數(shù)學知識的關(guān)系與作用分析

鐘志華　周美玲

摘 要：分析教材中數(shù)學知識的關(guān)系與作用是教學設(shè)計的起始環(huán)節(jié)。數(shù)學知識之間的關(guān)系包括上下位關(guān)系、并列關(guān)系、先后關(guān)系、演繹關(guān)系、特殊與一般關(guān)系、系統(tǒng)與要素關(guān)系等；數(shù)學知識的作用包括示范作用、奠基作用、工具作用、橋梁作用、鋪墊作用、組織作用等。分析數(shù)學知識的關(guān)系與作用，可以充分揭示知識的來龍去脈，促進新課標理念的有效落實，為教學設(shè)計的其他環(huán)節(jié)（如學情分析、教學目標分析、教學重難點分析、教學方法設(shè)計等）提供重要依據(jù)，促進教學活動的有序進行；需要牢固樹立聯(lián)系的觀點，深入研讀數(shù)學課標，仔細閱讀數(shù)學教材，進而具體分析知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及知識的組織方式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學教材；知識關(guān)系；知識作用；教學設(shè)計；聯(lián)系觀點

分析教材（可以理解為廣義的教學材料）中數(shù)學知識（教學內(nèi)容）的關(guān)系（地位）與作用（價值）——目前學界習慣上將其簡稱為“教材地位與作用分析”，是教學設(shè)計的起始環(huán)節(jié)。這里強調(diào)“教材”，是為了給分析數(shù)學知識的關(guān)系與作用約定一個范圍，畢竟數(shù)學是一門博大精深的學問，從教學角度看，更多地是在課程（以教材為載體）的范圍內(nèi)討論問題；分析知識之間的關(guān)系，可以確定某知識在知識體系中所處的地位（“地理位置”），不需要做價值判斷；分析知識的作用，主要是考察該知識對其他內(nèi)容的影響，需要做價值判斷。當然，關(guān)系分析與作用分析不可能截然分開，因為有聯(lián)系的事物之間總會或多或少地產(chǎn)生影響。

分析教材中數(shù)學知識的關(guān)系與作用通常包括以下內(nèi)容：前面安排了哪些知識與技能作為認知基礎(chǔ)？本節(jié)課包含了哪些內(nèi)容？它們與前面的內(nèi)容有何關(guān)系？是對前面內(nèi)容的拓展、總結(jié)還是應用？它們與后續(xù)內(nèi)容存在怎樣的關(guān)系？后面還有怎樣的發(fā)展？后續(xù)內(nèi)容是在它們基礎(chǔ)上的拓展、深化還是提升？它們的學習需要學生掌握哪些知識、技能或研究方法？將會發(fā)展學生哪些方面的能力或核心素養(yǎng)？對學生的進一步學習、將來就業(yè)乃至終身發(fā)展有何重要意義？等等。

一、 數(shù)學知識的關(guān)系與作用有幾類

（一） 數(shù)學知識關(guān)系的類型

奧蘇伯爾認為，概念之間具有上下位關(guān)系、并列關(guān)系。其實，數(shù)學知識之間的關(guān)系還可以根據(jù)性質(zhì)的不同做進一步細分。從已有的教學經(jīng)驗來看，比較常見的類型有：

（1） 上下位關(guān)系。是指知識之間存在隸屬關(guān)系，一般適用于概念之間關(guān)系的分析。比如，四邊形與平行四邊形、矩形、菱形、正方形等概念之間就是上下位關(guān)系，函數(shù)與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)之間也是上下位關(guān)系。

（2） 并列關(guān)系。是指兩個知識相對于其上位知識而言具有同等地位，如三角形與四邊形、等差數(shù)列與等比數(shù)列、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)等。

（3） 先后關(guān)系。是指知識在教材中呈現(xiàn)的先后順序。有些知識之間有固定的先后順序，學習后面的知識要用到前面學過的知識，否則無法進行。比如加法與乘法，必須先講加法，后講乘法。再如三角形的邊、高、中線、中位線等概念，必須先有三角形的概念，才能加以定義。有些知識之間雖然也有先后順序，但是誰先誰后其實沒有太大關(guān)系，只是因為這些知識放在一起總得有一個先后順序。比如，正弦定理和余弦定理誰先誰后，對教學沒有太大影響。再如，“兩組對邊分別平行”與“兩組對邊分別相等”誰作定義、誰作性質(zhì)，都不妨礙平行四邊形的學習，以“平行”作定義可能只是更加“名正言順”而已。

