 席 勃

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院, 西安 710055)

0 引 言

常見(jiàn)的力電耦合效應(yīng),如壓電效應(yīng)、撓曲電效應(yīng)、鐵電效應(yīng)、電致伸縮效應(yīng)等,廣泛存在于各類介電材料中．其中壓電效應(yīng)是最常見(jiàn)的一種力電耦合效應(yīng),其在俘能器[1-4]、傳感器[5-6]、驅(qū)動(dòng)器[7-8]等智能器件的設(shè)計(jì)中應(yīng)用廣泛．然而,隨著納米技術(shù)的發(fā)展,壓電器件的材料制約了其進(jìn)一步發(fā)展,主要表現(xiàn)在3個(gè)方面: 1)壓電效應(yīng)只存在于非中心對(duì)稱晶體中; 2)隨著器件的小型化和智能化,壓電理論已經(jīng)不能很好地解釋與材料或結(jié)構(gòu)尺度相關(guān)的不尋常的力電耦合現(xiàn)象; 3)壓電器件要求其服役溫度低于材料的Curie溫度,進(jìn)一步限制了壓電器件的使用環(huán)境．相比于壓電效應(yīng),撓曲電效應(yīng)存在于所有的介電材料中[9],且隨著材料或結(jié)構(gòu)的尺寸減小,撓曲電效應(yīng)會(huì)變得更加顯著[10]．同時(shí),由撓曲電材料制成的智能器件,其工作溫度不受Curie溫度影響．因此,撓曲電效應(yīng)受到了研究人員的關(guān)注．

經(jīng)典壓電學(xué)理論給出了極化與均勻應(yīng)變的關(guān)系,而撓曲電效應(yīng)則描述了極化與非均勻應(yīng)變?nèi)鐟?yīng)變梯度之間的耦合關(guān)系[11]．1968年,Mindlin首次提出極化梯度的概念[12],成功將力電耦合效應(yīng)從壓電材料拓展到撓曲電材料．在Mindlin理論的基礎(chǔ)上,Majdoub等[10,13]考慮了納米懸臂梁對(duì)應(yīng)變梯度的響應(yīng),發(fā)現(xiàn)撓曲電效應(yīng)可以顯著增強(qiáng)納米結(jié)構(gòu)中的俘能效率,并對(duì)納米結(jié)構(gòu)中的壓電和彈性行為產(chǎn)生影響．Hu和Shen[14-16]提出了一種連續(xù)介質(zhì)力學(xué)力電耦合理論框架,更全面地考慮了納米電介質(zhì)的撓曲電效應(yīng)、表面效應(yīng)和靜電力,給出了詳細(xì)的控制方程和邊界條件,為撓曲電效應(yīng)的研究提供了理論基礎(chǔ)．關(guān)于撓曲電效應(yīng)較新的綜述研究可參考文獻(xiàn)[11],其提供了更多與撓曲電效應(yīng)相關(guān)的參考文獻(xiàn)．

對(duì)撓曲電器件變形和電場(chǎng)行為的調(diào)控包括接觸式和非接觸式,其中機(jī)械調(diào)控[9,17-18]屬于接觸式調(diào)控,磁場(chǎng)[19-21]和溫度場(chǎng)[22-26]等調(diào)控屬于非接觸式調(diào)控．機(jī)械調(diào)控利用施加于器件上的機(jī)械力產(chǎn)生應(yīng)變梯度,從而產(chǎn)生電極化;而溫度場(chǎng)調(diào)控則是利用熱彈性效應(yīng)產(chǎn)生應(yīng)變梯度,進(jìn)而產(chǎn)生電極化．溫度效應(yīng)廣泛存在于撓曲電器件中,并通過(guò)熱彈性效應(yīng)影響其性能．Hadjesfandiari[23]通過(guò)引入高階應(yīng)變梯度,建立了非均質(zhì)各向異性固體中尺寸相關(guān)的熱彈性方程．Samani等[24]利用撓曲電效應(yīng)和納米梁尺寸效應(yīng)的非經(jīng)典理論,研究了撓曲電Timoshenko梁在熱場(chǎng)和機(jī)械場(chǎng)作用下的屈曲行為．Chu等[25]綜合考慮非局域效應(yīng)和應(yīng)變梯度效應(yīng),分析了功能梯度撓曲電納米梁在溫度場(chǎng)作用下的熱致非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題．前人研究的主要是一維問(wèn)題,目前關(guān)于溫度效應(yīng)的撓曲電二維問(wèn)題的成果相對(duì)較少．

