小學(xué)低年級(jí)用畫圖策略提高解決問題能力的實(shí)踐研究

樊艷紅

（永登縣大同鎮(zhèn)跌馬溝小學(xué) 甘肅 蘭州 730300）

畫圖策略的運(yùn)用，可以看成是數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)的開始。數(shù)學(xué)知識(shí)抽象度較高，問題解決起來相對(duì)具有一定難度，需要學(xué)生具備一定的抽象思維能力?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中指出：解決問題是重要課程目標(biāo)，要使學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)角度，運(yùn)用知識(shí)、方法解決問題。且通過對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)教學(xué)情況進(jìn)行了解發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)畫圖解決問題的認(rèn)識(shí)程度以及技巧的應(yīng)用程度不足，還需利用專門的課時(shí)，針對(duì)性地講解、分析畫示意圖，引導(dǎo)學(xué)生借此解決問題，形成一定的畫圖解決問題的意識(shí)，培養(yǎng)畫圖解決問題能力。

1.研究背景

新課程改革背景下，針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)抽象度較高，學(xué)生解決問題存在一定困難的問題，可以通過引導(dǎo)、指導(dǎo)小學(xué)生學(xué)會(huì)畫圖，表明問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系，繼而解決問題，獲得解決問題的能力。能夠促使小學(xué)生在這一過程中，逐步具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。且就當(dāng)前的小學(xué)生整體表現(xiàn)來看，解決問題的能力不足，思路不夠開闊的情況較為普遍。畫圖策略能夠把抽象問題具象化，結(jié)合圖形理解題意，厘清數(shù)量關(guān)系，找到突破口，形成解題思路。

2.畫圖策略及解決問題能力

2.1 畫圖策略

最開始并不要求學(xué)生直接學(xué)會(huì)規(guī)范畫圖，而是以培養(yǎng)興趣、意識(shí)為主，哪怕簡單畫個(gè)小人、云朵（上面寫著：我拍XX 下，你拍XX 下）都可以，主要是將抽象或者想象的內(nèi)容，轉(zhuǎn)化成具象的“符號(hào)（文字或者圖、數(shù)學(xué)符號(hào)都可以）”，便于形象化地理解即可。

2.2 解決問題能力

學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，解決書本或現(xiàn)實(shí)生活中的問題的能力。這對(duì)當(dāng)前倡導(dǎo)的以數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題，將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，深化“知識(shí)源于生活，用于改善生活”的認(rèn)識(shí)，有著極為重要的影響。

3.小學(xué)低年級(jí)用畫圖策略提高解決問題能力的實(shí)踐價(jià)值

小學(xué)低年級(jí)用畫圖策略，來提高小學(xué)生解決問題的能力，旨在通過化難為易，促思利行，促使小學(xué)生在做中學(xué)、學(xué)中做，能夠通過畫圖，將抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)化成形象化的內(nèi)容，便于理解的同時(shí)，能夠更好地厘清問題中的數(shù)量關(guān)系，繼而尋找到解決問題的方法，逐步提升解決數(shù)學(xué)問題的能力[1]。

此外，畫圖策略還有助于引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證答案正確與否，如先看畫完的圖，再看題目，兩相對(duì)比，找到問題本質(zhì)，研究問題回答對(duì)錯(cuò)，通過驗(yàn)證進(jìn)一步明確答案，利于培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣、解題習(xí)慣。

4.小學(xué)低年級(jí)學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)現(xiàn)狀

目前，多數(shù)教師都已認(rèn)識(shí)到“畫圖”策略，對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要影響。且在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，能夠以示范、引導(dǎo)、指導(dǎo)等，對(duì)小學(xué)生進(jìn)行畫圖策略的教學(xué)。而仍有部分教師雖意識(shí)到，卻未落實(shí)畫圖教學(xué)，還有部分則是意識(shí)到，也運(yùn)用相應(yīng)方法對(duì)學(xué)生進(jìn)行了畫圖策略教學(xué)，但是收效甚微，教師也未將其當(dāng)成重點(diǎn)進(jìn)行引導(dǎo)，一定程度呈現(xiàn)出“放養(yǎng)”的狀態(tài)。這對(duì)小學(xué)生利用畫圖解決問題以及更好地形成數(shù)形思維，對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)抽象知識(shí)學(xué)習(xí)，都將產(chǎn)生極為不利的影響。學(xué)生畫圖技巧不足，畫圖解決問題意識(shí)、練習(xí)不足，對(duì)數(shù)學(xué)思維發(fā)展將產(chǎn)生影響[2]。

