分形理論在礦物加工中的應(yīng)用基礎(chǔ)及研究進展

劉欣然 ，周偉光 ，謝廣元 ，彭耀麗，梁 龍，李懿江

(1.中國礦業(yè)大學 煤炭加工與高效潔凈利用教育部重點實驗室,江蘇 徐州 221116；2.中國礦業(yè)大學 化工學院,江蘇 徐州 221116)

礦產(chǎn)資源是國民經(jīng)濟和社會發(fā)展的物質(zhì)基礎(chǔ)，礦物加工技術(shù)是礦產(chǎn)資源高效提取利用的技術(shù)基礎(chǔ)。近年來，隨著礦產(chǎn)資源的開采、開發(fā)，我國礦產(chǎn)資源稟賦逐漸變差，礦物加工理論和工藝技術(shù)的升級與創(chuàng)新成為保障礦產(chǎn)資源綠色高效獲取的現(xiàn)實需求。鑒于此，學者們借鑒其他學科研究技術(shù)，通過多學科交叉、融合的方式開展研究，以期實現(xiàn)礦物加工過程環(huán)節(jié)優(yōu)化及綜合指標提升。其中，分形理論因具有包容性強、運行方式靈活、應(yīng)用范圍廣等特點，為礦物加工過程部分基礎(chǔ)問題的解決提供了良好的思路和借鑒。

分形理論是一門非線性學科，具有自相似性等基本特征，可用于描述自然界中各類非規(guī)則現(xiàn)象。發(fā)展之初，分形理論研究對象主要涉及河流道路軌跡及高分子鏈空間結(jié)構(gòu)等，后逐漸應(yīng)用于水處理領(lǐng)域，以表征懸濁液中絮體結(jié)構(gòu)特性[1]。需要說明的是，礦物加工領(lǐng)域同樣涉及眾多非規(guī)則現(xiàn)象，分形理論的應(yīng)用亦有助于解耦相關(guān)過程、闡明其機理。目前，礦物加工領(lǐng)域涉及分形理論的研究方向主要有：基于自然界礦石中有用礦物的分形分布規(guī)律，預(yù)測礦石機械揀選技術(shù)指標和經(jīng)濟效益[2]；基于不同碎磨條件下礦石的粒度分形分布規(guī)律及形狀分形特征，優(yōu)化工藝參數(shù)，研發(fā)新型破碎磨礦設(shè)備[3]；基于不同外界條件下礦漿懸濁液中絮體結(jié)構(gòu)的分形特征，研究顆粒聚集/分散行為，提升浮選綜合指標，調(diào)控絮體沉降速率[4]；基于不同過濾條件下濾餅孔隙結(jié)構(gòu)的分形特征，探索提高過濾效率的方法[5]等。

另一方面，與其他應(yīng)用領(lǐng)域相比，分形理論在礦物加工中的應(yīng)用仍處于發(fā)展階段，相關(guān)研究工作較少且不夠深入，大部分相關(guān)研究成果尚未投入實際生產(chǎn)。考慮到分形理論廣闊的潛在應(yīng)用前景(尤其是選礦過程智能化和高效化發(fā)展方向)，有必要對前人研究成果進行總結(jié)、歸納，并在此基礎(chǔ)上理清、拓寬研究思路，明確未來研究方向。其中，在礦石揀選、礦石碎磨以及過濾(高濃度礦漿經(jīng)過濾機加壓形成濾餅)過程中，分形研究對象為礦石碎塊、粒度較大的礦石顆粒以及含水量相對較低的濾餅，且各工藝環(huán)節(jié)通常處于干燥或礦漿濃度相對較高的環(huán)境中，一般不涉及微細礦物顆粒的混凝；在調(diào)漿、礦物浮選、沉降(包括過濾操作前礦漿懸濁液中礦物顆粒絮體沉降階段)過程中，分形研究對象為微細礦物顆粒及由微細礦物顆粒形成的絮體，且各工藝環(huán)節(jié)操作均處于液相環(huán)境中，涉及微細礦物顆粒的聚集/分散以及復(fù)雜混凝過程。因此，筆者將礦物加工過程中涉及分形現(xiàn)象的工藝環(huán)節(jié)分為“礦石揀選、碎磨及過濾”、“調(diào)漿-浮選與絮體沉降”2 部分，并分別對其中的分形現(xiàn)象進行分析，擬對分形理論在礦物加工領(lǐng)域的研究做出全面綜述。

筆者在概述分形理論相關(guān)概念基礎(chǔ)上，針對部分具有自相似性等分形特征的礦物加工工藝環(huán)節(jié)(包括礦石揀選、礦石碎磨、調(diào)漿、礦物浮選、沉降、過濾等)，歸納總結(jié)分形理論在以上工藝環(huán)節(jié)中的研究現(xiàn)狀，并基于各研究現(xiàn)狀分析、展望分形理論在礦物加工領(lǐng)域的發(fā)展方向，旨在基于多學科交叉以實現(xiàn)礦物加工學科的深入和可持續(xù)發(fā)展,為剖析某些復(fù)雜過程提供方法支持和技術(shù)借鑒。

1 分形理論

MANDELBROT 于1975 年提出了分形理論概念[1]，認為分形體具有自相似性(局部為整體的縮影)、無標度性及自放射性三大基本特征，這不僅表現(xiàn)在事物的圖形外觀上，還可體現(xiàn)在能量、時空、性質(zhì)等方面。分形現(xiàn)象在自然界中普遍存在(圖1)，并廣泛應(yīng)用于眾多學科的基礎(chǔ)研究。

