一個(gè)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的精確解和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

黎超玲，趙云梅

(1.重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331；2.紅河學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南蒙自 661199)

1695 年，洛必達(dá)在給萊布尼茨的信中問(wèn)道：當(dāng)n階導(dǎo)數(shù)中的階數(shù)為這樣的分?jǐn)?shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)怎么計(jì)算？有什么意義？自那以后，通過(guò)好幾代數(shù)學(xué)家們的共同努力，并且經(jīng)過(guò)300 多年的不斷發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分理論終于被逐步地建立起來(lái)了，而且分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義也多達(dá)一二十種.相比于整數(shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展比較緩慢，主要是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)它沒(méi)有一個(gè)像整數(shù)階導(dǎo)數(shù)那樣的統(tǒng)一定義，而且早期的分?jǐn)?shù)階微積分理論也沒(méi)能夠與實(shí)際的應(yīng)用背景相結(jié)合.自上個(gè)世紀(jì)60 年代以來(lái)，后面這種情況得到了極大的改善，人們逐漸發(fā)現(xiàn)一些自然現(xiàn)象，如反常擴(kuò)散現(xiàn)象、記憶現(xiàn)象、粘彈性問(wèn)題等均可以用分?jǐn)?shù)階微分模型來(lái)描述，而且其精準(zhǔn)度往往優(yōu)于整數(shù)階微分模型.從而，分?jǐn)?shù)階微積分理論在應(yīng)用方面得到了快速的發(fā)展.如今，分?jǐn)?shù)階微積分理論已經(jīng)廣泛涉及到許多自然科學(xué)領(lǐng)域和工程技術(shù)領(lǐng)域，如在熱傳導(dǎo)技術(shù)領(lǐng)域、粘彈性材料性能研究領(lǐng)域、生物科學(xué)研究領(lǐng)域、信號(hào)處理技術(shù)領(lǐng)域以及磁力學(xué)研究領(lǐng)域等[1-16].然而，跟整數(shù)階非線性微分方程的求解相比，分?jǐn)?shù)階非線性微分方程的求解就顯得十分地困難，這是因?yàn)檎麛?shù)階非線性微分方程領(lǐng)域的一些有效方法無(wú)法直接地應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階非線性微分方程的求解中去，因此即便是一些非常簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)階非線性微分方程，人們也很難獲得其精確的解析表達(dá)式.

最近，文獻(xiàn)[17]中，Sahadevan 和Prakash 用不變子空間法[18,19]研究了下列時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程：

其中u=u(x,t),0 <α<1,κ,δ為任意非零常數(shù)，為Riemann-Liouville 微分算子.在文獻(xiàn)[17]中，Sahadevan 和Prakash 只有獲得方程(1)的一個(gè)精確解.在本文中，我們將利用Rui在文獻(xiàn)[20,21]中提出的半固定式變量分離方法與動(dòng)力系統(tǒng)方法相結(jié)合的方式，重新研究方程(1)的精確解，將獲得更為豐富的結(jié)果.

1.擴(kuò)散方程的約化以及相應(yīng)的非線性平面動(dòng)力系統(tǒng)

本節(jié)，我們通過(guò)半固定式變量分離的方法，將方程(1)約化成一個(gè)非線性平面動(dòng)力系統(tǒng)，然后討論該系統(tǒng)的相空間結(jié)構(gòu)以及相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

設(shè)方程(1)的解為:

其中v=v(x)為x的待定函數(shù)，γ為待定常數(shù).把(2)代入(1)得：

由(4)解得：

其中是一個(gè)參數(shù).通過(guò)變換式(8)可以將奇異系統(tǒng)(7)簡(jiǎn)化為以下規(guī)則的平面系統(tǒng)：

無(wú)論函數(shù)v如何變化，此時(shí)方程(6)和系統(tǒng)(9)是等價(jià)的.顯然，系統(tǒng)(7)和 (9)具有相同的首次積分.當(dāng)δ≠-κ2 時(shí)，首次積分為：

這里h是一個(gè)積分常數(shù).為了便于后面的討論，我們將方程(10)和(11)改寫(xiě)成如下的形式：

根據(jù)平面動(dòng)力系統(tǒng)理論，我們有以下兩個(gè)引理:

引理1.設(shè)(vi,0)為系統(tǒng)(9)的任意一個(gè)平衡點(diǎn)，那么下列結(jié)論成立：

(i) 若平衡點(diǎn)的雅克比行列式值J(vi,0)<0,則該平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)；

(ii) 若平衡點(diǎn)的雅克比行列式值J(vi,0) >0且traceM(vi,0)=0,則該平衡點(diǎn)為中心點(diǎn)；

(i) 若a=b,則微分方程(6)的解v(x)是具有孤立波形狀的同宿解；

(ii) 若a≠b,則微分方程(6)的解v(x)是具有扭結(jié)或反扭結(jié)形狀的異宿解.