近來(lái),隨著微納米尺度二維材料的快速發(fā)展,撓曲電納米板的器件應(yīng)用也越來(lái)越廣泛,例如撓曲電傳感器、致動(dòng)器等．本文基于撓曲電理論[27-28]和溫度效應(yīng)建立了Mindlin-Medick板的理論模型,綜合考慮厚度伸縮變形、面內(nèi)拉伸變形和對(duì)稱厚度剪切變形及其耦合的撓曲電極化,分別研究了溫度調(diào)控和機(jī)械調(diào)控下?lián)锨娂{米板的力電耦合行為,以期為撓曲電器件的設(shè)計(jì)提供參考．

1 撓曲電納米板的數(shù)學(xué)框架

1.1 撓曲電納米板的幾何方程

考慮如圖1所示的撓曲電納米板,直角坐標(biāo)系建立在板的中面上．根據(jù)Mindlin-Medick假設(shè),將撓曲電納米板的位移場(chǎng)ui(x,t)、電勢(shì)場(chǎng)φ(x,t)和溫差場(chǎng)θ(x,t)展開(kāi)成關(guān)于厚度坐標(biāo)x3的冪級(jí)數(shù):

(1)

應(yīng)變張量Sij與位移ui、應(yīng)變梯度ηijk與應(yīng)變Sij以及電場(chǎng)Ei與電勢(shì)φ之間滿足如下梯度關(guān)系[30]:

Sij=0.5(ui,j+uj,i),ηijk=Sij,k,Ei=-φ,i．

(2)

將式(1)代入式(2),得到相應(yīng)的應(yīng)變分量Sij、應(yīng)變梯度分量ηijk和電場(chǎng)分量Ei的非零項(xiàng)分別為

(3)

(4)

(5)

1.2 撓曲電納米板的Hamilton變分原理

撓曲電納米板的應(yīng)變能U、外體力fi所做的虛功δW和動(dòng)能K分別為[31]

(6)

(7)

(8)

式中,Tij為應(yīng)力張量,τijk為高階應(yīng)力張量,Di為電位移,Ω為撓曲電納米板所占據(jù)的體積,dV為體積微元．

對(duì)于撓曲電納米板,其Hamilton變分原理可表述為[32]

(9)

將式(1)、(3)—(5)代入式(6)—(8),再代入到變分表達(dá)式(9),應(yīng)用變分法基本原理[33]和分部積分,得到撓曲電納米板的場(chǎng)方程以及板邊界Γ上的線積分等式分別為

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

(10e)

(10f)

(10g)

(10h)

和

(11)

式中,Γ表示圍成板中面的邊緣曲線,ds表示邊緣曲線Γ上的線微元,變量上的點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)．其中n階應(yīng)力、n階電位移、n階高階應(yīng)力、n階外力和n階質(zhì)量密度的定義為

(12)

1.3 撓曲電納米矩形板的完整邊界條件

撓曲電納米板的完整邊界條件可由板邊界上的線積分等式(11)得到,注意到式(11)的變分項(xiàng)δ(·)中,在邊界上關(guān)于位移或者電勢(shì)的切向?qū)?shù)不與其法向?qū)?shù)獨(dú)立,因此需要進(jìn)一步處理變分項(xiàng)δ(·)中包含切向?qū)?shù)的項(xiàng)．對(duì)于圖2所示的撓曲電納米矩形板,將邊界上外法線的方向余弦n1,n2代入式(11),根據(jù)變分法基本原理,得到相應(yīng)的邊界條件如下．

對(duì)于邊界x2=0,b,其中n1=0,n2=-1(x2=0)或n2=1(x2=b):

(13)

對(duì)于邊界x1=0,a,其中n2=0,n1=-1(x1=0)或n1=1(x1=a):

(14)

1.4 撓曲電納米板的二維本構(gòu)方程

取撓曲電納米板的材料為立方晶系(m3m點(diǎn)群),且不考慮非局部剛度常數(shù)gijklmn和熱釋電系數(shù)pi,撓曲電納米板的本構(gòu)關(guān)系為[16]