圖1 常見分形現(xiàn)象Fig.1 Common fractal phenomena

歐氏幾何中維數(shù)僅能用整數(shù)表示，而對于復(fù)雜且不規(guī)則的分形體則需采用分形維數(shù)概念。分形維數(shù)是分形的度量指標，被用于描述分形體不規(guī)則程度及其在空間中的填充程度，可與諸多自然特性相關(guān)聯(lián)，具有極高的包容性。通常，二維分形維數(shù)適用于描述平面圖形幾何輪廓性質(zhì)；三維分形維數(shù)能夠揭示分形體三維空間幾何特性；若顆粒群粒度分布具有分形特征，則可通過分布分形維數(shù)表征[3]。

依據(jù)研究對象特性差異，研究者提出了不同的分形維數(shù)定義方法，其中最常用的方法為相似維數(shù)。相似維數(shù)的本質(zhì)是把研究對象看作一個可被劃分為N(F,r)個子集的集合F，每個子集以相似比r與原集合相似，如果存在一個數(shù)Df，使得當r→0 時有

則稱Df為研究對象的相似維數(shù)，即分形維數(shù)。該定義方法計算簡單、高效，廣泛適用于各類具有自相似性質(zhì)的研究對象，但僅能對研究對象作整體性描述，無法精確描述其局部分維特性[1]。

分形維數(shù)計算過程模型如圖2 所示。礦物加工領(lǐng)域存在諸多分形現(xiàn)象，該模型能廣泛匹配各類分形現(xiàn)象的分形維數(shù)求解過程。例如，通過計算礦石中有用礦物分布分形維數(shù)，可揭示其中有用礦物分布規(guī)律[6]；通過計算碎磨過程中礦石粒度分布分形維數(shù)，可揭示不同碎磨條件下礦石粒度變化規(guī)律[7]；通過分析礦漿混凝過程中礦物顆粒絮體分形維數(shù)，可反映不同變量條件下絮體結(jié)構(gòu)及顆粒動態(tài)變化規(guī)律等[8]。

圖2 分形維數(shù)計算過程模型Fig.2 Fractal dimension calculation process model

2 分形理論在礦石揀選、碎磨及過濾中的應(yīng)用

2.1 分形理論在礦石揀選中的應(yīng)用

現(xiàn)代礦石揀選過程通常利用傳感器，基于有用礦物與脈石礦物元素種類及含量等性質(zhì)差異實現(xiàn)2 者的分離。揀選工藝主要包括礦塊揀選和礦石批量揀選2 種類型，其基本流程包括給料、傳感器檢測、信號處理以及物料分離4 個部分[9]。揀選工藝在礦石采選領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景，但原有礦石批量揀選技術(shù)存在試樣礦物分布規(guī)律缺乏代表性、預(yù)期揀選技術(shù)指標與實際揀選效果差異大等缺陷，影響應(yīng)用可行性。

自然成礦過程具有自相似性(圖3)[10]，礦石品位與質(zhì)量存在分形關(guān)系(式(2))[6]，通常采用人工檢測的方法獲取礦石樣品的品位和質(zhì)量數(shù)據(jù)，再通過分形維數(shù)定義計算礦物在礦石中的分布分形維數(shù)。

圖3 具有分形特征的成礦模型Fig.3 Metallogenic model with fractal characteristics

式中，C(M)為富集部分礦石品位；M為富集部分礦石質(zhì)量；Dr為礦物在礦石中的分布分形維數(shù)，Dr越大，礦物分布越不均勻。

LI 等[2]發(fā)現(xiàn)將分形規(guī)律引入礦石批量揀選領(lǐng)域，并開展以下研究：首先，基于不同礦體中礦物分布規(guī)律的分形結(jié)構(gòu)特性差異，在原有研究基礎(chǔ)上提出礦石批量揀選(BOS)模型(式(3))，并根據(jù)BOS 模型，建立礦石批量揀選技術(shù)指標(如給礦品位、精礦品位、精礦產(chǎn)率和金屬回收率)及經(jīng)濟效益指標的預(yù)測模型。

式中，c為品位閾值；m為高于品位閾值累積礦石質(zhì)量分數(shù)；G為分形量度，G越大，礦物越分布在較高品位下，可由對礦石樣品的品位和質(zhì)量數(shù)據(jù)分析得到。

LI 等[11]以不同地區(qū)的3 種銅礦樣品為研究對象，對模型的準確性進行驗證，整體上準確度較高?？傮w而言，將分形理論引入礦石揀選過程建模中，可通過礦石性質(zhì)有效預(yù)測揀選效果。雖然該研究仍停留在理論層面，尚未應(yīng)用于實際生產(chǎn)，其后續(xù)深入研究卻對推動礦石批量揀選工業(yè)的快速發(fā)展大有裨益。

2.2 分形理論在礦石碎磨中的應(yīng)用

礦石碎磨過程中，單一礦石的每次碎裂都將分裂成更小的礦石顆粒，礦石碎裂具有自相似性(圖4)[12]，因此該過程中礦石的粒度、形狀和能量消耗等性質(zhì)變化均具有分形特征。

圖4 具有分形特征的礦石顆粒破碎模型Fig.4 Fractal model of ore particle crushing

2.2.1顆粒粒度分布分形規(guī)律

顆粒粒度是礦石碎磨過程中最重要的性能評價指標，其分布存在分形特征(式(4))[13]。通常采用粒度分布法研究礦石顆粒粒度分布分形維數(shù)，較為常見的粒度檢測方法有篩析法、沉降法和激光粒度測定法等：對于粒度較大的礦石顆粒，多采用篩析法；對于微細粒粉體，多采用激光粒度測定法。

其中，d為顆粒粒度；n為系統(tǒng)顆?？倲?shù)；Yn(d)為粒度小于d的顆粒數(shù)；Dg為粒度分布分形維數(shù)。Dg越大，細粒級所占比例越高，顆粒分布越不均勻，且顆粒表面越粗糙。當Dg接近2 時，礦石主要發(fā)生表面磨損；當Dg接近3 時，礦石主要發(fā)生整體碎裂[7]。