5.小學(xué)低年級(jí)用畫圖策略提高解決問題能力的實(shí)踐策略

小學(xué)數(shù)學(xué)教、學(xué)過程中，運(yùn)用畫圖策略，提高小學(xué)生解決問題的能力，是一個(gè)可行性非常高，且利于促使小學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵路徑[3]。為實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)價(jià)值，真正促使小學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，扎實(shí)理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，持續(xù)提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，可以從以下幾方面，優(yōu)化畫圖策略應(yīng)用方案，保證應(yīng)用效果。

5.1 讀懂圖形信息，培養(yǎng)圖形意識(shí)

讀懂圖形信息，是從反向思維角度，分析畫圖的前提是理解圖形，能夠從圖形中獲取有用信息，應(yīng)用于自主畫圖過程，為畫圖解決問題奠定基礎(chǔ)。與此同時(shí)，能夠在讀圖的過程中，形成一定的圖形意識(shí)，提升“圖形意識(shí)”的作用強(qiáng)度。

以人教版一年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)圖形（二）”部分教學(xué)為例，本課重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“正方形”“長方形”“三角形”以及“平行四邊形”等圖形，且能夠在認(rèn)識(shí)過程中，了解“面”源于“體”，將平面圖形與立體圖形結(jié)合起來看，形成一定的空間觀念。此時(shí)可以借助“以特定圖形條件讀圖”的過程，深化學(xué)生對(duì)圖形信息的理解。如對(duì)“三角形”的學(xué)習(xí)，可以引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)“三角形”的圖形定義、判定條件，嘗試從“三棱柱”這一立體圖形上，尋找“三角形”。在找到對(duì)應(yīng)三角形時(shí)，再借助定義、判定條件予以驗(yàn)證，深化讀圖過程。同理對(duì)待長方形、正方形等的讀圖過程，利于促使學(xué)生形成圖形意識(shí)。

5.2 讀懂符號(hào)信息，奠定畫圖基礎(chǔ)

符號(hào)是數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志，最基礎(chǔ)的符號(hào)就是“＋、－、×、÷”，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行充分的認(rèn)識(shí)，利于借助符號(hào)與圖形之間的關(guān)系，形成畫圖意識(shí)。此外對(duì)于一些具有邏輯推理作用的符號(hào)，也應(yīng)予以深入了解。

仍以人教版一年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)圖形（二）”部分教學(xué)為例，在認(rèn)識(shí)了相應(yīng)圖形后，針對(duì)圖形個(gè)數(shù)的計(jì)算，可能會(huì)涉及代表“匯總”“加減”的符號(hào)，學(xué)生需要在看懂的情況下，才能夠正確推理出相應(yīng)數(shù)據(jù)。如將有兩組三角形，一組是4 個(gè)，一組是5 個(gè)，圖形下用了一個(gè)大括號(hào)將兩組三角形“圍起來”，下面標(biāo)注“？個(gè)”的字樣。這就要求學(xué)生能夠讀懂大括號(hào)表示的含義——兩組相加，由此計(jì)算出共有7個(gè)三角形。實(shí)際上，從數(shù)字運(yùn)算角度來看，本題并不難，但在單純運(yùn)用圖形進(jìn)行表示時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生一種“理解困難”的假象。而當(dāng)學(xué)生了解符號(hào)，能夠讀懂符號(hào)的含義時(shí)，題目做起來也就相對(duì)更為簡單了。因此，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)圖形、符號(hào)的意識(shí)培養(yǎng)，引導(dǎo)其在讀圖、讀符號(hào)的過程中，深化對(duì)圖形、符號(hào)的認(rèn)識(shí)，掌握解題思路，提高數(shù)學(xué)解題能力[4]。

5.3 體驗(yàn)擺畫樂趣，漸進(jìn)培養(yǎng)興趣

在初步接觸圖形，引導(dǎo)學(xué)生畫圖過程中，應(yīng)從興趣培養(yǎng)入手，注重培養(yǎng)小學(xué)生的畫圖興趣。理論上，小學(xué)生對(duì)畫畫會(huì)比較感興趣，實(shí)際將其與數(shù)學(xué)結(jié)合起來時(shí)，學(xué)生往往表現(xiàn)興致缺少。這與對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生固有印象，認(rèn)為數(shù)學(xué)較難，繼而在畏難情緒作用下，不敢嘗試有著直接關(guān)系[5]。此時(shí)解決這一問題最好的辦法，就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)畫圖產(chǎn)生興趣，促使其在興趣作用下，主動(dòng)克服畏難情緒，參與到畫圖過程，奠定畫圖基礎(chǔ)。

