明晰算理，掌握算法
——在理解算理的基礎(chǔ)上自主建構(gòu)算法

王靈靈 (陜西省延安市宜川縣城關(guān)小學(xué) 716200)

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中“數(shù)的認(rèn)識(shí)”與“數(shù)的運(yùn)算”是兩個(gè)主題,而在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中將二者合并為一個(gè)主題,其主要目的在于促使學(xué)生理解算理與算法,探究二者之間的關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及推理意識(shí)。

一、以知識(shí)學(xué)習(xí)引導(dǎo), 幫助學(xué)生理解算理意義

算理是數(shù)學(xué)運(yùn)算的理論基礎(chǔ),其中涵蓋了數(shù)學(xué)的基本概念、公式與定理等,體現(xiàn)了運(yùn)算的規(guī)律,表現(xiàn)為抽象的運(yùn)算知識(shí)?？梢哉f(shuō),算理是具象化的運(yùn)算過(guò)程與運(yùn)算方法的基礎(chǔ)。算理能力培養(yǎng)的目標(biāo)要求學(xué)生在運(yùn)算的過(guò)程中,以算理為基礎(chǔ),選擇正確的運(yùn)算方式并在運(yùn)算的過(guò)程中發(fā)展自主分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)的學(xué)習(xí)、運(yùn)算能力的培養(yǎng)都依賴于算理,算理具有抽象化的特征,體現(xiàn)了知識(shí)的本質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師應(yīng)充分利用新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生對(duì)新知識(shí)的探究欲望,從而領(lǐng)略新舊知識(shí)的共同基礎(chǔ)——算理。該方法應(yīng)用的目的在于將新舊知識(shí)對(duì)比后挖掘二者的共同點(diǎn),達(dá)到既能降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度又能提升學(xué)生對(duì)算理理解力的目的。

例如,在除法豎式運(yùn)算的教學(xué)中,學(xué)生要學(xué)習(xí)兩位數(shù)除以一位數(shù)或者三位數(shù)除以一位數(shù)的除法應(yīng)用。這一知識(shí)點(diǎn)的算理是除法的概念與意義,需要運(yùn)用公式及口算的規(guī)則等。

除法是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)非零因數(shù),求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算,其基本的公式是:商=(除數(shù)≠0),在這個(gè)公式中,除數(shù)如果等于0,則公式就沒(méi)有意義;除法的意義是把一個(gè)單位平均分成多少份,每份有幾個(gè)這樣的單位,因此除法的本質(zhì)意義在于求平均數(shù)。據(jù)此,教師可以通過(guò)畫(huà)圖或者是實(shí)物操作的方式向?qū)W生解釋,除數(shù)等于零是無(wú)意義的。畫(huà)圖法便于學(xué)生理解及掌握除法的公式。

教師在教學(xué)中,從“分小棒”中引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)。首先要求學(xué)生從9個(gè)小棒中一次分三個(gè)小棒,一共分三次。其次布置豎式運(yùn)算例題=?教師利用舊知識(shí)講解每份6 個(gè),36 分成幾份,在獲得正確答案后再追問(wèn)學(xué)生兩個(gè)問(wèn)題:如果將6改換成0,即表達(dá)什么意義? 為什么得到的商“6”寫(xiě)在個(gè)位而不是十位上?

這兩個(gè)問(wèn)題能引發(fā)學(xué)生對(duì)除法公式及除法意義的探討,其目的在于以算理的學(xué)習(xí)為除法運(yùn)算的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。教師通過(guò)學(xué)生的回答了解到學(xué)生所應(yīng)用的運(yùn)算方法,繼而與學(xué)生探究新舊知識(shí)共同所依據(jù)的運(yùn)算算理,以便達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生利用推理、對(duì)比理解算理的目的,為學(xué)生后續(xù)的算法學(xué)習(xí)與應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

二、以算理為基礎(chǔ), 促進(jìn)學(xué)生把握算法的應(yīng)用

算法與算理是不同的,算法側(cè)重于表明數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律,學(xué)習(xí)目標(biāo)在于為數(shù)學(xué)運(yùn)算方法的選擇與應(yīng)用提供理論支持。學(xué)生可以在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中,應(yīng)用恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算順序、合理的運(yùn)算邏輯來(lái)實(shí)施運(yùn)算,以達(dá)到減少運(yùn)算時(shí)間、提升運(yùn)算效率的目的。當(dāng)然,算理的理解與算法的掌握是統(tǒng)一的,二者的應(yīng)用不僅有助于學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)化的知識(shí)框架,對(duì)于他們深入理解運(yùn)算的相關(guān)知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生從理論的視角認(rèn)知運(yùn)算的本質(zhì),提高運(yùn)算能力和運(yùn)算精準(zhǔn)度,在理解新知、創(chuàng)新學(xué)習(xí)方法等方面起到促進(jìn)作用。