研究表明，礦石碎磨過程中顆粒粒度分布分形規(guī)律與碎磨工藝參數(shù)有著密切的關(guān)聯(lián)。例如，高鋒等[12]破碎磁鐵礦時發(fā)現(xiàn)，隨著破碎級數(shù)增加，礦石粒度分布分形維數(shù)逐漸增大，增大速率則逐漸減小并最終趨于穩(wěn)定。ZHANG 和YANG 等[14-15]研究矸石和低階煤粉碎時發(fā)現(xiàn)，礦石粒度分布分形維數(shù)隨粉碎壓力(能量輸入)的增大呈先增大后趨于穩(wěn)定的趨勢。楊志遠等[16]利用行星磨制備超細煤粉時發(fā)現(xiàn)，通過改變磨礦時間、添加助磨劑、優(yōu)化球配比等調(diào)節(jié)顆粒粒度分布分形維數(shù)，能夠?qū)崿F(xiàn)礦物磨礦過程及磨礦效率的有效控制?？梢姡陬w粒粒度變化的分形特征研究，有助于實現(xiàn)對礦石碎磨工藝的過程優(yōu)化與智能控制。

2.2.2顆粒形狀、碎磨能耗分形規(guī)律

礦石碎磨過程中，隨著顆粒不規(guī)則程度的增加，僅通過粒度分布評價礦石碎磨性能存在一定的局限性，于是研究者提出采用顆粒質(zhì)量(三維)、投影面積(二維)、表面積分形維數(shù)描述顆粒特性。其中，質(zhì)量分形維數(shù)采用質(zhì)量-粒徑法計算(式(5))，投影面積、表面積分形維數(shù)則分別通過圖像分析法測量，即通過光學顯微鏡、透射電鏡或掃描電鏡拍攝顆粒圖像，隨后利用Image J 等圖像分析軟件測量顆粒投影面積和邊界長度，進而計算分形維數(shù)(式(6)、(7))[17]。

其中，M(d)為顆粒質(zhì)量；A(L)為顆粒投影面積；L為投影特征長度；γ為碼尺長度；P(γ)為投影周長；Dm為質(zhì)量分形維數(shù)；Da為面積分形維數(shù)；Dp為邊界分形維數(shù)。表面積分形維數(shù)Ds=Dp+1，Ds越大，顆粒表面越不光滑。

顆粒形狀分形維數(shù)不僅取決于碎磨工藝參數(shù)，還可與其他特征參數(shù)相聯(lián)系。焦紅蕾等[18]研究煤炭粉磨過程時發(fā)現(xiàn)，顆粒表面積和質(zhì)量分形維數(shù)可用于磨礦能耗和產(chǎn)品成漿濃度的計算，并通過過程調(diào)控實現(xiàn)了磨機工作效率的提升。WANG 等[19]建立了礦石破碎中比表面積及裂紋面積的分形模型，進而推導(dǎo)出礦石材料的表面能計算方程，為破碎方法的選取及破碎過程的能量控制提供了理論基礎(chǔ)。胡松等[20]發(fā)現(xiàn)煤塊在單軸壓力載荷下，隨著應(yīng)力增加，煤表面分形維數(shù)呈先緩慢增大后急劇增大的非線性關(guān)系，從微觀層面解釋了煤表面結(jié)構(gòu)在不同應(yīng)力應(yīng)變下的變化規(guī)律。

礦石顆粒的碎裂通常是逐級變化的，其中每級破碎都伴隨著能量的消耗。目前，如何節(jié)能降耗仍是礦石碎磨領(lǐng)域的核心問題，對此部分研究者進行了碎磨過程能耗模型的探索。胡振中等[21]發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)Bond能耗公式雖能較準確預(yù)測輥式破碎機和錘式破碎機在煤破碎過程中的能耗規(guī)律，但對顆粒入料及產(chǎn)物的細度模數(shù)有較高要求，隨后新建了基于能耗分形維數(shù)的能耗公式，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)其對細度模數(shù)的選取要求不高，且能耗預(yù)測值與實際值擬合程度更高，可有效解決原煤破碎能耗預(yù)測難的問題。蔡改貧等[22]基于分形理論通過構(gòu)建破碎能耗、礦石粒度分布、設(shè)備結(jié)構(gòu)參數(shù)、破碎工作參數(shù)間耦合關(guān)聯(lián)，建立了低頻振動擠壓破碎能耗預(yù)測模型，其預(yù)測值與實際值擬合較好，可應(yīng)用于新型板輥式低頻振動破碎機的研發(fā)，以計算礦石破碎所需要能量，從而選擇最優(yōu)工作參數(shù)。

目前，礦石碎磨領(lǐng)域分形規(guī)律的部分研究成果已應(yīng)用于實際生產(chǎn)，但多數(shù)研究仍停留在對分形維數(shù)與碎磨生產(chǎn)工藝參數(shù)間的定性分析方面，定量關(guān)系的相關(guān)研究較少，因此該領(lǐng)域仍有較大的研究、探索空間?？傮w而言，礦石顆粒形狀及碎磨能耗分形規(guī)律的研究有助于進一步優(yōu)化生產(chǎn)工藝參數(shù)，其相關(guān)成果對未來工程應(yīng)用亦具有重要指導(dǎo)意義。

2.3 分形理論在過濾中的應(yīng)用

過濾是固液分離過程的重要環(huán)節(jié)，其操作過程可分為2 個階段：第1 個階段是過濾操作前礦漿懸濁液中礦物顆粒絮體沉降階段，第2 個階段是高濃度礦漿經(jīng)過濾機加壓形成濾餅階段。在第2 個階段，除礦漿性質(zhì)外，濾餅性質(zhì)也可影響最終過濾效果。濾餅孔隙在平面的投影可看作是形狀不規(guī)則的多邊形。因此，可采用圖像分析法測量濾餅截面孔隙周長和面積，計算分形維數(shù)表征孔隙邊界復(fù)雜程度[23]。

