增強(qiáng)變式體驗(yàn) 助力思維進(jìn)階
——《長方形和正方形的周長》素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題展評與教學(xué)建議

文 |包蓉

一、習(xí)題展評

●習(xí)題一

1.習(xí)題內(nèi)容

請你將兩塊長6米，寬3米的長方形草坪拼組起來。

圖1

在方格圖中畫一畫、標(biāo)一標(biāo)，并計(jì)算它的周長。

圖2

2.能力指向

培養(yǎng)動(dòng)手操作能力、圖形想象能力以及靈活計(jì)算圖形周長的能力。通過對兩塊長方形草坪不同拼組方式的呈現(xiàn)，打破慣性思維的同時(shí)促進(jìn)對圖形特征的掌握。多樣的周長計(jì)算方法也能直觀反映出不同學(xué)習(xí)能力學(xué)生的思維水平與學(xué)習(xí)態(tài)度。

3.學(xué)情分析

本題是學(xué)生在自主描畫組合圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行周長的計(jì)算。從城區(qū)45名學(xué)生的后測情況看，組合圖形集中在長方形和正方形（如圖3），只有兩位學(xué)生出現(xiàn)了“L”型拼法和“T”型拼法（如圖4）。

圖3

圖4

圖5

從周長計(jì)算角度看，絕大部分學(xué)生能在方格圖中進(jìn)行簡單作圖，并感知重合的部分不是組合圖形的周長。當(dāng)然，因?yàn)閷W(xué)生的思維水平發(fā)展不同，計(jì)算周長的方法也不同。有學(xué)生利用周長的概念，將線段長度進(jìn)行累加計(jì)算，如：6+6+3+3+6+6=30（米）；62.2%的學(xué)生利用數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行簡便計(jì)算，如：6×4+3×2=30（米）；還有的學(xué)生具有整體思維，將組合圖形看成了一個(gè)大長方形來計(jì)算，如：（6+6+3）×2＝30（米）。

●習(xí)題二

1.習(xí)題內(nèi)容

30米的籬笆，能圍出哪些長方形（整米數(shù)）？請你計(jì)算說明。

方法長（米）寬（米）周長（米）?

2.能力指向

信息轉(zhuǎn)化和逆向思考能力。通過對“周長30米”這一信息的解讀，得到長和寬的長度和是15米，引導(dǎo)學(xué)生由整體走向部分，識別其中的隱含條件，并結(jié)合有序思考的方式找到所有可能，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化信息和知識逆向遷移能力。

3.學(xué)情分析

這一題不僅考查學(xué)生對周長本質(zhì)概念的理解，還需要進(jìn)行有序的逆向思考。除了個(gè)別學(xué)生不懂題意，大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確地找出其中幾種，但找不全，且沒有一定順序。有學(xué)生錯(cuò)誤地將周長和面積混淆，出現(xiàn)了長30米，寬1米；長15米、寬2米；長10米、寬3米的長方形。僅有11.1%的學(xué)生能將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有效遷移，有序地找全7種情況。

●習(xí)題三

1.習(xí)題內(nèi)容

你會(huì)計(jì)算下面這些圖形的周長嗎？請你算一算，再寫一寫計(jì)算的秘訣。

我計(jì)算的秘訣是：_________

2.能力指向

圖形轉(zhuǎn)化和再組合能力。本題以一個(gè)常見的四邊形的變式為素材。由于圖形中缺乏每一段的長度數(shù)據(jù)，因此學(xué)生不能使用“通過求每條邊的總和求周長”的方法。學(xué)生需要將“不規(guī)則圖形”轉(zhuǎn)化為“規(guī)則圖形”，進(jìn)而簡化復(fù)雜圖形的計(jì)算，將未知轉(zhuǎn)化為已知進(jìn)行求解。

3.學(xué)情分析

95.6%的學(xué)生能正確計(jì)算第一個(gè)圖形的周長。因第二個(gè)圖形有干擾項(xiàng)，學(xué)生在計(jì)算周長時(shí)遇到困難。結(jié)合訪談，學(xué)生普遍能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為長方形的周長，只是難以找到對應(yīng)寬的長度。第三個(gè)圖形的正確率為42.2%，學(xué)生普遍受到前兩個(gè)圖形的負(fù)遷移，直接計(jì)算長9厘米、寬6厘米長方形的周長，而忽略兩條2厘米的線段。可見，學(xué)生對于周長概念本質(zhì)的理解還需要更加深入。

二、教學(xué)建議

1.在多樣化情境與素材中，拓寬思維的廣度

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的生活與社會(huì)情境，以及符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)與科技情境中，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)、提出問題，用數(shù)學(xué)思維與語言分析、解決問題。因此，在進(jìn)行周長計(jì)算練習(xí)時(shí)，教師可以結(jié)合生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)給花壇圍籬笆、打造雞舍等情境，并將一面靠墻、兩面靠墻、已知周長求邊長等問題融入其中，讓學(xué)生在不同情境中學(xué)會(huì)提取有效信息和隱藏信息。

在幾何圖形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生思維容易局限于常見的圖形（長方形、正方形），忽略圖形的多種可能性。那么就需要教師在變式練習(xí)中提供多樣化素材（如圖6），使學(xué)生能根據(jù)圖形的特征計(jì)算周長，并通過交流發(fā)現(xiàn)：這四個(gè)圖形的形狀大小不一樣，但是在周長的計(jì)算方法上有共通之處。①②③號都是用一條邊的長度×邊數(shù)，和正方形周長的計(jì)算方法相似；④號可以用一組相鄰邊的和×2，也可以用長邊×2+寬邊×2，和長方形周長的計(jì)算方法相似。教師利用這些變化的素材作為媒介，不失時(shí)機(jī)地展開辨析、比較，引導(dǎo)學(xué)生不再拘泥于計(jì)算公式本身，而是找尋關(guān)聯(lián)，直擊周長概念的本質(zhì)。

圖6

2.在多維度辨析與比較中拓展思維的深度

三年級正是理性思維萌芽時(shí)期，需要教師做一個(gè)“過程”的加強(qiáng)者，不斷地“敲打”學(xué)生的思維，讓學(xué)生在一次次迷茫、豁然、欣喜中積累、感悟、明朗，直至達(dá)到主動(dòng)應(yīng)用。因此，在對長、正方形周長的鞏固練習(xí)中，教師可以適當(dāng)?shù)卣归_對比（如圖7），尋找聯(lián)系：圖形的形狀大小在變化，周長為什么不變？學(xué)生會(huì)從計(jì)算角度思考：長不斷增加，寬不斷減少，而增加的量與減少的量相互抵消。從而進(jìn)一步深入：到底什么不變導(dǎo)致周長沒有變化？通過不斷地討論、辨析、猜想、驗(yàn)證，使學(xué)生慢慢明了，不管怎么變，只要一組長和寬的和不變，周長自然也不會(huì)改變。教師還可以進(jìn)行逆向變式：除了表中的四種情況，還有哪些可能，周長也會(huì)是20米？迫使學(xué)生發(fā)現(xiàn)長9米、寬1米的長方形，甚至可以是長8.5米，寬1.5米的長方形，進(jìn)行適度的拓展提升。

圖7