“數(shù)”與“形”巧妙融合,“動(dòng)”與“靜”綜合應(yīng)用
——一道立體幾何題的探究

? 蘇州市第三中學(xué)校 張 瑜

向量是銜接代數(shù)屬性與幾何圖形的一個(gè)重要紐帶,合理溝通“數(shù)”(代數(shù))與“形”(幾何)之間的聯(lián)系,是數(shù)形結(jié)合的典范之一.而巧妙將向量知識(shí)融入到立體幾何中,動(dòng)靜直觀,數(shù)形結(jié)合,是數(shù)學(xué)知識(shí)交匯、數(shù)學(xué)思維融合、數(shù)學(xué)能力綜合等方面表現(xiàn)突出的一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn),倍受命題者青睞.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

本題以空間向量為問(wèn)題背景,結(jié)合空間向量的長(zhǎng)度關(guān)系與位置關(guān)系,以及數(shù)量積的絕對(duì)值的不等關(guān)系進(jìn)行創(chuàng)設(shè),有“動(dòng)”的展示、“靜”的確定,動(dòng)靜結(jié)合,數(shù)形直觀,綜合考查學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化情境中的直觀想象、空間想象能力等,以及對(duì)空間向量投影的理解,進(jìn)而選擇相應(yīng)的技巧與方法來(lái)分析與解決問(wèn)題.

作為空間向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題,可以從代數(shù)運(yùn)算“數(shù)”的視角切入,結(jié)合坐標(biāo)思維來(lái)處理;也可以從幾何圖形“形”的視角切入,結(jié)合數(shù)量積的幾何意義或空間圖形的幾何特征等來(lái)處理.由于視角多變,方法多樣,因此在處理過(guò)程中需要耐心、細(xì)心,以及空間想象能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的綜合顯現(xiàn).

2 問(wèn)題破解

2.1 思維視角一:代數(shù)思維

方法1:坐標(biāo)+不等式性質(zhì)法.

解后反思:根據(jù)題設(shè),合理構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)與向量的坐標(biāo),通過(guò)向量的數(shù)量積公式建立對(duì)應(yīng)的不等式,通過(guò)不等式的性質(zhì)進(jìn)行消參,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的最值.合理構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,可以優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算與解題過(guò)程,對(duì)問(wèn)題的解決起關(guān)鍵作用.

方法2:坐標(biāo)+三角換元法.

圖1

解后反思:三角換元法可以從另一個(gè)視角來(lái)確定一些相關(guān)的最值問(wèn)題,解決起來(lái)更加直接有效.

方法3:空間方程法.

圖2

解后反思:利用向量數(shù)量積的幾何意義確定動(dòng)點(diǎn)所處的空間中平面位置以及對(duì)應(yīng)的平面方程,結(jié)合多條件同時(shí)成立來(lái)確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,進(jìn)而得以確定對(duì)應(yīng)的最值.空間中相關(guān)平面的確定與方程的構(gòu)建,是解決問(wèn)題的一大創(chuàng)新與亮點(diǎn).

2.2 思維視角二:幾何思維

方法4:數(shù)量積的幾何意義法.

①

由向量數(shù)量積的幾何意義,可知當(dāng)且僅當(dāng)OP⊥平面ABC時(shí),①式等號(hào)成立.

不妨設(shè)點(diǎn)O到平面ABC的距離為h.

解后反思:利用等體積法,結(jié)合三棱錐體積公式的轉(zhuǎn)化,確定等號(hào)成立時(shí)點(diǎn)O到平面ABC的距離,即可確定對(duì)應(yīng)的最值.抓住最值成立時(shí)的條件,逆推思維,有時(shí)是解決小題(選擇題或填空題)的一種非常有效技巧與方法.

方法5:三余弦定理法.

|cos∠POC|≤|cos∠POB|≤|cos∠POA|.

解后反思:回歸空間圖形的本質(zhì),抓住空間的三余弦定理來(lái)聯(lián)系,直觀分析,有時(shí)也是解決與角有關(guān)的問(wèn)題的一個(gè)很好的切入點(diǎn).

3 變式拓展

探究:保留題目的創(chuàng)新情境與問(wèn)題背景,合理改變向量的模長(zhǎng)以及夾角等相關(guān)信息,進(jìn)行巧妙的改編與應(yīng)用,得到對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題.

以上變式問(wèn)題利用坐標(biāo)的構(gòu)建與不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用來(lái)分析與處理,也可以借助其他相關(guān)的方法來(lái)解決,這里不多加以展開(kāi)與應(yīng)用.

4 教學(xué)啟示

4.1 向量特性,綜合應(yīng)用

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》要求考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析與解決問(wèn)題的能力.

向量貫穿高中數(shù)學(xué)的多個(gè)分支,也是銜接不同數(shù)學(xué)知識(shí)模塊最便捷有效的橋梁.向量不僅具有代數(shù)運(yùn)算所對(duì)應(yīng)的“數(shù)”的本質(zhì)屬性而且具備幾何圖形所對(duì)應(yīng)的“形”的結(jié)構(gòu)特征,表達(dá)方式多樣,考查形式多元,思維視角多變,更具靈活性與綜合性.

4.2 一題多解,開(kāi)拓思維

借助一題多解,特別是常規(guī)思維與“通性通法”等的應(yīng)用,可以巧妙開(kāi)闊思路,發(fā)散思維,使得學(xué)生學(xué)會(huì)多層面、多角度分析和解決問(wèn)題,真正達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)原理、基礎(chǔ)知識(shí)與“通性通法”的認(rèn)識(shí).同時(shí),數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力等方面都能得到更好的拓寬和加強(qiáng),達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.