式中，P(A)為濾餅截面孔隙周長；A為濾餅截面孔隙面積；D′p為濾餅截面孔隙分形維數(shù)，D′p越大，孔隙形狀越不規(guī)則，過濾效果越差。

濾餅分形結(jié)構(gòu)與宏觀過濾行為密切相關(guān)，基于濾餅分形結(jié)構(gòu)特性的調(diào)節(jié)有助于實現(xiàn)改善宏觀過濾效果的目標。來慶騰[24]發(fā)現(xiàn)，煤泥濾餅的上層孔隙率大、平均孔徑小、分形維數(shù)大，而下層濾餅孔隙率小、平均孔徑大、分形維數(shù)小，助濾劑的添加可針對性降低濾餅?zāi)承┪恢玫姆中尉S數(shù)，增大孔隙率，從而提高過濾效率。陳茹霞[25]研究顆粒性質(zhì)對煤漿過濾效果的影響時發(fā)現(xiàn)，煤顆粒粒度越小，濾餅的分形維數(shù)越大，而顆粒粒度不均勻時，濾餅的分形維數(shù)從底層到表面逐漸增大，并由此提出為實現(xiàn)較好的過濾效果，應(yīng)嚴格控制物料粒度組成并優(yōu)化濾餅上層結(jié)構(gòu)的思路。

綜上，探索不同條件下濾餅孔隙分形結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律，建立過濾操作與濾餅微觀分形結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，有助于從微觀本質(zhì)上解釋固液分離機理、實現(xiàn)礦物宏觀過濾行為的精準調(diào)控，并為難濾礦物過濾脫水設(shè)備的開發(fā)提供理論指導(dǎo)。

3 分形理論在調(diào)漿-浮選與絮體沉降中應(yīng)用

調(diào)漿是浮選作業(yè)前的預(yù)處理作業(yè)，浮選是使目的礦物與脈石礦物分離的有效方法；沉降是過濾操作前的必要環(huán)節(jié)。在礦漿懸濁液體系中，微細礦物顆粒通過混凝的方式聚集形成絮體。若不考慮絮體的破碎情況，混凝過程可看作是微小顆粒結(jié)合成為小絮體，小絮體結(jié)合成大絮體，大絮體再聚集形成大絮團的過程，這在一定程度上滿足自相似性和標度不變性的分形特征(圖5)[26]。實踐表明，絮體分形維數(shù)相關(guān)研究有助于充分揭示礦漿混凝過程機理，對指導(dǎo)礦物加工工程實踐具有重大現(xiàn)實意義。

圖5 具有分形特征的絮體生長過程模型Fig.5 Floc growth process model with fractal characteristics

3.1 礦物顆粒絮體分形維數(shù)測量方法

絮體粒度分布分形維數(shù)可準確反映絮體群粒度分布，二維和三維分形維數(shù)可反映絮體結(jié)構(gòu)密實程度。根據(jù)礦漿環(huán)境及絮體性質(zhì)差異，學者們設(shè)計了不同分形維數(shù)測量方法。表1 為礦物加工領(lǐng)域常見絮體分形維數(shù)測量方法及其適用范圍和優(yōu)缺點。由于不同測量方法的機理不同，分形維數(shù)差異可能較大，故對于同一體系內(nèi)絮體間分維特性的表征宜統(tǒng)一測量手段。

3.2 基于分形理論的礦漿混凝行為

基于分形理論的混凝行為研究興起于水處理領(lǐng)域。由于礦漿懸濁液與廢水懸濁液某些性質(zhì)相近，通常借鑒分形理論在水處理領(lǐng)域中涉及的部分研究方法與結(jié)論開展礦物加工領(lǐng)域礦漿懸濁液性質(zhì)研究。

3.2.1典型混凝機理下絮體的分維特性

懸浮漿料體系中，多數(shù)微細顆?？赏ㄟ^混凝的方式聚集，形成尺寸較大、結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的絮體。凝聚和絮凝是混凝的2 種主要作用形式，壓縮雙電層、電中和、網(wǎng)捕卷掃、吸附架橋等是誘導(dǎo)混凝發(fā)生的基本作用機制。表2 為不同種類懸濁液在典型混凝機制下形成絮體的分維信息。相較于壓縮雙電層/電中和誘導(dǎo)形成的絮體，網(wǎng)捕卷掃作用下顆粒易被藥劑水解產(chǎn)物包裹，使形成的絮體空隙較少、結(jié)構(gòu)密實，從而絮體三維分形維數(shù)較大；而吸附架橋作用下形成的絮體分支多，結(jié)構(gòu)更加開放，其三維分形維數(shù)最小。網(wǎng)捕卷掃、吸附架橋作用下形成的絮體普遍具有網(wǎng)鏈狀結(jié)構(gòu)，故對應(yīng)二維分形維數(shù)通常較電中和誘導(dǎo)機制下絮體二維分形維數(shù)更小。

表2 典型混凝機理下絮體分維特性Table 2 Fractal dimension characteristics of flocs under typical coagulation mechanism

3.2.2分形理論在混凝動力學中的應(yīng)用

隨著礦漿混凝研究的深入，絮體形成、生長及其結(jié)構(gòu)動態(tài)變化的規(guī)律愈發(fā)引人關(guān)注。由于分形理論廣泛的適用性及其對絮體結(jié)構(gòu)表征的直觀性，越來越多學者嘗試將分形理論引入顆粒混凝動力學研究過程中，以期更加深刻地揭示混凝過程中絮體空間結(jié)構(gòu)及物理性質(zhì)的轉(zhuǎn)變規(guī)律。

