強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)備考中的三角求值問(wèn)題

張欣然

(北京中學(xué))

1 知識(shí)補(bǔ)充

1)半角公式:

2)萬(wàn)能公式:

3)三倍角公式:

4)積化和差與和差化積公式:

a)積化和差公式:

b)和差化積公式:

2 技巧歸納

三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn):

1)對(duì)于常用的三角函數(shù)的相關(guān)公式要熟練掌握,爭(zhēng)取達(dá)到“內(nèi)化于心”的程度.

2)熟悉三角恒等變換的一般原則.

a)角少:盡可能用較少的已知角去表示未知角;

b)名少:盡可能用較少的三角函數(shù)表達(dá)其余三角函數(shù);

c)次數(shù)低:面對(duì)高次式,要用降次公式對(duì)其降次處理;

d)用好1:要熟悉1 的一些特殊代換,如1＝tan45°＝sin2α＋cos2α,1＋cos2α＝2cos2α等.

3 經(jīng)典例題

例1 (2017年北京大學(xué))9tan10°＋2tan20°＋4tan40°－tan80°＝( ).

分析 注意到題中出現(xiàn)的角依次為2倍關(guān)系,可聯(lián)想到正切的2倍角公式,再注意到是求和,可考慮裂項(xiàng)相加法.

將以上三式相加得

所以9tan10°＋2tan20°＋4tan40°－tan80°＝0,故選A.

推廣 tanθ＋2tan2θ＋…＋2ntan2nθ＝cotθ－2n＋1cot2n＋1θ.

例2 (2016年清華大學(xué),多選題)已知α＝1°,β＝61°,γ＝121°,則( ).

C.tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝－3

D.tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝3

分析 注意觀察角的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)可考慮正切的差角公式求解,易知C 正確,則D 錯(cuò)誤.但本題是多選題,那么選項(xiàng)A 和B又如何研究呢? 事實(shí)上只需將分式的分母除到分子里,即可發(fā)現(xiàn)A 和B反映的是余切兩兩乘積的和,再注意到正切和余切的倒數(shù)關(guān)系不難求解.或者直接推導(dǎo)出兩角差的余切公式,再結(jié)合角的關(guān)系使問(wèn)題獲解.

或“感性”分析一下:注意到tanα＞0,tanβ＞0,tanγ＜0,且|tanβ|＞|tanγ|,結(jié)合誘導(dǎo)公式可知B錯(cuò)誤,則A 正確.

可得

同理,有

將①②③相 加 可 得tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝－3,故C正確.

再由①②③可得

統(tǒng)計(jì)比較兩組患兒的治療效果、止吐時(shí)間、止瀉時(shí)間以及退熱時(shí)間?；純褐委熀蟾鞣N臨床癥狀得到顯著的改善,大便次數(shù)相較治療前明顯減少,視為顯效;患兒治療后各種臨床癥狀有所改善,大便次數(shù)有所減少,視為有效;患兒治療后各種臨床癥狀沒(méi)有得到改善,大便次數(shù)也沒(méi)有變化,視為無(wú)效。

將以上三式相加得

綜上,選AC.

解法2 tan(β－60°)tanβtan(β＋60°)＝

所以

則A 正確.

所以C正確.

綜上,選AC.

推廣 若β－α＝60°,γ－β＝60°,則

解法1 注意到

故選D.

解法2

A.0 B.1

C.無(wú)窮多個(gè) D.前三個(gè)答案都不對(duì)

解 化解得

下面需要對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行估算,注意到

例6 (2010 年 清 華 大 學(xué))求 值:sin410°＋sin450°＋sin470°.

分析 本題次數(shù)較高,要先用降冪公式對(duì)所求解析式中的四次方進(jìn)行多次降次,再化簡(jiǎn)求解.

遇到高次數(shù)就考慮進(jìn)行降次,遇到角或函數(shù)名的差異就考慮縮減這種差異,遇到常數(shù)1就要想到把其換成三角值,這些是我們?cè)谌呛瘮?shù)化簡(jiǎn)與求值時(shí)要秉承的基本原則.

例7 求sin18°的值.

解法1 由sin36°＝cos54°,可得

因?yàn)閏os18°≠0,所以4sin218°＋2sin18°－1＝0,因?yàn)閟in18°＞0,所以

解法2 由cos36°＝sin54°,可得

分解因式得

因?yàn)閟in18°≠1,所以4sin218°＋2sin18°－1＝0.下同解法1.

解法3 構(gòu)造等腰△OAB,使頂角∠AOB＝36°,OA＝OB＝1,作∠OAB的平分線AD,則

(完)