構(gòu)造遞推關(guān)系巧解一類三角求值題

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué))

遞推關(guān)系是數(shù)學(xué)中一種常見的表達(dá)形式,也是一種數(shù)學(xué)模型,用來描述一系列數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,常出現(xiàn)在數(shù)列或函數(shù)問題中,它可以幫助我們快速、有效地計(jì)算出一系列相關(guān)的數(shù)據(jù).

通過對(duì)“數(shù)列”這一章的學(xué)習(xí),我們對(duì)遞推關(guān)系有了一定的認(rèn)識(shí),也掌握了不少由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,求其某一項(xiàng)的值,通過代入通項(xiàng)公式計(jì)算即可,例如,已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1,求a20的值.但事實(shí)有時(shí)并非如此簡單,例如,已知斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為

試求F20的值.代入計(jì)算將會(huì)極其煩瑣:

沒有過硬的運(yùn)算能力,很難算出結(jié)果是10946.

如果知道斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系:Fn＋2＝Fn＋1＋Fn,且F1＝F2＝1,便可以用遞推的思想,一個(gè)個(gè)往下計(jì)算得1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946.

相比較而言,由斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系求F20比用其通項(xiàng)公式求解要簡單.

再如,已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

求a7的值.直接求解難度很大,感覺無從下手,但利用遞推關(guān)系會(huì)很容易(見例2).

由上述例子,可知通項(xiàng)公式在實(shí)際解題中并非萬能,有時(shí)尋求遞推關(guān)系反而獨(dú)辟蹊徑,使問題變得清晰簡單.下面以一類三角求值題為例,說明“已知通項(xiàng)公式,尋求遞推關(guān)系”的思想在解題中的應(yīng)用,以期拋磚引玉.

例1 已知sinθ＋cosθ＝k,求sin5θ＋cos5θ的值.

不妨記an＝sinnθ＋cosnθ,則

又sinθ＋cosθ＝k,所以(sinθ＋cosθ)2＝k2,即1＋2sinθcosθ＝k2,故

上述三個(gè)例子,直接求解都較為困難,通過由通項(xiàng)公式以及三角恒等變換的相關(guān)公式,聯(lián)系根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造出相應(yīng)的遞推關(guān)系,再用遞推的方法,逐步算得結(jié)果.解答過程所需的知識(shí)較少,充分體現(xiàn)“已知通項(xiàng)公式,尋求遞推關(guān)系”的思想在解題中的獨(dú)特“魅力”.

在紛繁變幻的世界,某種現(xiàn)象的變化結(jié)果與緊靠它前面變化的一個(gè)或一些結(jié)果緊密關(guān)聯(lián),而遞推關(guān)系的思想正體現(xiàn)了這一規(guī)律.遞推關(guān)系作為一種思想方法在眾多數(shù)學(xué)分支(如組合、概率)中起著重要的作用.因此,學(xué)好遞推關(guān)系不僅可以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),而且對(duì)數(shù)學(xué)問題可以有著不同思維層面的理解.

(完)