(1)絮體分形結(jié)構(gòu)生長模型。為探究絮體生長過程對混凝工藝的影響，研究者們提出了3 類反映絮體生長特征的分形結(jié)構(gòu)模型(每種模型包含單體凝聚和集團凝聚2 個亞類)。表3 為不同分形結(jié)構(gòu)模型下絮體分形維數(shù)和結(jié)構(gòu)特點。雖然不同凝聚類型下的絮體性質(zhì)各異，但其分形維數(shù)間存在著一般規(guī)律：由于單顆粒比微絮體更易進入到絮體的內(nèi)部，并使絮體密實度增加，故單體凝聚比集團凝聚形成的絮體具有更高的分形維數(shù)；由于各種模擬方法假設(shè)的黏結(jié)概率不同，反應(yīng)控制模型考慮了顆粒間的相互作用，為了克服顆?；蛭⑿躞w間的斥力，需要更高的碰撞頻率才能形成絮體，故反應(yīng)控制誘導(dǎo)的絮體分形維數(shù)區(qū)間較擴散控制誘導(dǎo)的絮體分形維更大。

表3 不同分形結(jié)構(gòu)模型模擬形成的絮體分形維數(shù)及其特點Table 3 Fractal dimension and characteristics of flocs simulated by different fractal structure models

(2)基于分形理論的混凝動力學模型?；炷齽恿W模型旨在通過數(shù)學建模揭示混凝過程中顆粒性質(zhì)隨時間動態(tài)變化規(guī)律，較為經(jīng)典的有Smoluchowski 模型、群體平衡模型(PBM)等。通常情況下，流體中顆粒間碰撞機制主要有3 種：由分子熱運動引起的布朗運動、由水力和機械攪拌引起的流體剪切以及由顆粒尺寸和密度不同引起的差速沉降等，這3 種機制所形成的混凝模式均可影響顆粒碰撞函數(shù)β。傳統(tǒng)混凝動力學模型中綜合碰撞函數(shù)的計算僅是3 種碰撞函數(shù)間的加和，并沒有考慮3 者間潛在關(guān)聯(lián)性。而實際混凝過程中，絮體重組會使絮體粒徑、分形維數(shù)等性質(zhì)發(fā)生變化，進而引起3 種碰撞函數(shù)及綜合碰撞函數(shù)的交互改變。將絮體分形維數(shù)引入顆粒碰撞函數(shù)β，即可得到分形理論耦合的混凝動力學模型[55-56]。表4對比了2 種經(jīng)典混凝動力學模型引入分形維數(shù)前后的差異?；炷齽恿W研究過程中分形理論的引入能夠有效彌補傳統(tǒng)混凝動力學模型的不足(如忽略顆粒形狀、孔隙結(jié)構(gòu)、不考慮絮體破碎重組等)，有助于深化對各操作變量引起的顆粒絮凝行為變化的內(nèi)在機理的認識，對解耦顆?；炷^程具有重大的理論意義。

表4 分形理論的引入對兩種經(jīng)典混凝動力學模型的影響Table 4 Influence of fractal theory on two classical coagulation kinetic models

礦物加工調(diào)漿-浮選、沉降過程中，因作業(yè)目標差異，不同環(huán)節(jié)理想絮體結(jié)構(gòu)也存在差異，如在尾礦沉降環(huán)節(jié)，為加強固液分離效率，理想絮體應(yīng)粒度適宜，并具有一定抗剪切破壞能力；在浮選預(yù)調(diào)漿階段，為使目的礦物與脈石礦物充分分散并選擇性聚集，脈石礦物絮體強度應(yīng)小于目的礦物絮體強度等。絮體其他結(jié)構(gòu)特性與分形維數(shù)緊密相關(guān)，因此建立絮體不同結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系對礦物加工不同環(huán)節(jié)過程調(diào)控及指標優(yōu)化具有現(xiàn)實意義。

(1)絮體密度。不同于單一顆粒，絮體內(nèi)部往往存在大量空隙，在礦漿環(huán)境中空隙被液體占據(jù)而使絮體表觀密度降低。對于分形維數(shù)與絮體密度(孔隙率)之間的函數(shù)關(guān)系，一般認為絮體密度、粒徑與其分形維數(shù)滿足：

其中，ρe為絮體有效密度(在水中的密度)；dp為粒徑；D3=2.2～1.7[62]。故一般認為，絮體孔隙率越大，其密度越小，結(jié)構(gòu)越松散，分形維數(shù)也越小。

(2)絮體粒度。絮體粒度與其分形維數(shù)間的關(guān)系可從單個絮體和絮體群2 方面分析。對于單一絮體，普遍認為絮體越大，其內(nèi)部包含基本粒子數(shù)越多，對應(yīng)分形維數(shù)越小[63]。對于絮體群，CHELLAM 等[64]研究不同分形維數(shù)絮體的粒度分布曲線時發(fā)現(xiàn)：當Df=3 時，絮體粒度分布范圍較窄，但隨著分形維數(shù)的降低，絮體粒度分布逐漸變寬且平均粒度向增加的方向移動。故一般認為，絮體粒度分布分形維數(shù)和平均粒徑呈負相關(guān)，且當粒級范圍相同時，細粒級所占比例越大，對應(yīng)粒度分布分形維數(shù)越大。

(3)絮體強度。絮體強度是其抗破壞能力的表征，其大小取決于組成絮體顆粒間結(jié)合鍵強弱、數(shù)量以及絮體大小、密實度等性質(zhì)。實際上，針對絮體強度與絮體分維特性間關(guān)聯(lián)關(guān)系，YANG 等[65]將絮體視為黏性較高的流體，把強度、分形維數(shù)與非牛頓流體的賓漢切應(yīng)力結(jié)合建立了關(guān)系式，最終得出了絮體分形維數(shù)越高，體系的賓漢切應(yīng)力越大，絮體強度越大的結(jié)論?？傊?，分形維數(shù)越大的絮體，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)越致密，組成絮體的顆粒間排斥作用越小，其強度也越高。