（4） 演繹關(guān)系。又稱蘊含關(guān)系或因果關(guān)系，一般是指命題之間的關(guān)系，即由一個命題推出另一個命題的關(guān)系。比如，“兩直線平行”與“同位角相等”之間存在蘊含關(guān)系。再如，“三角形全等”與“對應邊相等”之間也存在蘊含關(guān)系。

（5） 特殊與一般關(guān)系。是指兩個知識（通常是命題）之間前者可以看作后者特例的關(guān)系，如勾股定理與余弦定理、三角形內(nèi)角和定理與多邊形內(nèi)角和定理等。

（6） 系統(tǒng)與要素關(guān)系。是指一個事物與構(gòu)成這個事物的要素之間的關(guān)系，如三角形與三角形的邊或角、方程與方程的解等。

此外，數(shù)學知識之間的關(guān)系還有很多，如等價關(guān)系、交叉關(guān)系、對立關(guān)系、平行關(guān)系、相等關(guān)系、具體與抽象的關(guān)系等。限于篇幅，不再一一列舉。

總的來說，數(shù)學知識之間的關(guān)系錯綜復雜，要想完全揭示非常困難。因此，知識關(guān)系分析實際上是教學內(nèi)容分析乃至數(shù)學教學設(shè)計的重中之重。

（二） 數(shù)學知識作用的類型

數(shù)學知識的作用有很多，比較常見的有：

（1） 示范作用。如指數(shù)函數(shù)對后續(xù)其他函數(shù)的學習、三角形對四邊形及多邊形的學習、全等三角形對相似三角形的學習、一元一次方程對一元一次不等式的學習，等等。

（2） 奠基作用。如加法對乘法的學習、乘法對乘方的學習、有理數(shù)對整式的學習、一元一次方程對高次方程或方程組的學習，等等。

（3） 工具作用。如代數(shù)式對方程、不等式以及函數(shù)的學習，函數(shù)的三要素、單調(diào)性、奇偶性、周期性等對具體函數(shù)的學習，等式（不等式）的性質(zhì)對解方程（解不等式）的學習，等等。

（4） 橋梁作用。比如，絕對值是將與負數(shù)有關(guān)的加減乘除運算轉(zhuǎn)化為非負數(shù)的加減乘除運算的橋梁，直角坐標系是代數(shù)問題與幾何問題相互轉(zhuǎn)化的橋梁。

（5） 鋪墊作用。是指特意增加的知識（奧蘇伯爾稱其為“先行組織者”）對新知識的學習所起到的作用。比如，同類項是為學習整式的加減運算做鋪墊的，同類根式是為學習根式的加減運算做鋪墊的，同次根式是為學習根式的乘除運算做鋪墊的，因式分解是為學習分式的加減運算與乘除運算做鋪墊的，平行線分線段成比例這一基本事實是為學習三角形相似做鋪墊的。雖然這些知識本身不是教學的重點，但是這些知識掌握的好壞會對后續(xù)知識的學習產(chǎn)生直接的影響。因此，對這些知識的學習，也應給予足夠的重視。

（6） 組織作用。比如，初中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等知識都可以用函數(shù)的觀點統(tǒng)一在一起。這里，函數(shù)起到了知識組織的作用。

二、 分析數(shù)學知識的關(guān)系與作用有何意義

（一） 充分揭示知識的來龍去脈

傳說古希臘詩人西蒙尼德斯在一次宴會上朗讀了一首抒情詩，隨后被他在詩中贊美的兩位神靈卡斯托爾和波拉克斯叫出宴會大廳。就在他走出宴會大廳后，屋頂?shù)顾?，里面的人無一生還，尸體血肉模糊，甚至連親屬也無法辨認。但西蒙尼德斯卻根據(jù)各人在大廳里曾經(jīng)就坐的位置辨認出了每一具尸體。西蒙尼德斯之所以能做到這一點，是因為他采用了一種在古代演講中廣泛使用的技術(shù)——地點法。故事也許純屬虛構(gòu)，但現(xiàn)代認知心理學已經(jīng)證明，把要記憶的對象安排在某種有序的位置十分重要，這種記憶術(shù)對于回憶一系列有序安排的事項確有幫助。［1］

其實，學習也是如此：就好比將知識放在大腦這個“圖書館”里，如果每個知識在頭腦中都有確定的位置，都被放置得井井有條，那么，知識不僅不容易被遺忘，而且很容易被提取。而分析知識的關(guān)系與作用就是要查明所學知識到底與哪些知識有關(guān)系、有什么關(guān)系，從而將所學知識與學習者頭腦中已有的知識建立聯(lián)系。這樣，不僅有利于學習者準確把握知識的來龍去脈，而且有利于將新知識順利納入原有的認知結(jié)構(gòu)，進而促進知識的理解和記憶。

