混合邊界約束下矩形薄板自由振動(dòng)問題的有限積分變換解*

李逸豪, 徐 典, 陳一鳴, 安東琦, 李 銳

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE軟件全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024)

0 引 言

彈性矩形薄板廣泛應(yīng)用于土木工程、海洋工程及機(jī)械工程等領(lǐng)域,其力學(xué)行為一直是學(xué)者們的研究重點(diǎn)之一[1-4]．其中,彈性薄板的自由振動(dòng)問題因其與結(jié)構(gòu)安全高度相關(guān)而備受關(guān)注,此類問題的解析求解對(duì)于結(jié)構(gòu)的快速分析和初步設(shè)計(jì)具有重要意義．針對(duì)板的自由振動(dòng)問題,其核心是在滿足給定的邊界條件下,通過求解該問題的高階偏微分控制方程來(lái)獲得板的固有頻率和振型．然而,由于高階偏微分控制方程求解過程的復(fù)雜性,相關(guān)邊值問題的解析求解成為一類難題．傳統(tǒng)解析方法,例如Navier解法[5]和Lévy解法[6]只能求解對(duì)邊簡(jiǎn)支約束下的板問題,其余邊界條件下的矩形薄板自由振動(dòng)問題都不易獲得解析解．

實(shí)際工程應(yīng)用對(duì)于板的邊界約束提出了更高的要求,一邊受到混合約束(即同時(shí)存在固支、簡(jiǎn)支或自由中的兩種或以上約束)的板進(jìn)入學(xué)者們的視野．例如,在汽車制造領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的邊緣點(diǎn)焊鋼板[7]就是一種典型的混合邊界約束板,其點(diǎn)焊位置在分析時(shí)可等效為固支邊界條件,而同一邊上其余位置仍然可視為簡(jiǎn)支等邊界條件．然而,對(duì)于這類復(fù)雜約束下板的振動(dòng)問題,傳統(tǒng)方法更難以解析求解．針對(duì)上述情況,學(xué)者們通常采用數(shù)值方法來(lái)解決相關(guān)問題,例如有限元法[8-9]、有限條法[10]、有限差分法[11-12]、邊界元法[13-14]、微分求積法[15]、微分容積法[16]等．

上述各類數(shù)值方法可以得到滿足工程需要的結(jié)果,但是解析解仍然具有重要的地位．首先,解析解具有獨(dú)特的研究?jī)r(jià)值,例如:其可以作為經(jīng)驗(yàn)公式以及數(shù)值方法對(duì)比的基準(zhǔn)、快速參數(shù)分析和優(yōu)化的工具,同時(shí)也可以為實(shí)驗(yàn)提供理論依據(jù)等．此外,數(shù)值方法所求結(jié)果通常為近似解,未必總能達(dá)到高精度要求,且求解輸入量和輸出量較多,過程比較復(fù)雜．因此,發(fā)展解析方法不僅對(duì)理論方法的發(fā)展和完善具有重要價(jià)值,也對(duì)工程結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義．基于上述背景,本文擬尋求一種新的解析方法來(lái)處理混合邊界約束下矩形薄板的自由振動(dòng)問題．

有限積分變換法作為求解數(shù)學(xué)物理方程的一類重要方法,近年來(lái)被筆者等進(jìn)一步發(fā)展,用于板殼力學(xué)一般問題的解析求解[17-23]．該方法的思路是:將待求問題的控制方程轉(zhuǎn)換到積分變換域內(nèi),得到含有待定系數(shù)的位移函數(shù)變換式,再由邊界條件求解待定系數(shù),最后通過積分逆變換可得到原問題的解析解．因有限積分變換法簡(jiǎn)潔有效,更容易被工程師所理解和接受,因此有望作為一種通用的理論分析工具．然而,以往關(guān)于有限積分變換法的研究均聚焦一邊僅有單一約束的問題,對(duì)于一邊受到混合約束的問題則未能直接應(yīng)用該方法．為此,有必要將有限積分變換法進(jìn)一步發(fā)展,推廣至混合邊界板問題的求解中．