3.3 影響礦物顆粒絮體分維特性的因素

3.3.1藥 劑

化學藥劑被廣泛應(yīng)用于礦物加工過程不同工藝環(huán)節(jié)?？紤]到絮體性質(zhì)與礦物顆粒的聚集/分散狀態(tài)緊密相關(guān)，因此常見的影響顆粒聚集/分散狀態(tài)的藥劑，包括捕收劑、分散劑和混凝劑等，是相關(guān)研究的重點。其中，浮選捕收劑、部分混凝劑能夠通過強化礦物顆粒疏水，誘導(dǎo)顆粒通過聚團的形式形成具有不同分維特性的絮體。分散劑則能夠通過增強礦物顆粒間排斥作用或空間位阻效應(yīng)，實現(xiàn)不同礦物顆粒間的分散(絮體的破壞)[66]。表5 為常見藥劑作用下不同種類絮體的形成機理及其分維特性。一般而言，單一電解質(zhì)如AlCl3、CaCl2等主要誘導(dǎo)顆粒間發(fā)生壓縮雙電層作用，絮體分形維數(shù)隨藥劑用量的變化不明顯；有機高分子混凝劑主要誘導(dǎo)顆粒發(fā)生吸附架橋作用，其超過一定用量后易導(dǎo)致絮體分形維數(shù)降低；無機混凝劑的作用機理最復(fù)雜，其用量較低時顆粒間主要發(fā)生電中和作用，而當其濃度較高時可發(fā)生網(wǎng)捕和架橋作用。

表5 藥劑添加對礦物顆粒絮體分形維數(shù)的影響Table 5 Effect of chemical addition on fractal dimension of mineral particle flocs

3.3.2礦漿性質(zhì)

礦漿性質(zhì)包括環(huán)境pH、溫度、鹽離子等因素均能夠通過影響顆粒聚集/分散狀態(tài)改變絮體分維特性。

緩沖溶液的pH是影響化學反應(yīng)的主要因素之一，pH過高或者過低，都會對化學反應(yīng)產(chǎn)生影響，很多反應(yīng)，尤其是一些生化反應(yīng)，往往需要在一定的pH下反應(yīng)才能正常發(fā)生，比如在特定細菌的培養(yǎng)以及生物體內(nèi)酶促反應(yīng)等等，都需要穩(wěn)定的pH,pH變化幅度過大就會造成細菌死亡，無法正常繁殖，也會使得酶的活性喪失，難以發(fā)揮其促使相關(guān)反應(yīng)的作用，因此實驗室中經(jīng)常需要配制一定濃度和一定pH的緩沖溶液，緩沖溶液的配制過程就涉及到緩沖對量取多少的問題，這就需要運用緩沖公式進行具體的分析。

(1) pH。礦漿pH 能夠通過影響礦漿中礦物顆粒表面電荷分布，進而影響顆粒聚集/分散行為，導(dǎo)致形成的絮體分維性質(zhì)改變。對于某些pH 敏感型混凝劑，不同pH 條件下其水解產(chǎn)物不同，最終的混凝效果及絮體分維性質(zhì)也存在差異。例如，溫海龍等[78]采用聚合氯化鋁處理高嶺土模擬廢水時發(fā)現(xiàn)，pH 約為6.5 時絮體分形維數(shù)最大，這是由于此時鋁離子水解的眾多產(chǎn)物中聚十三鋁(Al13)的含量最高，而Al13穩(wěn)定性好且電荷密度高，有利于中和顆粒表面電荷形成穩(wěn)定絮體。王興軍等[79]利用陽離子型聚丙烯酰胺處理煤氣化細渣懸濁液時發(fā)現(xiàn)，當pH 較大時絮體形狀不規(guī)則且分散，而隨著pH 降低絮體二維分形維數(shù)增大，這表明酸性條件下陽離子混凝劑混凝效果更強。

(2)溫度。礦漿溫度能夠顯著影響礦物顆粒、水、藥劑等多種組分的物化活性及其交互作用，造成顆?；炷^程及絮體分維性質(zhì)的差異化。劉云霞[80]發(fā)現(xiàn)，當溫度在20～80 °C 時，隨溫度升高煤泥水中絮體的分形維數(shù)呈現(xiàn)先增后減或逐漸增加的趨勢，并認為溫度的適當升高促進了顆粒布朗運動，提高了藥劑與顆粒間化學反應(yīng)速率，進而強化了顆粒間凝聚；而溫度過高時，布朗運動加劇增強了絮體的水合作用，導(dǎo)致部分已形成的絮體再次破碎。XIAO 等[81]以硫酸鋁為混凝劑處理高嶺土懸濁液時發(fā)現(xiàn)，當?shù)V漿溫度由28 °C 降至2 °C 時，絮體分形維數(shù)也降低，并認為溫度降低使得水的黏度增加，鋁鹽難以水解且水解產(chǎn)物與膠體顆粒的黏附作用減弱，導(dǎo)致形成的絮體更加松散。

(3)無機鹽離子。某些無機鹽離子對絮體分維性質(zhì)有很大影響。WU 等[82]以用腐殖酸為沉淀劑，通過沉淀浮選法去除廢水中Cu2+、Pb2+、Zn2+等重金屬離子，發(fā)現(xiàn)隨著金屬離子質(zhì)量濃度由10 mg/L 增至200 mg/L，絮體的分形維數(shù)顯著降低。XU 等[83]研究CaCl2對煤和高嶺土模擬的煤泥水絮凝行為的影響時發(fā)現(xiàn)，隨著Ca2+濃度增加，絮體分形維數(shù)增加?？梢?，外界條件不同，混凝過程中形成礦物顆粒絮體的分維特性間也存在顯著差異，礦漿物化性質(zhì)的改變對調(diào)控顆粒聚集過程及絮體性質(zhì)，實現(xiàn)選別指標的優(yōu)化具有重要意義。