（二） 促進新課標理念的有效落實

新課程改革以來，各版義務教育和普通高中數(shù)學課程標準都強調(diào)知識的普遍聯(lián)系以及把握知識關(guān)系的重要性。學生不應該就事論事地學習數(shù)學，不應該孤立地學習數(shù)學，不應該局限地學習數(shù)學，應該在普遍聯(lián)系中學習數(shù)學，應該在數(shù)學學習中深刻體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間以及數(shù)學與生活之間的聯(lián)系。美國的數(shù)學課程標準也非常重視“聯(lián)系”，認為幫助學生了解和掌握知識之間的聯(lián)系十分重要，是數(shù)學教學中必須強調(diào)的一項重大任務。有了這種了解和掌握，學生就能領(lǐng)會數(shù)學是一個有機的整體，而不是一堆孤立、凌亂的東西；對事物的考察就能從多方面進行，思維就會更加活躍，解決問題的手法就會更加靈活多樣，數(shù)學能力就能得到提高。［2］可見，聯(lián)系的觀點是國內(nèi)外數(shù)學課標倡導的核心理念。

眾所周知，教材是課標意志的體現(xiàn)。分析教材中數(shù)學知識的關(guān)系與作用直接體現(xiàn)了教師對課標理念的理解程度，也決定了教師能否將課標理念真正落實到日常教學中，也就在一定程度上影響了課改的走向。因此，運用聯(lián)系的觀點分析知識的關(guān)系與作用，不僅充分體現(xiàn)了新課標的內(nèi)在要求，而且可以促進新課標理念的有效落實。

（三） 為教學設(shè)計的其他環(huán)節(jié)提供重要依據(jù)

作為教學設(shè)計的起點，準確分析知識的關(guān)系與作用，不僅可以更加全面、深刻地認識數(shù)學知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，更加清楚地了解知識的來龍去脈，而且可以為其后的學情分析、教學目標分析和教學重難點分析等環(huán)節(jié)提供依據(jù)。比如，分析教學目標時，教師不僅需要根據(jù)學習者的已有知識確定其“最近發(fā)展區(qū)”——教學目標，而且需要根據(jù)所確定的教學目標分析各使能目標（從原有知識基礎(chǔ)到達教學目標需要到達的次級目標），最終找到恰當?shù)恼J知起點，同時需要在此基礎(chǔ)上編制一張達成教學目標的“教學過程圖”。所有這些，都離不開對知識關(guān)系與作用的精準分析。

（四） 促進教學活動的有序進行

眾所周知，教材的知識序決定教學的邏輯序，而教學的邏輯序又進一步?jīng)Q定學生的認知序。因此，深入分析知識的關(guān)系與作用，可以根據(jù)知識發(fā)生發(fā)展的來龍去脈，構(gòu)建恰當?shù)慕虒W路線，選擇合適的教學方法甚至評價方法等，從而為教學設(shè)計及教學實施提供更有針對性的指導。數(shù)學教學要注重知識之間的邏輯聯(lián)系，即不僅要注重知識的“生長點”，而且要注重知識的“延伸點”，才能使學生把局部的數(shù)學知識置于整體的知識體系中，才能加強學生對數(shù)學的整體把握和宏觀認識。

比如，教學人教版初中數(shù)學七年級下冊《平行線》一課，如果教師充分了解“平行線”知識在《相交線與平行線》這一章乃至整個幾何學中的地位與作用，就應該認識到平行線是本章乃至初中幾何的教學重點，研究平行線要轉(zhuǎn)化為相交線來進行，從而也會自然地認識到引入第三條直線只是為判定兩條直線是否平行提供一個參照標準。這樣，又會進一步認識到本節(jié)課的教學難點是如何引導學生將平行線問題轉(zhuǎn)化為相交線問題來研究，從而也就自然地理解引入同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角完全是為研究平行線服務的，它們只是工具，研究平行線才是真正的目的。

再如，根據(jù)平行線與學生生活經(jīng)驗之間的關(guān)系以及同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角三者之間關(guān)系的性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)，教學“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實時，依據(jù)學生以往將三角板沿直尺平推來作平行線的學習經(jīng)驗，先嘗試操作探索，再歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，更利于學生的接受。而教學“內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”這兩個判定定理時，則宜采用將內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角轉(zhuǎn)化為同位角的演繹推理方法進行探索。這樣不僅可以在不增加學生學習難度的前提下充分提高課堂教學的效率，而且可以在充分體現(xiàn)教學方法靈活性與多樣性的同時，最大限度地激發(fā)學生學習的主動性與積極性。