以人教版一年級(jí)下冊(cè)“20 以內(nèi)的退位減法”教學(xué)為例，可以引導(dǎo)小學(xué)生就“減法”這一運(yùn)算內(nèi)容，運(yùn)用擺放、繪畫相結(jié)合的方式，培養(yǎng)學(xué)生的參與興趣。先以“擺放”的方式，引導(dǎo)學(xué)生“動(dòng)手”操作，一定程度能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與積極性，在熟悉擺放方法后，將其轉(zhuǎn)換成繪畫方式，則可以將擺與“畫”充分結(jié)合起來，更利于借助具象化的“擺放”過程，轉(zhuǎn)化為形象思維，同步完成畫圖任務(wù)，深化畫圖意識(shí)。如在計(jì)算“12－5”時(shí)，由于“2 ＜5”，個(gè)位數(shù)字不夠減，就需要向前借一位，對(duì)于抽象思維能力明顯較弱的小學(xué)生而言，這一計(jì)算過程相對(duì)較難。教師就可以借助擺畫結(jié)合的方式，引導(dǎo)學(xué)生按照“上下位”的位置分別擺放出表示“12”和“5”的火柴棍（或者棋子），用以擺放、演示“借1”的含義，以此，在學(xué)生通過擺放，向十位借走1 個(gè)“1”后，十位變成0，個(gè)位由“2個(gè)火柴棍”變成“12 個(gè)火柴棍”，從中拿走“5”個(gè)后，查剩余的數(shù)，計(jì)算出最終結(jié)果后，學(xué)生能夠?qū)φ麄€(gè)“退位（借位）”的過程有一個(gè)更為具體的認(rèn)識(shí)，同時(shí)在動(dòng)手“擺放”的過程中學(xué)生也能夠有更強(qiáng)烈的參與感，整個(gè)運(yùn)算印象相對(duì)更深刻，利于學(xué)生更好地記住、理解。

借助上述擺放火柴棍的過程，一次次模擬擺放后，引導(dǎo)學(xué)生將剛剛擺放的過程，不加更改地照搬至草紙上，畫出剛剛的退位運(yùn)算過程，能夠?qū)⒕呦蠡膬?nèi)容，轉(zhuǎn)化為形象化，再經(jīng)過頭腦加工，形成抽象化的認(rèn)識(shí)，利于促使小學(xué)生抽象思維、推理能力提升。

5.4 指導(dǎo)畫圖應(yīng)用，形成解題意識(shí)

在產(chǎn)生畫圖興趣后，引導(dǎo)學(xué)生將畫圖策略應(yīng)用至實(shí)際的數(shù)學(xué)問題中，形成“畫圖可以解決問題、利用畫圖解決問題”的意識(shí)，便于進(jìn)一步促使學(xué)生畫圖策略應(yīng)用能力提升。具體仍可以從“符號(hào)”“圖形”兩個(gè)層面入手，對(duì)學(xué)生進(jìn)行畫圖意識(shí)、解題能力培養(yǎng)。

（1）學(xué)會(huì)用符號(hào)圖表達(dá)

用符號(hào)表達(dá)，是將邏輯關(guān)系運(yùn)用符號(hào)來表示，如上述運(yùn)用“大括號(hào)”表示“加”，運(yùn)用大小不一、位置相對(duì)的括號(hào)，表示全部、部分、剩余等內(nèi)容。在學(xué)生已經(jīng)具有上述“識(shí)符”基礎(chǔ)的前提下，可以引導(dǎo)學(xué)生借助題目，自主運(yùn)用“符號(hào)”來表示題目中的各類數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。