Tij=cijklSkl-λijθ,τijk=-flijkEl,Di=εijEj+fijklηjkl,

(15)

式中,cijkl為彈性常數(shù),λij為熱彈性常數(shù),fijkl為撓曲電系數(shù),εij為介電常數(shù)．

在1.2小節(jié)中所得二維二階板方程的表達(dá)式(10),由于忽略了位移展開(kāi)式中的高階項(xiàng),必然會(huì)引起截?cái)嗾`差,為此,這里引入修正系數(shù)對(duì)截?cái)嗾`差進(jìn)行修正[26]．即在應(yīng)力本構(gòu)式(15)的第1式中,通過(guò)應(yīng)力釋放進(jìn)行修正,將S13,S23和S33分別替換為k1S13,k2S23和k3S33,其中k1,k2和k3為修正系數(shù)[26],且

(16)

(17)

零階、一階及二階的電位移本構(gòu)方程為

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

(18e)

(18f)

零階、一階及二階的高階應(yīng)力本構(gòu)方程為

(19)

式(17)—(19)中高階材料參數(shù)的定義為

i,j=1,2,3;p,q=1,2,…,6．

(20)

1.5 撓曲電納米板二階理論的控制方程

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

(21e)

(21f)

(21g)

(21h)

由式(21g)可知,一階電勢(shì)φ(1)與位移場(chǎng)u、電勢(shì)場(chǎng)φ(0)和φ(2)及溫差場(chǎng)θ(0)和θ(2)解耦,故之后的討論不再考慮一階電勢(shì)φ(1)．

2 算 例 分 析

(22)

對(duì)于給定的邊x2=0,b,相應(yīng)的邊界條件為

(23)

(24)

(25)

[cosξm(x0-c)-cosξm(x0+c)][cosζn(y0-d)-cosζn(y0+d)]．

(26)

(27)

式中,系數(shù)矩陣Kij為

(28)

(a) 比較θ(0)和對(duì)面內(nèi)拉伸變形的影響(b) 比較θ(0)和對(duì)對(duì)稱厚度剪切變形的影響(a) Comparison of the effects of θ(0) and on in-plane (b) Comparison of the effects of θ(0) and on symmetric extensional deformation

圖5 θ(0)和對(duì)厚度伸縮變形的協(xié)同影響Fig. 5 Synergistic effects of θ(0) and

3 結(jié) 論

本文采用Mindlin-Medick理論和撓曲電理論,建立了撓曲電納米板的理論模型．利用Hamilton原理求出納米板的場(chǎng)方程和邊界上的線積分等式,分別將二維本構(gòu)方程和中面邊界上外法線的方向余弦代入,得到了以基本未知量表示的撓曲電納米板的控制方程和邊界條件．然后利用雙重Fourier級(jí)數(shù)解求解納米板的位移場(chǎng)和電勢(shì)場(chǎng),分析局部熱場(chǎng)和局部機(jī)械場(chǎng)對(duì)撓曲電納米板變形和電場(chǎng)的影響,得到了以下結(jié)論:

1) 撓曲電納米板上作用有局部溫度載荷時(shí),由于熱脹冷縮效應(yīng),對(duì)稱厚度剪切變形會(huì)加劇面內(nèi)拉伸變形的程度,u1在板中面處取最小值,且沿板的厚度方向變形程度逐漸增大,最終在板的局部加載區(qū)域的上下表面處取得最大值．施加機(jī)械載荷時(shí)撓曲電納米板表現(xiàn)出明顯的Poisson效應(yīng),對(duì)稱厚度剪切變形則會(huì)抵消一部分面內(nèi)拉伸變形的效果．

2) 非接觸式調(diào)控和接觸式調(diào)控這兩種方式為撓曲電納米板的力電耦合行為研究提供了更多元的選擇．對(duì)于考慮撓曲電效應(yīng)的微納米器件,接觸式調(diào)控操作難度較大;而非接觸式調(diào)控,如溫度調(diào)控和磁場(chǎng)調(diào)控等,可操作性更強(qiáng),具有很大的發(fā)展?jié)摿Γ?/p>