三、 怎樣分析數(shù)學知識的關(guān)系與作用

（一） 牢固樹立聯(lián)系的觀點

聯(lián)系的觀點不僅是哲學的基本觀點，而且是研究教學問題的重要出發(fā)點。著名教育學家布魯納認為，教學任何學科主要應使學生掌握這一學科的基本結(jié)構(gòu)［3］，而學習結(jié)構(gòu)就是學習事物是怎樣相互聯(lián)系的［4］。著名教育學家奧蘇伯爾則認為，有意義學習的本質(zhì)是在新舊知識之間建立非任意的實質(zhì)性的聯(lián)系。［5］雷鈉特·N.凱恩等人的腦科學研究進一步證實，學習的本質(zhì)就在于找出所學知識與學習者已經(jīng)知道的和看重的東西之間是如何相關(guān)的，以及信息和經(jīng)驗之間是怎樣聯(lián)系的。［6］分析教材中數(shù)學知識的關(guān)系與作用也自然需要運用聯(lián)系的觀點來指導。

數(shù)學知識的內(nèi)在邏輯性決定了數(shù)學教材是充滿聯(lián)系的統(tǒng)一整體。新知識只有與已有知識真正建立聯(lián)系，才能被納入相應的知識體系中，才能被理解和應用。然而，許多數(shù)學知識之間的聯(lián)系并不是一眼就能看出來的，它常常隱含在知識的深處，需要教師去挖掘、研究，并與學生一起將知識直觀化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。因此，在分析知識的關(guān)系與作用時，要樹立“一切從聯(lián)系出發(fā)”的觀點，形成隨處聯(lián)系、隨時聯(lián)系的意識；要著眼于教學內(nèi)容的縱橫聯(lián)結(jié)，注意教學內(nèi)容的整體與局部、前與后、因與果等的銜接與遞進，在聯(lián)系中將新舊知識融為一體。即不僅要看到數(shù)學知識之間的聯(lián)系，而且要看到數(shù)學知識與其他學科知識之間的聯(lián)系，同時要看到數(shù)學知識與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系。具體到數(shù)學知識之間的聯(lián)系，則不僅要知道教材各個章節(jié)之間的聯(lián)系，而且要知道數(shù)學各個分支之間的聯(lián)系；不僅要知道哪些知識之間有聯(lián)系，而且要知道這些知識之間有什么聯(lián)系。在進行教學設(shè)計時，則不僅要分析知識的關(guān)系、作用與教學目標、教學重難點之間的聯(lián)系，而且要分析知識的關(guān)系、作用與學情、教學方法、教學過程等之間的聯(lián)系。這樣，才能在教學設(shè)計的各個環(huán)節(jié)充分立足知識的關(guān)系與作用，才能使因“材”施教的原則真正落到實處。

（二） 深入研讀數(shù)學課標

課標是規(guī)定某一學科的課程性質(zhì)、目標、內(nèi)容，并給出實施建議的指導性文件，是教師教學的重要依據(jù)。所謂“站得高才能看得遠”，課標的研讀能幫助教師站在一定的高度審視教材。比如，教材中分散在各冊（各章節(jié)）的多個問題情境中蘊含的多個知識點，在課標中可能是集中在一個領(lǐng)域（一個主題）的幾句話中表達相互關(guān)聯(lián)的幾個課程內(nèi)容要求，或者是指向同一課程目標的“同質(zhì)”教學內(nèi)容。我們調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分教師都能認識到課標對教材分析的重要性，但是對課標的認識更多來自專家對課標理念的宏觀介紹，而忽視自身對課標內(nèi)容的深入研讀。要知道，教材是圍繞課標要求編寫的，研讀課標是讀懂教材的重要前提和基礎(chǔ)。教師只有在深入研讀和理解課標的基礎(chǔ)上，才能深刻把握教材，才能讀懂教材編排背后蘊含的道理和意圖，才能在分析教材時有更清晰的方向和更明確的目標，才能基于課標的核心理念對教材作出更合理、更到位的分析。教師在分析教材中知識的關(guān)系與作用時，要深入反思：教材有沒有很好地體現(xiàn)課標的理念？哪里體現(xiàn)了課標的理念？體現(xiàn)了哪些理念？是怎樣體現(xiàn)這些理念的？