以人教版一年級(jí)下冊(cè)“100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，對(duì)于“100”“以內(nèi)”這兩個(gè)數(shù)字、概念的理解，就可以運(yùn)用符號(hào)的方式予以呈現(xiàn)。如選取一個(gè)線段，兩端默認(rèn)為“0”和“100”，用大括號(hào)將0—100 線段圍起來，表示“0—100”以內(nèi)的數(shù)。學(xué)生可以在教師講解后，自行練習(xí)，運(yùn)用大括號(hào)、線段表示“XX 以內(nèi)的數(shù)”，或者運(yùn)用大括號(hào)、線段表示題目要求的數(shù)的范圍。如教師提出練習(xí)題目“用線段表示20 以內(nèi)的數(shù)”“用線段表示20—35 之間的數(shù)”等，引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)運(yùn)用大括號(hào)這一符號(hào)，表示數(shù)字范圍。

（2）學(xué)會(huì)用簡易圖表達(dá)

簡易圖表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系，是在符號(hào)表達(dá)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助簡易圖形，進(jìn)一步理清數(shù)學(xué)關(guān)系的關(guān)鍵。過程中，可結(jié)合上述情況，引導(dǎo)學(xué)生形成“數(shù)形”意識(shí)，利于促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，認(rèn)識(shí)數(shù)與圖形之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)關(guān)系圖解方法。

以人教版一年級(jí)下冊(cè)“找規(guī)律”教學(xué)為例，可以將體育課上的“排隊(duì)”問題拿到課上，引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)生活中的排隊(duì)，與畫圖排隊(duì)聯(lián)系起來，建立起具象與抽象之間的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生將具象化的現(xiàn)實(shí)內(nèi)容，以抽象的方式展現(xiàn)出來，深化抽象思維。如“XX 班XX 小組學(xué)生排成方隊(duì)，從前、后、左、右四個(gè)方向數(shù)，A 同學(xué)都是排在第2 個(gè)位置，問：該小組一共有幾人？”針對(duì)這一問題，運(yùn)用畫簡易圖的方式實(shí)際很好解決，引導(dǎo)學(xué)生在草紙上畫出一個(gè)方形，代表操場(chǎng)，里面就是XX 小組學(xué)生，然后明確標(biāo)出上下（前后）左右四個(gè)方位，結(jié)合題目中的已知條件：從前、后、左、右四個(gè)方向數(shù)，A 同學(xué)都是排在第2 個(gè)位置，按照“一個(gè)小圓形代表一名同學(xué)”的標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出5 個(gè)小圓形位置，且能夠確定中間那個(gè)就是A 同學(xué)。但需要思考：該小組就是5 個(gè)人嗎？以題目作為驗(yàn)證對(duì)錯(cuò)的條件，能夠找到“方隊(duì)”這個(gè)詞，其表示的是：行數(shù)和列數(shù)相等正好排成一個(gè)正方形，回過來看剛畫出的圖形很顯然不能表示方隊(duì)的隊(duì)列關(guān)系，需要以A 同學(xué)為核心，在左右兩個(gè)同學(xué)的上下四個(gè)位置再畫上幾個(gè)圓形，才能形成方隊(duì)。此時(shí)再查小圓形的個(gè)數(shù)，才是整個(gè)XX 小組的人數(shù)。這一過程不僅具有趣味性，還可以促使學(xué)生深化對(duì)“圖形表述數(shù)”“圖形表示位置”“圖形表示數(shù)學(xué)關(guān)系”的意識(shí)，利于畫圖解題思路的形成。

5.5 巧變問題類型，尋找問題本質(zhì)

變形題是當(dāng)前多數(shù)學(xué)生難以走出的困境，知識(shí)點(diǎn)不變，題目發(fā)生改變，看似是兩道題，實(shí)際仍然是一個(gè)問題，這類題型在日常學(xué)習(xí)中較為常見。理論上本質(zhì)相同，學(xué)生與應(yīng)該能夠較為快速地回答出相應(yīng)問題。但實(shí)際上，部分學(xué)生很難第一時(shí)間看到問題本質(zhì)，容易被題型表面所迷惑。解決這一問題有效的方式，就是引導(dǎo)學(xué)生就同一問題，嘗試自主變形，逐步了解變形題的機(jī)理后，解題將變得更為簡單[6]。