本文將有限積分變換與子域分解法結(jié)合,首次實(shí)現(xiàn)了混合邊界矩形薄板自由振動(dòng)問題的解析求解．首先根據(jù)混合邊界條件將矩形板拆分為兩個(gè)子域,然后應(yīng)用有限積分變換法對(duì)兩部分分別解析求解,最后通過滿足子域間的連續(xù)性條件得到該問題最終的解析解．限于篇幅,本文聚焦工程中典型的邊緣點(diǎn)焊懸臂板的自由振動(dòng)問題,將其歸結(jié)為一邊固支-簡(jiǎn)支混合約束、其余三邊自由的矩形薄板自由振動(dòng)問題進(jìn)行求解．?dāng)?shù)值算例表明,無(wú)論是固有頻率還是振型,本文的結(jié)果均與精細(xì)有限元及文獻(xiàn)結(jié)果高度吻合,求解結(jié)果的精度不亞于其他復(fù)雜的解析方法．本文方法及相關(guān)結(jié)果有望作為檢驗(yàn)各類數(shù)值方法精度的對(duì)比基準(zhǔn),求解思路也可推廣至其他復(fù)雜邊界約束下的板殼力學(xué)問題．

1 薄板自由振動(dòng)問題的控制方程

基于Kirchhoff薄板理論,矩形薄板自由振動(dòng)問題的控制方程如下:

(1)

式中W(x,y,t)表示t時(shí)刻的撓度;D=Eh3/[12(1-μ2)]表示抗彎剛度,其中E為彈性模量,h為板的厚度,μ為Poisson比;ρ表示薄板密度．根據(jù)振動(dòng)理論,板在自由振動(dòng)時(shí)的動(dòng)撓度方程為W(x,y,t)=w(x,y)sin(ωt),其中w(x,y)為振型函數(shù),ω為固有頻率．將W代入式(1),得到矩形薄板振型微分方程如下:

(2)

板的內(nèi)力可由w表示為

(3)

其中Mx和My表示Oy軸向和Ox軸向的彎矩,Vx和Vy表示垂直于Ox軸和Oy軸的橫截面中的等效剪力．

2 混合邊界約束下矩形薄板自由振動(dòng)問題的有限積分變換解

針對(duì)混合邊界矩形薄板,本文以“C”“S”“F”分別表示固支、簡(jiǎn)支、自由這三種邊界條件,并從左下方邊界開始以順時(shí)針方向通過字母對(duì)板命名．限于篇幅,本文以工程中典型的邊緣點(diǎn)焊懸臂板、即CS-F-F-F型混合邊界矩形薄板為對(duì)象進(jìn)行求解．如圖1所示,板的尺寸表示為a,b,b1及b2,其中b=b1+b2;坐標(biāo)軸Ox與Oy分別與板的下邊界與左邊界重合．

圖1 撓曲電納米板模型及其坐標(biāo)系Fig. 1 The flexoelectric nanoplate model and its coordinate system

圖1 CS-F-F-F型混合邊界矩形薄板圖2 CS-F-F-F型混合邊界矩形薄板各子域示意圖Fig. 1 The rectangular thin plate under CS-F-F-F Fig. 2 Schematic diagram of the sub-domains of CS-F-F-F-F mixed boundary constraints rectangular thin plates

將原板按照邊界條件拆分為①、②兩個(gè)子域,即將原問題拆分為兩個(gè)子問題,隨后對(duì)兩個(gè)子域分別采用有限積分變換法進(jìn)行求解,在求解過程中每個(gè)子域需要滿足相應(yīng)的邊界條件及內(nèi)部連續(xù)性條件．各子域的幾何模型如圖2所示．

圖2 撓曲電納米矩形板的邊界Fig. 2 The boundary of a flexoelectric nanorectangular plate

對(duì)于每個(gè)子域,在矩形域0≤xi≤a,0≤yi≤bi內(nèi)定義二維有限余弦積分變換如下:

(4)

式中i表示子域編號(hào)1、2,wi和(xi,yi)分別表示子域的位移函數(shù)和局部坐標(biāo),α(m)=mπ/a,βi(n)=nπ/bi,其中m=0,1,2,…,n=0,1,2,…．

逆變換的表達(dá)式如下:

(5)

上式中當(dāng)m=0時(shí),ε(m)=1;當(dāng)m=1,2,…時(shí),ε(m)=2;當(dāng)n=0時(shí),ε(n)=1;當(dāng)n=1,2,…時(shí),ε(n)=2．依據(jù)式(4)對(duì)式(2)所示高階偏微分方程各相關(guān)項(xiàng)進(jìn)行二維有限余弦積分變換,可得

(6)

(7)

(8)

(9)

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可以消去式(8)中的下劃線部分,隨后將式(6)—(9)代入式(2)的變換式,可得

(10)

為方便書寫,記

(11)

(12)

根據(jù)式(3)—(5),并結(jié)合Stokes變換[24],可得邊界處的彎矩表達(dá)式如下:

(13)

(14)

(15)

(16)

同理,可得邊界處等效剪力的表達(dá)式如下:

(17)

(18)

(19)

根據(jù)圖2可知:子域①需要滿足的邊界條件為

(20)

需要滿足的連續(xù)性條件為

(21)

(22)

則子域①的位移函數(shù)積分變換式為

(23)

根據(jù)圖2可知子域②需要滿足的邊界條件為

(24)

需要滿足的連續(xù)性條件為

(25)

(26)

則子域②的位移函數(shù)積分變換式為

(27)

綜上,還未滿足的邊界條件和連續(xù)性條件有

(28)

(29)

3 典型算例分析

表1 CS-F-F-F方板前十階無(wú)量綱固有頻率收斂性研究

表2給出了不同長(zhǎng)寬比的CS-F-F-F板在b1=b2條件下的無(wú)量綱固有頻率．通過與精細(xì)有限元分析(采用ABAQUS軟件中的S4R單元,網(wǎng)格尺寸為0.002 5a)的收斂結(jié)果以及文獻(xiàn)的結(jié)果對(duì)比可知,對(duì)于不同尺寸的板,本文的固有頻率解均與參考結(jié)果吻合良好,證明了本文求解方法的有效性和求解結(jié)果的準(zhǔn)確性．圖3給出了CS-F-F-F方板前十階振型,結(jié)果也與有限元解高度吻合．

表2 不同長(zhǎng)寬比CS-F-F-F板在b1=b2條件下的無(wú)量綱固有頻率

圖3 加載區(qū)域Fig. 3 The loading area

圖3 CS-F-F-F方板的前十階振型Fig. 3 The first 10 mode shapes of CS-F-F-F square plates

4 結(jié) 論

本文首次將有限積分變換法擴(kuò)展至混合邊界約束薄板自由振動(dòng)問題的解析求解,以工程中常見的邊緣點(diǎn)焊懸臂板為背景,具體求解了CS-F-F-F型板的自由振動(dòng)問題．分析過程中采用雙余弦形式的積分核對(duì)兩個(gè)子域分別解析求解,最后通過連續(xù)性條件獲得該問題完整的解析解．本文給出的數(shù)值算例表明獲得的解析解與精細(xì)有限元分析及文獻(xiàn)結(jié)果吻合良好,證明了求解方法的有效性及所求結(jié)果的準(zhǔn)確性,同時(shí)為檢驗(yàn)各類數(shù)值方法提供了對(duì)比基準(zhǔn)．本文發(fā)展的有限積分變換結(jié)合子域分解的方法在求解過程中無(wú)需預(yù)先假設(shè)解的形式,而是從基本控制方程出發(fā)并逐步推導(dǎo)以獲得結(jié)果,因此是一種嚴(yán)格的求解方法,可為復(fù)雜邊界約束下板殼力學(xué)問題的解析求解提供一種新思路．