3.3.3水力學條件

混凝過程水力學條件能夠顯著影響顆粒聚集/分散效果，改變絮體分維特性，并對浮選預(yù)調(diào)漿及尾礦濃縮沉降等作業(yè)環(huán)節(jié)產(chǎn)生顯著影響。攪拌強度和攪拌時間是礦物加工過程中最為常見的水力學條件變量。

(1)攪拌強度。水力擾動能夠通過外加物理力場的方式調(diào)控體系能量輸入，顯著影響顆粒間的聚集/分散行為，進而改變顆粒絮體的分維特性。牛福生等[84]研究攪拌流場對赤鐵礦絮體的影響時發(fā)現(xiàn)，當攪拌轉(zhuǎn)速由700 r/min 增至900 r/min 時，絮體二維分形維數(shù)迅速增加；當轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加，絮體分形維數(shù)變化較小，這是由于攪拌強度的增加可增大顆粒間碰撞、黏附概率，增加水流剪切力，有利于絮體形成。范桂俠[85]研究油酸鈉體系鈦鐵礦和鈦輝石聚集行為時發(fā)現(xiàn)，當攪拌轉(zhuǎn)速由0 增至2 100 r/min 時，2 種礦物顆粒絮體的二維分形維數(shù)均呈先增后減趨勢，但同一攪拌強度下鈦鐵礦絮體比鈦輝石絮體更加密實。

(2)攪拌時間。長時間的攪拌易導(dǎo)致已形成的絮體發(fā)生破碎。付嘉[86]利用納米磁性絮凝劑和助凝劑PAM 處理煤泥水時發(fā)現(xiàn)，在最佳攪拌轉(zhuǎn)速條件下，當攪拌時間在2～10 min 時，煤泥絮體分形維數(shù)逐漸增加并最終趨于定值。劉利等[87]在最佳攪拌速度下以PAM 為混凝劑處理煤泥水時發(fā)現(xiàn)，攪拌時間為10 s時絮體最為密實，而隨著攪拌時間進一步延長，絮體分形維數(shù)又逐漸降低。

由此可見，礦物加工礦漿混凝工藝環(huán)節(jié)存在最佳水力學條件，此時礦物顆粒絮體有最密實的結(jié)構(gòu)。開展礦物顆粒絮體分維性質(zhì)研究，有助于探明不同條件下顆粒聚集/分散行為，揭示絮體性質(zhì)變化規(guī)律，進而實現(xiàn)對礦漿顆粒懸浮、沉降等工藝過程的精準調(diào)控。

3.4 分形理論在調(diào)漿-浮選及絮體沉降工藝中的應(yīng)用

3.4.1在調(diào)漿-浮選中的應(yīng)用

適宜的調(diào)漿-浮選條件能使目的礦物選擇性聚團、脈石礦物充分分散，進而實現(xiàn)目的礦物高效浮選回收。調(diào)漿-浮選過程中礦物顆粒間會發(fā)生復(fù)雜的聚團-破裂-重組現(xiàn)象，基于調(diào)漿-浮選過程研究能夠有效揭示調(diào)漿-浮選過程中不同顆粒間聚集/分散狀態(tài)的變化規(guī)律，深化對調(diào)漿-浮選強化礦物浮選作業(yè)的內(nèi)在認識，甚至達到指導(dǎo)和調(diào)控浮選過程的目的。分形理論及其方法能夠有效用于調(diào)漿-浮選過程中礦物顆粒聚集/分散行為與絮體性質(zhì)的研究，是揭示調(diào)漿-浮選過程中顆粒聚集/分散狀態(tài)的有效手段。

微細顆粒選擇性疏水聚團是實現(xiàn)不同種類物料浮選分離的前提。實踐中，通?；诜中卫碚撎剿鞑煌僮髯兞肯挛⒓毜V物顆粒聚集形態(tài)變化規(guī)律，進而指導(dǎo)后續(xù)浮選作業(yè)。金屬礦浮選領(lǐng)域，范桂俠[85]研究鈦鐵礦與鈦輝石選擇性聚團浮選時發(fā)現(xiàn)，相同油酸鈉用量條件下，鈦鐵礦絮體分形維數(shù)比鈦輝石絮體大，表明油酸鈉更有助于促進鈦鐵礦的選擇性聚團，從而實現(xiàn)鈦鐵礦的浮選分離；ZHANG 等[88]通過溶氣法浮選納米二氧化鈦顆粒時發(fā)現(xiàn)，當二氧化鈦絮體的分形維數(shù)最大時，對應(yīng)浮選回收率最高。潔凈煤浮選研究領(lǐng)域，趙靜等[89]發(fā)現(xiàn)非極性油能夠使超細煤顆粒發(fā)生選擇性聚團，通過調(diào)節(jié)機械攪拌強度可改變煤顆粒絮體密實程度，當煤絮體二維分形維數(shù)最大時,浮選精煤產(chǎn)率最高且超凈煤產(chǎn)品灰分最低；梁龍[90]在研究煤的選擇性絮凝浮選時同樣發(fā)現(xiàn)，煤絮體分形維數(shù)的增加有助于提高浮選精煤產(chǎn)率的同時降低產(chǎn)品灰分。由此可見，調(diào)漿-浮選過程中，礦物絮體的分形維數(shù)性質(zhì)與最終的浮選指標密切關(guān)聯(lián)，調(diào)漿-浮選過程中礦物絮體分形維數(shù)的深入研究有助于選別工藝流程的升級改造、促進綜合選別指標的提升。