以人教版一年級(jí)下冊(cè)“100 以內(nèi)的加法和減法（一）”教學(xué)為例，本部分為“整十?dāng)?shù)加、減”“兩位數(shù)加/減一位數(shù)或整十?dāng)?shù)”。如“20 ＋10”“20－10”“15 ＋5”“15－5”等，引導(dǎo)學(xué)生通過簡單的運(yùn)算（算理簡單，容易理解），對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)算術(shù)的引導(dǎo)，促使其形成運(yùn)算意識(shí)，掌握一定運(yùn)算技巧。此時(shí)借助畫圖策略進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生就同一問題，采用不同問法，使題型改變，促使學(xué)生了解變形題，且因?yàn)槟軌蜃灾髯冃危瑢W(xué)生的興趣會(huì)更高，也更容易建立學(xué)習(xí)自信。如針對(duì)“紅隊(duì)隊(duì)員12 個(gè)，黃隊(duì)隊(duì)員7 個(gè)，紅隊(duì)隊(duì)員比黃隊(duì)隊(duì)員多幾個(gè)？”的問題，引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖來分析兩隊(duì)隊(duì)員數(shù)量之間的關(guān)系。學(xué)生在草紙上畫出兩個(gè)被涂上“紅色”“黃色”的三角形，表示“紅隊(duì)”和“黃隊(duì)”，后又分別用紅色、黃色的記號(hào)筆，在前面兩個(gè)三角形的后方，畫出代表兩隊(duì)隊(duì)員數(shù)量的空心三角形。后用大括號(hào)（部分學(xué)生用虛線）表示出兩隊(duì)隊(duì)員相同數(shù)量位置，并告訴老師剩余的紅色三角形即表示多出來的人數(shù)。這一過程能夠看出學(xué)生已經(jīng)具備較強(qiáng)的畫圖解決問題意識(shí)、能力，此時(shí)借用引導(dǎo)變形法，對(duì)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步的引導(dǎo)，如“同樣的數(shù)字關(guān)系，我們還可以怎樣問呢？”，引發(fā)學(xué)生的思考，即“保持12、7”數(shù)字不變，還可以編出怎樣的問題。當(dāng)學(xué)生說出“我有12 個(gè)蘋果，弟弟有7 個(gè)蘋果，我比弟弟多幾個(gè)蘋果？”“黃隊(duì)隊(duì)員比紅隊(duì)隊(duì)員少幾個(gè)人？”…說明學(xué)生已經(jīng)基本掌握這一變形技巧：問法變了，但卻可以運(yùn)用同一畫圖內(nèi)容進(jìn)行回答，因每個(gè)題的數(shù)量關(guān)系相同。這就說明問題的本質(zhì)沒有變，變的只是表面的問法而已，以此促使學(xué)生形成一定的“變形”意識(shí)，利于后續(xù)引導(dǎo)其更好地應(yīng)對(duì)“變形題”。

5.6 引導(dǎo)規(guī)范畫圖，提升解題能力

規(guī)范地畫圖，是保證能夠有效尋找到圖形中規(guī)律的關(guān)鍵。因此在上述學(xué)生產(chǎn)生畫圖解決問題的興趣以及能夠運(yùn)用簡單的畫圖來解決問題時(shí)，還應(yīng)從“規(guī)范”角度，引導(dǎo)學(xué)生就畫圖問題予以重視，且在畫圖時(shí)保證規(guī)范性。

仍以上述“100 以內(nèi)的加法和減法（一）”教學(xué)為例，在學(xué)生按照題型中的數(shù)字，用圖形表示出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系時(shí)，應(yīng)予以規(guī)范引導(dǎo)，如“兩隊(duì)隊(duì)員排排站”等，引導(dǎo)學(xué)生將表示紅黃兩隊(duì)隊(duì)員的三角形“一一對(duì)應(yīng)”，更方便第一時(shí)間找到兩隊(duì)人數(shù)的規(guī)律。此外，還可以通過“錯(cuò)誤驗(yàn)證”，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不規(guī)范畫法，對(duì)比規(guī)范畫法，看哪一個(gè)更容易找出圖形規(guī)律、數(shù)量關(guān)系，以此促使學(xué)生形成“規(guī)范”意識(shí)，有助于后續(xù)更好地借助畫圖策略，解決數(shù)學(xué)問題。

結(jié)束語

綜上所述，畫圖策略對(duì)小學(xué)生形成自主解題意識(shí)，提高自主解題能力，有著不可忽視的影響。學(xué)生容易在教師的引導(dǎo)以及自主嘗試操作、畫圖的過程中，形成“數(shù)形思維”，學(xué)會(huì)用數(shù)字表示圖形數(shù)量關(guān)系，用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系。便于找到數(shù)學(xué)“抽象”問題的本質(zhì)，繼而提升數(shù)學(xué)問題解決能力。