教師在教學(xué)中,以引導(dǎo)學(xué)生建立算理與算法之間的關(guān)聯(lián)理念為主要目標(biāo),需要以實(shí)際問(wèn)題為載體。學(xué)生在應(yīng)用算法分析與解決問(wèn)題的過(guò)程中逐漸理解算理,通過(guò)掌握算理的方法將其應(yīng)用到相同類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,舉一反三,同時(shí)強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)算理與算法關(guān)系的認(rèn)知與理解。在此過(guò)程中,學(xué)生能夠應(yīng)用正確的運(yùn)算方法,實(shí)現(xiàn)正確的運(yùn)算步驟。

如在“小數(shù)乘整數(shù)”的課堂教學(xué)中,教師列出0.3×10=? 要求學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算。學(xué)生應(yīng)用的算法有兩種:一種是通過(guò)將0.3連加10次的方式得出結(jié)果。另一種是將0.3擴(kuò)大10倍得到結(jié)果。兩種算法得出的結(jié)果均正確,教師據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生探究不同的算法所依托的算理。

探究得出結(jié)論:0.3連加10次的算法源于乘法的意義,即乘法是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算;將0.3擴(kuò)大10倍的算法依據(jù)的算理是積的變化規(guī)律。積的變化規(guī)律是兩個(gè)數(shù)相乘,一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大(或縮小)N倍,另一個(gè)因數(shù)不變,那么它們的積也擴(kuò)大N倍。通過(guò)例題引出恰當(dāng)?shù)乃惴?再由算法探究出算理,從而促使學(xué)生順暢地理解算法與算理間的內(nèi)在聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上,教師舉出0.5×10=? 5×10=? 等一系列算式,其中涵蓋小數(shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘整數(shù)等不同類型,對(duì)此教師提出兩個(gè)基本問(wèn)題:比較0.5×10 與5×10 二者結(jié)果的差別,運(yùn)算結(jié)果差別的原因是什么? 如果將原來(lái)的算式改變?yōu)?0×0.5 與10×5,運(yùn)算的結(jié)果有變化嗎?

針對(duì)第一個(gè)問(wèn)題,學(xué)生根據(jù)乘法的基本概念分別從兩個(gè)方面進(jìn)行解答。第一是10個(gè)0.5相加得到5;5×10同樣表達(dá)的是10個(gè)5相加,最終得到50,二者的區(qū)別就在于5是0.5的10倍,結(jié)果也必須相差10 倍,因此符合“一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大(或縮小)N倍,另一個(gè)是因數(shù)不變,那么它們的積也擴(kuò)大N倍”的積的變化規(guī)律。在第二個(gè)問(wèn)題中,變化了的算式10×0.5、10×5與0.5×10、5×10的運(yùn)算結(jié)果并沒(méi)有不同,這一結(jié)果表現(xiàn)了“求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫作乘法”的基本要求。問(wèn)題探究的主要目的在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)乘法的基本概念與積的變化規(guī)律予以深刻理解。

基于不同類型的數(shù)學(xué)乘法算式而理解相同的算理,繼而促使學(xué)生選擇正確的算法進(jìn)行運(yùn)算。在這一過(guò)程中,教師引導(dǎo)學(xué)生分別從正向思維與逆向思維理解乘法的算理本質(zhì),加深學(xué)生對(duì)乘法的概念、乘法的意義、積的變化規(guī)律等運(yùn)算方法與技巧的掌握,使學(xué)生形成算理思維,建立算理與算法關(guān)聯(lián)的理念認(rèn)知,有助于學(xué)生把握運(yùn)算的本質(zhì)。尤其在其面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí),學(xué)生能夠以算理為基礎(chǔ)準(zhǔn)確選擇算法,化繁為簡(jiǎn),高效地解決實(shí)際問(wèn)題。

三、以學(xué)情為基點(diǎn), 輔助學(xué)生厘清算理與算法的關(guān)聯(lián)