3.4.2分形理論在絮體沉降中的應(yīng)用

絮體沉降行為與其分維性質(zhì)也密切關(guān)聯(lián)，基于分形理論探究不同絮體(群)沉降特性有助于深化對沉降過程的理解，相關(guān)研究成果為能夠調(diào)控礦物顆粒宏觀沉降行為提供借鑒。孫浩等[91]研究鉛鋅礦尾礦絮凝沉降行為時發(fā)現(xiàn)，分形維數(shù)大的絮體有較高的沉降速率；黃彥龍[92]以石英為載體，絮凝微細粒高嶺石尾礦時也發(fā)現(xiàn)了同樣的規(guī)律；李冬梅等[93]在研究架橋絮凝作用下泥沙絮體的形成過程時發(fā)現(xiàn)，絮體分形維數(shù)較大，密實度越高，沉降脫水性能越好。

此外，在過濾操作前高濃度礦漿懸濁液中礦物顆粒絮體的沉降階段，絮體結(jié)構(gòu)能夠顯著影響過濾濾餅性質(zhì)，進而影響最終過濾效果，例如ALAM 等[74]發(fā)現(xiàn)在混凝劑最佳用量下，煤矸石絮體分形維數(shù)大且強度較高，這有助于形成滲透率高、含水量適中的濾餅，進而提升過濾效率。故一般認為，當絮體分形維數(shù)較大時，其沉降性能更優(yōu)越，反之則不利于沉降及過濾。需要指出的是，對礦物絮體分形維數(shù)的深入研究有助于選別工藝流程的升級改造、促進綜合選別指標的提升，但該方向的研究總體仍停留在實驗室階段，尚未實現(xiàn)規(guī)模性工業(yè)應(yīng)用。

4 結(jié)語與展望

分形維數(shù)是分形的度量指標，用于描述分形體不規(guī)則程度及其在空間中的填充程度，在實踐中應(yīng)結(jié)合分形體特征選取適宜的測量計算方法。

目前，分形理論已廣泛應(yīng)用于礦石揀選、礦石碎磨、調(diào)漿-浮選、沉降及過濾等工藝環(huán)節(jié)的過程研究。礦石揀選領(lǐng)域，主要聚焦于礦石中有用礦物含量的分形分布規(guī)律研究；礦石碎磨領(lǐng)域，主要涉及碎磨過程礦石形態(tài)分形特征研究；調(diào)漿-浮選與沉降領(lǐng)域，主要體現(xiàn)在對礦漿混凝行為及不同條件變量下絮體分維特性研究；過濾領(lǐng)域，相關(guān)研究包括過濾參數(shù)、絮體分形結(jié)構(gòu)和濾餅孔隙分形結(jié)構(gòu)間的關(guān)系及濾餅結(jié)構(gòu)探究等。分形理論研究深化了對礦物加工工藝過程的認識，實現(xiàn)了對不同工藝環(huán)節(jié)的過程調(diào)控與優(yōu)化，并最終提升了綜合作業(yè)指標。

分形理論在礦物加工領(lǐng)域的應(yīng)用為剖析各類具有自相似性等分形特征的工藝環(huán)節(jié)過程機理提供了新的研究方法。但不可否認，現(xiàn)有研究仍存在不足，且大部分相關(guān)研究成果尚未投入實際生產(chǎn)，因此分形理論在礦物加工領(lǐng)域仍有較大的發(fā)展空間。理論研究方面，由于基于分形理論的混凝行為研究發(fā)源于水處理領(lǐng)域，且礦漿懸濁液與廢水懸濁液性質(zhì)間存在部分差異(如初始顆粒種類及粒度、絮體粒度、液體環(huán)境等)，尤其是混凝動力學及絮體分形結(jié)構(gòu)生長模型研究方向鮮有選礦工作者涉足，因此可對該領(lǐng)域進行更深入的探索。工業(yè)實踐方面，分形理論的應(yīng)用前景主要體現(xiàn)在礦山與選礦過程智能化方向：在礦石揀選領(lǐng)域，基于有用礦物在自然礦石中分形分布規(guī)律可預(yù)測揀選經(jīng)濟效益指標，該成果可應(yīng)用于選廠實際生產(chǎn)中，以提高生產(chǎn)效率，節(jié)約人力物力。在礦石碎磨領(lǐng)域，除人工優(yōu)化設(shè)備參數(shù)外，還可考慮在破碎機出料口及磨機內(nèi)部添加傳感器，對礦石粒度分布及顆粒形狀進行在線監(jiān)測，通過算法分析顆粒粒度分布分形維數(shù)及形狀分形維數(shù)的變化規(guī)律控制碎磨過程，以將礦石精準碎磨至目標粒度，節(jié)約碎磨能耗。在過濾領(lǐng)域，可考慮在固液分離設(shè)備上添加圖像識別系統(tǒng)采集濾餅孔隙分維信息，以實現(xiàn)對過濾壓力及濾餅局部加藥的智能控制。此外，基于絮體分形維數(shù)的智能投藥系統(tǒng)已應(yīng)用于水處理領(lǐng)域，即利用攝像裝置完成絮體圖像采集，再通過自編程序計算絮體分形維數(shù)，判斷絮體結(jié)構(gòu)特征，完成自動加藥，實現(xiàn)了對水處理混凝過程的在線監(jiān)控以及對絮體分形結(jié)構(gòu)的靈活控制[94]，該研究同樣可應(yīng)用于礦物加工調(diào)漿-浮選、沉降過程，除控制加藥量和加藥時間外，還可考慮實現(xiàn)對礦漿環(huán)境和攪拌條件的智能調(diào)控。

綜上，分形理論與傳統(tǒng)選礦理論、研究方法的高效融合是當前的發(fā)展趨勢，相關(guān)研究成果也必將有益于礦物加工技術(shù)的升級與智能化發(fā)展，為資源節(jié)約、環(huán)境友好、可持續(xù)發(fā)展的礦物加工工程體系的構(gòu)建奠定基礎(chǔ)。