平面向量問題常用方法

? 甘肅省會寧縣第四中學(xué) 張成武

平面向量集“形”“數(shù)”于一體,是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)等相關(guān)知識的一種重要工具.平面向量作為高中數(shù)學(xué)中一個特殊的知識點(diǎn),成為銜接代數(shù)與幾何的紐帶,溝通“數(shù)”與“形”,是數(shù)形結(jié)合的典范,因此解決相應(yīng)的平面向量問題時,需要具有多種技巧策略與思維意識.

1 定義法

定義法是解決平面向量問題的一種最基本的方法,對于平面向量的相關(guān)知識來說,例如知道了相關(guān)向量的“?！焙汀皧A角”,數(shù)量積問題就可以從定義本身入手加以解決.

分析:根據(jù)題目條件,利用三點(diǎn)所對應(yīng)的三角形為直角三角形,結(jié)合平面向量的數(shù)量積定義即可處理;結(jié)合平面向量中的關(guān)系式特征,通過整體思維法來處理,也是一種不錯的選擇.

故填:-25.

故填:-25.

點(diǎn)評:定義法是解決問題的本質(zhì)方法,涉及夾角、數(shù)量積、投影、模等相關(guān)知識的問題,抓住平面向量中的相關(guān)定義,一般都可以得到很好的解決.定義是數(shù)學(xué)知識的根本,也是解決問題的主要依據(jù).

2 基底法

基底法是指利用平面向量的基本定理以及平面向量的線性運(yùn)算,將問題中的平面向量轉(zhuǎn)化為已知的兩個不共線的平面向量的線性關(guān)系,結(jié)合平面向量的模、夾角、數(shù)量積等公式來分析與求解.

A.0 B.2 C.-2 D.-4

故選:A.

點(diǎn)評:根據(jù)題目條件確定一組相應(yīng)的基底向量,是基底法解決平面向量問題的關(guān)鍵所在.一般滿足條件的基底是各自的模確定或二者之間的夾角確定的一組不共線的向量,借助平面向量的線性運(yùn)算加以合理化歸與轉(zhuǎn)化,進(jìn)而結(jié)合向量的概念、性質(zhì)以及模、數(shù)量積公式等來分析與解決.

3 坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來,結(jié)合對應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算,利用函數(shù)與方程思想來分析與求解.有時坐標(biāo)法可以用來解決一些較為復(fù)雜的平面向量問題.

A.8 B.16

C.32 D.不能確定

分析:根據(jù)平面向量自身“數(shù)”的因素,通過圖形特征,合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,結(jié)合對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的確定以及動點(diǎn)的設(shè)置,利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與模的公式來構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而結(jié)合條件來分析與處理.

建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,則可知A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1).設(shè)P(x,y),則有x2+y2=2.

圖1

點(diǎn)評:利用坐標(biāo)法解決平面向量問題時,合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系是解決問題的基礎(chǔ).借助坐標(biāo)的確定與坐標(biāo)運(yùn)算,綜合平面解析幾何的相關(guān)知識來分析與處理,是解決平面向量問題中比較常用的一種技巧策略,也是研究平面向量問題的一種“通技通法”.

4 代數(shù)化法

代數(shù)化法是利用平面向量自身所具備的“數(shù)”的性質(zhì),通過代數(shù)語言翻譯已知平面向量問題中的條件和所求結(jié)論,借助代數(shù)運(yùn)算來分析與解決相應(yīng)的平面向量問題,充分體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想等.

分析:結(jié)合平方處理,將平面向量模的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題,結(jié)合函數(shù)與方程思維,利用判別式非負(fù)來構(gòu)建三角不等式,進(jìn)而得以確定向量的夾角問題.

解析:設(shè)向量a與b的夾角為θ.

由|a+xb|2≥|a+b|2,可得

a2+2xa·b+x2b2≥a2+2a·b+b2.

①

點(diǎn)評:通過平面向量自身具有的“數(shù)”的性質(zhì),從“數(shù)”的視角切入,結(jié)合函數(shù)與方程、不等式等代數(shù)思維進(jìn)行轉(zhuǎn)化與運(yùn)算,也是解決平面向量問題中的一種化歸與轉(zhuǎn)化思想與技巧策略.

5 幾何法

幾何法是把平面向量問題利用平面幾何的思想和方法,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,再利用平面幾何的相關(guān)知識與方法來分析與解決.幾何法中有幾個基本的問題必須并清楚,如共線問題、共點(diǎn)問題、構(gòu)造三角形、解三角形等.

分析:根據(jù)題目條件,整體構(gòu)建平面向量,通過平面向量的線性運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化,結(jié)合題目背景加以幾何化處理,數(shù)形結(jié)合,直觀形象地確定圓的弦長問題.

圖2

點(diǎn)評:通過平面向量自身具有的“形”的特征,從“形”的視角來切入,利用平面幾何圖形、平面解析幾何曲線等加以數(shù)形結(jié)合,直觀形象地從幾何意義視角來分析與解決相應(yīng)的平面向量問題.合理的“形”直觀,巧妙的形象處理,實現(xiàn)特殊平面向量問題的幾何意義化與直觀化.

平面向量具有“數(shù)”與“形”的雙重特點(diǎn),是數(shù)形結(jié)合自然一體的“橋梁”.這也為解決相關(guān)平面向量問題提供了更為廣闊的空間.既可以將幾何問題代數(shù)化,借助坐標(biāo)、符號、數(shù)量等,將推理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算來處理;也可以將代數(shù)問題幾何化,借助幾何意義、圖形等,將運(yùn)算轉(zhuǎn)化為直觀模型來解決.選擇最為合適的思維視角與技術(shù)策略,是解決平面向量問題的關(guān)鍵一環(huán).