巧用導(dǎo)數(shù)定義求解一類含參問題*

? 福建省同安第一中學(xué) 范丹妮

1 引言

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)與研究,能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng),同時也向?qū)W生滲透方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想.縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試題,壓軸題通常是考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù),而且含有參數(shù)的題型更是熱點(diǎn)[1],這類問題綜合性強(qiáng)、難度高,學(xué)生不易掌握.目前,解決含有參數(shù)問題的常見方法主要有分類討論法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等[2].根據(jù)筆者平時教學(xué)工作中的觀察發(fā)現(xiàn),學(xué)生對于含參數(shù)問題的討論常常找不到分類的標(biāo)準(zhǔn),無從下手,或者是分類重復(fù)、缺漏,導(dǎo)致失分,故解這類題時學(xué)生往往更喜歡選擇分離參數(shù)法,然而該法在解題中有時也會碰到一些問題.本文旨在通過典型例題的對比解析,以期為學(xué)生在遇到相關(guān)的含參問題時提供解題思路參考.

2 典例解析

例1已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x-1)2(a∈R),當(dāng)x≥1時,f(x)≥a(x2-1)-ex+e恒成立,求a的取值范圍.

解法1:分離參數(shù)法.

當(dāng)x≥1時,f(x)≥a(x2-1)-ex+e恒成立,即x≥1時,2a(x-1)≤lnx+ex-e恒成立.

①當(dāng)x=1時,0≤0顯然成立.

對g(x)求導(dǎo),得

解法2:分類討論法.

由題意得,當(dāng)x≥1時,lnx+ex-2ax+2a-e≥0恒成立.

故h′(x)≥h′(1)=1+e-2a.

點(diǎn)評:該方法條理清晰,分類不重不漏,討論有理有據(jù),但實(shí)際情況是讓學(xué)生給出這樣的解答并不容易.對于高三第一輪復(fù)習(xí)中的學(xué)生來說,當(dāng)一次求導(dǎo)不能解決問題,尚能想到二次求導(dǎo),而該題的難點(diǎn)在于求導(dǎo)之后對參數(shù)的分類討論.

解法3:導(dǎo)數(shù)定義法.

由解法1可知g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

點(diǎn)評:在解法1的基礎(chǔ)上分離參數(shù)后,具有導(dǎo)數(shù)定義式特征的函數(shù),如果最值點(diǎn)取不到,可以巧用導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義求出極限值.

例2(2017年全國卷Ⅱ)已知f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.求a的值.

解法1:分離參數(shù)法+導(dǎo)數(shù)定義法.

f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).由題意,知f(x)=ax2-ax-xlnx≥0,即a(x-1)≥lnx.

②當(dāng)x=1時,0≥0顯然成立.

令g(x)=x-1-xlnx,則g′(x)=1-lnx-1=-lnx.當(dāng)00,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.所以g(x)max=g(1)=0,故g(x)≤0恒成立,從而h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.然而x=1時,h(x)的分母無意義.

綜上可知,a=1.

點(diǎn)評:導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義在求解極限時具有獨(dú)特的不可替代的作用,給原本看似走到絕境的解答迎來了柳暗花明.有些問題并非只能借助高等數(shù)學(xué)的洛必達(dá)法則.該解法巧妙地回歸了課本導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義,避開了洛必達(dá)法則.實(shí)用性在于分離參數(shù)時若出現(xiàn)分母分子均為0的形式,我們又多了一條解決策略.

3 結(jié)語

學(xué)無止境,數(shù)學(xué)的世界更是充滿了無限的奧妙,關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)定義解決含參問題還有待深入研究.數(shù)學(xué)含參問題變化多端,需要靈活多變地采取應(yīng)對策略,這就需要我們平時注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,以及剖析關(guān)鍵問題、靈活轉(zhuǎn)化問題的能力,以便在遇到含參問題時能更高效地解題.