比如，學習“空間直角坐標系”這一知識時，有許多學生提出：“為什么學習平面直角坐標系時直接在原來的數(shù)軸上加了一條坐標軸，而學習空間直角坐標系時不直接在原來的坐標系上再添一條坐標軸？”對于這一問題，純粹從知識的角度很難找到合適的答案，但是，如果立足課標中的數(shù)學核心素養(yǎng)（課程目標），那就應該知道這樣放置不僅更直觀（有利于學生直觀想象），而且更經(jīng)濟（因為第一卦限平時接觸比較多，必須放在容易看見的地方）。由此教學，學生不但更容易理解這樣放置的合理性，避免死記硬背，而且在以后的學習過程中會根據(jù)實際問題的需要靈活地建立坐標系，從而使思維的主動性、靈活性得到充分培養(yǎng)。

（三） 仔細閱讀數(shù)學教材

深刻理解課標要求后，教師還需要通過仔細閱讀教材，獲得對教材主要內(nèi)容及其分布的大致把握。這是精準分析教材中知識關(guān)系與作用的前提。

閱讀過程可以按照由粗到細的順序，即：首先，對學段教材進行整體泛讀，大致把握教材的整體結(jié)構(gòu)，從宏觀角度對學段教材的編寫順序和思路有一個整體感知，理清各冊教材之間的聯(lián)系；其次，重點閱讀本學期講授的分冊教材，明確本學期要學習哪些章節(jié)，梳理各個章節(jié)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，思考其中的編排意圖；再次，針對每一章的內(nèi)容，梳理各節(jié)之間的內(nèi)在聯(lián)系，對各節(jié)需解決的主要問題有一個比較清晰的認識；最后，著眼于每一節(jié)或每一課時的內(nèi)容，梳理主要的知識點。當教師對教材中有哪些節(jié)點以及節(jié)點如何分布有了比較準確的把握時，也就完成了“定位”或者說“描點”的工作。采用這樣由粗到細、不斷聚焦、層層深入的方式，就能獲得對教材全面系統(tǒng)、細致深入的把握。［7］

（四） 具體分析知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及知識的組織方式

知識關(guān)系與作用的分析有很多類型，既可以對某個章節(jié)進行分析，也可以對某個單元進行分析，還可以對某一課時進行分析。本文主要探討某一課時的知識關(guān)系與作用分析。

運用聯(lián)系的觀點分析某一課時的數(shù)學知識（教學內(nèi)容），應該從全局的角度把握教材，立足整體思考該教學內(nèi)容在教材中的“地理位置”以及這樣安排的目的與意義。即不僅要分析該知識安排在哪里，而且要分析為什么要這樣安排，同時要弄清楚該知識與什么知識有聯(lián)系、有什么聯(lián)系。具體來說，要從內(nèi)、外兩個方面深入分析所學知識與哪些知識（數(shù)學知識、其他學科的知識、實際生活中的知識）有聯(lián)系、有什么聯(lián)系。這里的知識既可以是學生已經(jīng)學過的知識，也可以是學生將要學習的知識；學生已有的知識既可以是書本知識，也可以是生活經(jīng)驗。此外，還要進一步分析知識的組織方式或編排方式及其背后的數(shù)學思想或核心素養(yǎng)。

下面，以“平行線”知識為例，說明如何運用聯(lián)系的觀點指導知識關(guān)系與作用分析：

先從外部看，平行線是兩條直線之間常見且重要的一種位置關(guān)系。平行線與之前所學的相交線，從知識的角度看，是一種并列關(guān)系；而從教學的角度看，還具有承接關(guān)系和轉(zhuǎn)化關(guān)系。之所以說它們具有承接關(guān)系，是因為相交線與平行線是兩條直線之間最基本的兩種關(guān)系，學過相交線后必然要學習平行線，同時平行線的學習又建立在相交線學習的基礎(chǔ)上，研究平行線要用到與相交線有關(guān)的許多知識，如對頂角、鄰補角等。所謂轉(zhuǎn)化關(guān)系，是指研究兩條直線之間的平行關(guān)系最終要轉(zhuǎn)化為這兩條直線與第三條直線之間的相交關(guān)系來處理。這里，第三條直線所起的作用是為這兩條直線是否平行提供一個參照標準：如果這兩條直線與第三條直線的傾斜程度相同（同位角相等），就可以判斷這兩條直線平行。另外，平行線與很多后續(xù)知識都有密切關(guān)系，一些更復雜的圖形之間的關(guān)系需要借助平行關(guān)系去研究。比如，證明三角形內(nèi)角和定理要用到平行線的性質(zhì)定理，很多三角形全等的證明要用到平行線知識，研究平行四邊形和梯形要用到平行線知識，研究三角形相似要用到平行線知識。而到了高中階段，涉及平行線知識的內(nèi)容就更多了：立體幾何中，研究兩條直線的異面關(guān)系、直線與平面的平行關(guān)系、平面與平面的平行關(guān)系等都要轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行關(guān)系；解析幾何中，要用代數(shù)方法研究兩條直線之間的平行關(guān)系……