根據(jù)平面動(dòng)力系統(tǒng)理論的相關(guān)知識(shí)可知，平面相圖軌道分布中軌道的走向與分布取決于系統(tǒng)平衡點(diǎn)的類型，從而決定了方程(6)的解的不同類型與動(dòng)力學(xué)行為，同時(shí)也確定了原方程的解的類型和動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

由上面的信息和引理，很容易看出系統(tǒng)(9)的平衡點(diǎn)O(0,0)可能是尖點(diǎn)或高階平衡點(diǎn)，由于J(0,0)=0并且平衡點(diǎn)指數(shù)也為零，根據(jù)平衡點(diǎn)的特征，我們下面分別對(duì)當(dāng)δ≠-κ2 和δ=-κ2 時(shí)繪出平面系統(tǒng)(9)的相圖，并對(duì)方程(6)的解進(jìn)行討論.為了方便查看圖形，在下面的圖形（圖1～圖3）中，用黑色線條標(biāo)記h=0定義的軌道，用紅色線條標(biāo)記h>0定義的軌道，用藍(lán)色(或綠色)線條標(biāo)記h<0定義的軌道.

圖1.當(dāng)δ≠-κ2 時(shí)，系統(tǒng)(9)在κδ>0時(shí)的平面相圖（原點(diǎn)為尖點(diǎn)的情況）

2.擴(kuò)散方程的各種精確解

根據(jù)上一節(jié)的分析，我們通過(guò)沿相圖中相應(yīng)軌道積分的方法來(lái)獲得擴(kuò)散方程的精確解.

當(dāng)δ≠-κ2 且h=0時(shí)，由方程(10)定義的黑色軌道的表達(dá)式可化為：

取原點(diǎn)為初值點(diǎn)，將(18)式代入(7)的第一個(gè)方程后沿軌道進(jìn)行積分，可得到：

完成(19)式的積分，可得常微分方程(6)的一個(gè)無(wú)界解：

將（20）和（5）式代入（2）式中，可得到方程（1）的一個(gè)精確解：

其中(21)是一個(gè)無(wú)界且隨時(shí)間增加而衰減的解，顯然當(dāng)t→∞時(shí)，u→0.

當(dāng)h<0,?0κ>0且δ=-κ時(shí)，系統(tǒng)(9)有無(wú)窮多個(gè)用藍(lán)色（或綠色）標(biāo)記的閉軌道，如圖2（a）和（b）所示.在這種情形下，方程(10)可簡(jiǎn)化為：

圖2.當(dāng)δ≠-κ2 時(shí)，系統(tǒng)(9)在κδ<0時(shí)的平面相圖（原點(diǎn)為高次平衡點(diǎn)的情況）

求解(23)，我們得到常微分方程(6)的兩個(gè)周期解族如下:

將上述兩個(gè)周期解和(5)代入(2)中，我們可得到方程(1)的兩個(gè)具有周期性質(zhì)的解:

盡管解(24)和(25)是兩個(gè)周期解，但是解(26)和(27)卻不是周期解，而是兩個(gè)具有周期特征且隨時(shí)間增加而衰減的解，當(dāng)t→∞時(shí)，u→0.分?jǐn)?shù)階微分方程一般沒(méi)有周期解，文獻(xiàn)[22,23]中的研究表明，線性的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)不存在周期解.

對(duì)(30)進(jìn)行積分，可得到常微分方程(6)的周期解如下:

這里δ=-κ2 滿足圖3(a)和(b)的條件，因此兩個(gè)圖中的軌道可以由(38)式定義，但這里無(wú)法通過(guò)(39)的積分計(jì)算出方程（6）的精確解，但是可以獲得它的數(shù)值解，這里就不介紹了.

圖3.當(dāng)δ=-κ2 時(shí)，系統(tǒng)(9)的平面相圖（原點(diǎn)為高次平衡點(diǎn)的情況）

為了能夠直觀地展示上述解的動(dòng)態(tài)特性，作為例子，分別繪制了解(21)（26）（27）和(32)的三維坐標(biāo)圖形,見(jiàn)圖4(a)（b）（c）和（d）.從圖4可以看出，擴(kuò)散現(xiàn)象是隨著時(shí)間的增加而衰減的，大部分情況下，擴(kuò)散現(xiàn)象在橫向上發(fā)生周期性的振蕩，但擴(kuò)散物濃度（或熱量）整體上隨著時(shí)間的增加而衰減.

圖4.解(21)（26）（27）和(32)的三維坐標(biāo)圖形