厘清算理與算法之間的關(guān)聯(lián)可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用算理指導(dǎo)算法選擇,正確的運(yùn)算方法、規(guī)范運(yùn)算的過(guò)程。學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主體,因此教師應(yīng)該在把握學(xué)情的基礎(chǔ)上應(yīng)用合適的教學(xué)方法,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究,變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)合作。運(yùn)算教學(xué)中的算理屬于基礎(chǔ)理論知識(shí),是進(jìn)行運(yùn)算方法應(yīng)用及實(shí)施運(yùn)算的程序、步驟的理論依據(jù),解決了“為什么這樣運(yùn)算”的問(wèn)題。

例如,整數(shù)乘法運(yùn)算:3×5=( ) 6×4=( ) 2×8=( )等算式,學(xué)生可以利用口算的方式直接得到結(jié)果。

四、以算理的理解為基礎(chǔ), 達(dá)到學(xué)生自主建構(gòu)算法的目的

課堂是培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)能力的主要渠道,將算理結(jié)合算法教學(xué)能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握及解決實(shí)際問(wèn)題的能力,從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。因此,教師應(yīng)從新舊知識(shí)連接處入手,幫助學(xué)生掌握算理,借助實(shí)際運(yùn)算問(wèn)題提升學(xué)生算法意識(shí)。通過(guò)相關(guān)題型的歸納、講解,培養(yǎng)學(xué)生提高應(yīng)用算法的能力,有助于學(xué)生更好地掌握算法和算理,建構(gòu)算法。

例如,教師可設(shè)置情境:學(xué)校即將舉辦“體育節(jié)”,在籌備體育節(jié)的過(guò)程中,教師需要購(gòu)買大量體育用品,這些體育用品包括乒乓球(52 個(gè))、羽毛球(40個(gè))、毽子(48個(gè))等,其使用的對(duì)象分別是男同學(xué)與女同學(xué)組成的運(yùn)動(dòng)隊(duì)。

要求:如何將乒乓球、羽毛球、毽子合理分配給男女兩個(gè)隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員?

針對(duì)乒乓球(52 個(gè))、羽毛球(40 個(gè))、毽子(48 個(gè))進(jìn)行分配,分配的對(duì)象是男女兩個(gè)隊(duì),其中分為三種類型的答案。

第一種乒乓球(52個(gè))平均分配到男女運(yùn)動(dòng)隊(duì):52÷2=( )

第二種羽毛球(40個(gè))平均分配到男女運(yùn)動(dòng)隊(duì):40÷2=( )

第三種毽子(48 個(gè))平均分配到男女運(yùn)動(dòng)隊(duì):48÷2=( )

教師要求學(xué)生提出個(gè)人想法,列出與之對(duì)應(yīng)的運(yùn)算公式并以口算的方式運(yùn)算出最終的結(jié)果,分析其所表達(dá)的意義。

52÷2=(26):52÷2=表示52中有2個(gè)26,兩個(gè)26 是相等的,因此是將52 個(gè)乒乓球平均分配。

40÷2=(20):可以用畫(huà)圖來(lái)理解其中的意義,一個(gè)長(zhǎng)條是由十個(gè)火柴棒組成,4 個(gè)長(zhǎng)條就會(huì)有40個(gè)火柴棒,總共有40個(gè)火柴棒。四個(gè)長(zhǎng)條可以劃分為兩個(gè)長(zhǎng)條,而每個(gè)長(zhǎng)條里面有20個(gè)火柴棒。所以,40÷2=20。

48÷2=(24):可以應(yīng)用口算的方法解決,十位的4除以2,十位是2,個(gè)位的8除以2,個(gè)位是4,因此最后的結(jié)果24,是由十位的2與個(gè)位的4組成的。

在教師的引導(dǎo)下學(xué)生自主思考并選擇的運(yùn)算方法及所應(yīng)用的運(yùn)算過(guò)程,體現(xiàn)除法運(yùn)算的算理。通過(guò)情境設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中回顧整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)口算的算理與算法,強(qiáng)調(diào)除法的定義、運(yùn)算的法則,引導(dǎo)學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中主動(dòng)從“運(yùn)算單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算”角度,探索和理解兩位數(shù)除以一位數(shù)的算理,為其主動(dòng)建構(gòu)算法創(chuàng)造條件。