以上主要體現(xiàn)的是平行線的工具作用。其實，平行線的作用還可以體現(xiàn)在思想方法層面：由平行線引出的平移變換作為一種基本而重要的變換，在數(shù)學知識的學習中具有非常廣泛的應用。通過平移可以將各種復雜函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的研究，如將一般二次曲線轉(zhuǎn)化為標準二次曲線來研究，將一般三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)甚至轉(zhuǎn)為一一對應的三角函數(shù)來研究。如果再將平移這一方法做進一步推廣，則又可以得到科學研究中的一種重要方法——移植方法。比如，可以將研究指數(shù)函數(shù)的方法應用到對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等許多函數(shù)的研究中，可以將研究橢圓的方法移植到雙曲線、拋物線的研究中，可以將數(shù)學的研究方法移植到物理、化學等學科的研究中，可以將自然科學的研究方法移植到社會科學的研究中。

再從內(nèi)部看，“平行線”涉及的主要概念有平行線、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等。其中，后三者是研究前者的工具。在后三者中，同位角最基本，內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是由同位角派生出來。之所以這么說，是因為：一方面，學習“同位角相等，兩直線平行”這一基本事實時，學生有沿直尺平移三角板作平行線的經(jīng)驗；另一方面，利用所判斷的兩條直線與第三條直線的傾斜程度相同（同位角相等）更直接，更符合人的認知規(guī)律，也更便于學生理解（這一點由解析幾何中兩條直線平行的判定方法可見一斑）?！捌叫芯€”涉及的主要命題有平行公理、平行線的判定定理和性質(zhì)定理等。其中，平行公理與“同位角相等，兩直線平行”是作為基本事實來處理的。之所以這樣處理，一方面，考慮了它們比較直觀，學生比較容易理解；另一方面，則考慮到學生剛學演繹證明，理解后者的證明還有難度，因此，采用歸納的方式來學習。

最后，分析知識的組織方式（編排方式）。一般來說，教材中的知識是圍繞核心概念、大觀點或數(shù)學思想、核心素養(yǎng)組織的。就“平行線”而言，核心概念就是平行線，因為無論平行公理，還是平行線的判定定理與性質(zhì)定理，都是圍繞平行線這一概念展開的；至于同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等概念，也都是為研究平行線服務的?！捌叫芯€”涉及的數(shù)學思想有抽象思想、分類思想、推理思想、歸納思想及化歸思想等，而將有關(guān)知識有機聯(lián)系起來的主要是化歸思想。之所以這樣說，是因為：首先，從核心概念“平行線”來看，它是轉(zhuǎn)化為“相交”這一概念來定義的；其次，研究兩條直線平行是轉(zhuǎn)化為這兩條直線與第三條直線所成的各種角的關(guān)系來進行的；再次，利用內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角來判定兩條直線平行是轉(zhuǎn)化為“同位角相等，兩直線平行”來研究的；甚至，“兩直線平行，同位角相等”這一性質(zhì)還可以利用反證法轉(zhuǎn)化為“同位角相等，兩直線平行”來證明……由此可見，我們可以用“化歸”這一核心思想將“平行線”的主要知識有機地組織在一起。

四、 數(shù)學知識的關(guān)系、作用分析與教學設(shè)計其他環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系

作為教學設(shè)計起始環(huán)節(jié)的數(shù)學知識關(guān)系與作用分析，與其他環(huán)節(jié)之間有著密切聯(lián)系，具體如下：

（一） 與學情分析之間的聯(lián)系

作為教學設(shè)計的起點，知識關(guān)系與作用分析清晰地揭示了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，這就為學情分析提供了可資利用的框架和參照。在進行學情分析時，可以對照知識關(guān)系與作用分析中的知識地圖來思考：哪些知識學生已經(jīng)掌握？哪些知識學生還沒有掌握？哪些知識學生比較熟悉？哪些知識學生還比較生疏？學生有什么興趣愛好？學生有什么學習特點？采取怎樣的教學方法比較容易激發(fā)學生的學習興趣和數(shù)學思考？等等。

比如，對《方程的根與函數(shù)的零點》一課進行學情分析時，如果我們已經(jīng)知道從一（二）次函數(shù)的觀點看一元一（二）次方程（不等式）、函數(shù)的圖像和性質(zhì)等與方程的根、函數(shù)的零點之間的內(nèi)在聯(lián)系，就應該進一步思考：這些預備知識或研究方法，學生有沒有真正掌握？如果沒有掌握，是什么原因？學生還存在什么困難？學生通常采用哪些學習方法？這些方法是否適應新知識的學習？教學應該選擇什么認知起點？應該采用什么教學手段或方法，才更有利于學生的理解？等等。

（二） 與教學目標分析之間的聯(lián)系

分析教學目標時，除了考慮課標和學情之外，最主要的就是要考慮學科的影響。而學科對教學目標影響的最直接方式就是知識的關(guān)系與作用。一般來說，知識關(guān)系與作用分析主要探索知識之間有無聯(lián)系、有什么聯(lián)系。而教學目標分析不僅要考慮知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，更要考慮學生的認知起點和“最近發(fā)展區(qū)”。如果將表征知識關(guān)系的知識地圖作為參照系，則教學目標分析實際上就是要在有關(guān)的知識地圖中找到一條能讓學生通過探索獲得成功的道路。由于知識關(guān)系分析清晰地揭示了各知識之間的聯(lián)系，教師不僅可以據(jù)此確定合理的教學目標，而且可以為教學目標的達成找到恰當?shù)恼J知起點和清晰的探究路徑。

比如，依據(jù)前面的知識關(guān)系分析框架（知識地圖），如果以學生前兩章所學的函數(shù)概念與性質(zhì)，以及冪、指數(shù)、對數(shù)等基本初等函數(shù)模型的圖像與性質(zhì)作為認知起點，那么，《方程的根與函數(shù)的零點》一課的教學目標應該側(cè)重于“在對函數(shù)圖像與性質(zhì)有一定了解的基礎(chǔ)上，進一步考察函數(shù)與方程（不等式）等其他數(shù)學知識之間的聯(lián)系，為進一步探索運用函數(shù)零點存在性定理求方程的近似解，以及函數(shù)在其他學科及生產(chǎn)、生活中的應用奠定基礎(chǔ)”；如果將“從一（二）次函數(shù)的觀點看一元一（二）次方程（不等式）”作為認知起點，那么，本節(jié)課的教學目標應該側(cè)重于“在初中階段學習的用函數(shù)的觀點看一元一（二）次方程的基礎(chǔ)上，從更一般的意義上探索函數(shù)與方程之間的關(guān)系，了解函數(shù)零點存在性定理，體會從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，逐步養(yǎng)成從不同的角度看問題的習慣”；如果將“函數(shù)”“方程”這兩個概念作為認知起點，那么，本節(jié)課的教學目標應該側(cè)重于“經(jīng)歷對函數(shù)與方程的構(gòu)成要素及其關(guān)系的比較、梳理、分析過程，初步體會研究事物之間聯(lián)系的方法，滲透普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點”。［8］

（三） 與教學重難點分析之間的聯(lián)系

從聯(lián)系的觀點看，教學重點通常指那些與其他知識關(guān)聯(lián)度比較高或聯(lián)系比較多的知識點。［9］因此，分析教學重點時，要從知識的發(fā)展演變或來龍去脈（知識的聯(lián)系）中把握。教學重點既可以依據(jù)知識關(guān)系來分析，也可以依據(jù)知識作用來分析。從知識關(guān)系（特別是表征知識關(guān)系的知識地圖）來看，那些事關(guān)新知識的生長點，新舊知識的轉(zhuǎn)折點、聯(lián)系點往往最容易成為教學重點。比如，消元法是將多元方程組轉(zhuǎn)化為一元方程的根本方法，因此自然成為二元一次方程組的教學重點。從知識作用來看，那些對其他知識的學習影響比較大的知識往往最容易成為教學重點。比如，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)是函數(shù)圖像與性質(zhì)研究的重要方面，因此必然成為函數(shù)研究的重點。

從聯(lián)系的觀點看，教學難點就是那些不容易發(fā)現(xiàn)聯(lián)系的知識點。具體來說，就是那些太抽象、離學生生活太遠、過程太復雜、關(guān)系太隱蔽、學生難于理解和掌握的知識、技能與方法。［10］比如，無理數(shù)概念、“負負得正”的法則由于離現(xiàn)實生活較遠而成為教學難點。再如，證明等腰三角形的性質(zhì)時，由于缺少添加輔助線的經(jīng)驗而造成困難。又如，學習零點存在性定理時，根據(jù)端點函數(shù)值異號判斷函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點，不僅要將零點與端點函數(shù)值的符號建立聯(lián)系，而且要與目前尚未學習的函數(shù)連續(xù)性概念等知識建立聯(lián)系，這對剛接觸零點概念的學生來說是一件很不容易的事情，因此，發(fā)現(xiàn)并深刻理解函數(shù)零點存在性定理是本節(jié)課的教學難點。

（四） 與教學方法設(shè)計之間的聯(lián)系

由于數(shù)學知識之間的聯(lián)系錯綜復雜，教學方法會隨著認知起點、教學目標和探究路徑等情況的變化而變化。知識關(guān)系、作用分析與教學方法設(shè)計之間的聯(lián)系主要表現(xiàn)為，根據(jù)知識之間聯(lián)系及性質(zhì)的不同而采取不同的教學方法。它是因“材”施教教學原則的具體體現(xiàn)。

比如，依據(jù)前面的分析，《方程的根與函數(shù)的零點》一課既可以將“函數(shù)的概念與性質(zhì)”作為認知起點，按照“概念—性質(zhì)—學科內(nèi)應用—學科外應用”的知識探究順序和結(jié)構(gòu)分析方法來教學；又可以將“用函數(shù)的觀點看一元一（二）次方程（不等式）”作為認知起點，采用從特殊到一般的方法來教學；還可以將“函數(shù)”“方程”這兩個概念作為認知起點，引導學生從聯(lián)系的觀點出發(fā)，運用比較、梳理、歸納等思維方法來分析函數(shù)與方程的構(gòu)成要素及其關(guān)系。

（五） 與教學過程設(shè)計之間的聯(lián)系

數(shù)學教學過程一般包括創(chuàng)設(shè)問題情境、提出研究問題、提出猜想、驗證猜想、鞏固小結(jié)等環(huán)節(jié)。在明確知識的關(guān)系與作用、教學目標與教學重難點等的基礎(chǔ)上，可以依據(jù)知識地圖設(shè)計探究路線和教學環(huán)節(jié)。

比如，《方程的根與函數(shù)的零點》一課，若以上述第三種教學方法（思路）來設(shè)計教學過程，則可以先向?qū)W生呈現(xiàn)“函數(shù)與方程”這一課題，創(chuàng)設(shè)懸念情境，引發(fā)學生對兩者關(guān)系的探究興趣；然后通過“看到這個標題，你們會提出什么問題？”“你們最想研究什么問題？”“函數(shù)與方程之間到底有什么關(guān)系？”“怎么研究函數(shù)與方程之間的關(guān)系？”“從哪些方面研究函數(shù)與方程之間的關(guān)系？”“過去我們有沒有研究過函數(shù)與方程之間的關(guān)系？”“當時是從哪些方面來研究的？”“這些關(guān)系對一般的函數(shù)和方程是否仍然成立？”等一系列問題，啟發(fā)學生循序漸進地探索函數(shù)與方程之間的關(guān)系。

參考文獻：

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［5］D.P.奧蘇貝爾，等.教育心理學——認知觀點［M］.佘星南，宋鈞，譯.北京：人民教育出版社，1994：45.

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［7］唐悅.中學數(shù)學教材地位和作用分析的現(xiàn)狀和策略研究［D］.南通：南通大學，2021：37.

［8］鐘志華，劉鴻坤.基于聯(lián)系觀點的數(shù)學教學設(shè)計——以“方程的根與函數(shù)的零點”為例［J］.數(shù)學教學，2020（2）：2125.

［9］鐘志華，凌皓嵐.從聯(lián)系觀點看教學重點的內(nèi)涵、價值及確定依據(jù)［J］.中學數(shù)學雜志，2021（5）：15.

［10］鐘志華，黃桂君.從聯(lián)系觀點看高中函數(shù)概念教學難點及成因［J］.數(shù)學通報，2022（6）：2529+48.

（鐘志華，南通大學理學院，教授，碩士生導師。主要研究方向：數(shù)學教材與教學。周美玲，南通大學理學院。）

*本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃重點課題“數(shù)學哲學與數(shù)學教育深度融合的理論與實踐研究”（編號：B/2022/01/05）、“基于HPM的數(shù)學教學難點分析與突破策略研究”（編號：B/2022/03/90），也系南通大學專業(yè)學位研究生教學案例庫建設(shè)項目“基于創(chuàng)新能力的中學數(shù)學教學設(shè)計案例庫建設(shè)”（編號：JXAL2202）的階段性研究成果。周美玲為本文通訊作者。