“問題串”在中職數(shù)學概念教學中的應用
——以“對數(shù)”為例

謝 芳

(江蘇省如皋第一中等專業(yè)學校,江蘇 如皋 226500)

概念的生成過程是概念教學的重點.一個好的概念教學設計一定是能夠激發(fā)學生的學習興趣、幫助學生經(jīng)歷概念生成的完整過程.關于“問題串”的定義,可以理解為教師圍繞一定的教學目標或某個中心問題,按照一定的邏輯結構精心設計的一系列問題組合[1].這些問題串在教學中可以引導學生理解知識的產生與發(fā)展規(guī)律,在此基礎上提升學生的思維能力和解題能力.因此,教師不妨嘗試將“問題串”運用到數(shù)學概念教學中,通過設計具有引導性的問題,激發(fā)學生的學習動機,引導學生以積極主動的態(tài)度去探索新知,促進概念的形成和掌握.

1 創(chuàng)設情境,導入課題

無論哪個階段的數(shù)學教學,選擇優(yōu)質的教學資源,建立一個能激發(fā)學生思考和探索的問題情境都是值得教師去認真思考的.而在數(shù)學問題情境的創(chuàng)設過程中,教師需要關注與學生相關的生活情境以及該知識的產生背景,盡可能地選擇學生感興趣的、有利于學生探索新知的學習素材.同時,考慮到創(chuàng)設情境的目的是為了幫助學生了解知識的來源以及快速地進入到學習狀態(tài),故過于復雜的情境導入則會顯得本末倒置.因此,創(chuàng)設的情境要體現(xiàn)出直觀性,要讓學生更好地進行思考和訓練,激發(fā)學生的學習興趣,體會到概念的源頭[2].

在討論對數(shù)的產生時,教師可以引入細胞分裂的情境:在生物學中,細胞是處于不斷分裂的過程中,已知某種細胞在分裂時,由一個變成了兩個,又由兩個變成了四個……以此類推,一個這樣的細胞分裂了x次后,得到了細胞個數(shù)為y,那么新的細胞個數(shù)y與分裂次數(shù)x之間存在著怎樣的函數(shù)關系?此函數(shù)關系又該如何表示?針對該問題情境,學生能很快地運用“指數(shù)”來得到細胞個數(shù)y與分裂次數(shù)x之間的關系為:y=2x.此時,教師便可拋出兩個問題.問題1:如果細胞分裂6次,那么細胞數(shù)變成了多少?問題2:假設我們知道細胞分裂成了256個,那么細胞分裂的次數(shù)明確嗎?針對于第一個問題,學生知曉了要用“26”去解決問題,得到了答案為64個;在第二個問題中,學生需要找到“256相當于是多少個數(shù)字2進行相乘”的結果,通過不斷的試驗,學生得到了“28=256”從而順勢得到“當細胞分裂了8次后,細胞的個數(shù)變成了256”的答案.在該教學情境中,雖說并沒有真正地引入“對數(shù)”這一數(shù)學概念,但從學生的最近發(fā)展區(qū)提出問題,讓學生知曉了“指數(shù)”問題是客觀存在的,這樣一來,學生也能意識到:“對數(shù)”必然也不是憑空產生的,它或許與“指數(shù)”存在著千絲萬縷的關系.接著,教師即可出示下列例題:2x=8,2x=16,2x=25.同時,提出如下問題:以上三個解方程有何共同特征?各自的答案又是什么?通過觀察后,學生一致地說出:“在這三個式子中,底數(shù)都是2,而冪則都不相同.”

2 合作探究,概念形成

在上一階段的教學片段中,學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“指數(shù)”在數(shù)學計算以及數(shù)學表示等方面的局限性,因此,對于新概念的獲取則顯得迫在眉睫.眾所周知,眾人拾柴火焰高,往往個人的能力是較為單薄的,對于數(shù)學探究而言亦是如此.所以,在概念形成的初始階段,學生應當積極主動地與他人展開交流,集中大家的智慧,從而高效地理解和掌握新概念.同時,教師應繼續(xù)扮演好輔助者的角色,提出更具引導價值的問題串,以此來讓學生在探究過程中少走“彎路”,最終更好地促進概念的形成.

在研究上個案例的最后一個問題前,教師不妨出示下列兩個問題:設ab=N(a>0且a≠1)第一個問題,已知a,b求N,比如43=?、54=?第二個問題,已知a,N求b,比如3b=27,求b=?、5b=125,求b=?在實際的解答過程中,學生都能利用指數(shù)的知識去解決問題.同時,教師要引導學生說出這兩種計算題的相同點與不同點,通過觀察與交流,學生便能發(fā)現(xiàn):這兩種問題實際上都是與指數(shù)函數(shù)y=ax相關,在第一個問題中,是已知指數(shù)求y;而在第二個問題中,是已知冪求指數(shù).在此基礎上,教師繼續(xù)拋出問題:這兩個問題中,哪一個是常見的指數(shù)問題?通過回憶指數(shù)的概念和表示形式,學生能輕而易舉地認識到第一個是與指數(shù)相關的問題,而第二個可能與對數(shù)相關.這個教學片段的設計意圖在于,能幫助學生進一步觸及到對數(shù)概念的學習.此時,教師便可承接上一階段未完成的問題,提問:存在使得2b=5,這樣的數(shù)b嗎?若存在,該如何求解?在實際的求解過程中,學生提出了不同的求解方法,有學生認為,因為22=4,而23=9,又因為4<5<9,則數(shù)b一定是介于2和3之間的一個數(shù),但求不出具體的數(shù)值;還有學生運用了數(shù)形結合的思想方法,在平面直角坐標系中依次畫出指數(shù)函數(shù)y=2x與常數(shù)函數(shù)y=5的圖像,而兩個函數(shù)圖像的交點橫坐標即為b的值,最終也得到了“數(shù)b的值介于2與3之間”的結論,同時,還探究得到“數(shù)b的值是唯一的”.但較為遺憾的是,學生僅僅只是知曉了“b”的數(shù)值范圍,但依然無法用數(shù)學符號來表示.此時,教師便可引入新的數(shù)學符號“l(fā)ogaN”,解釋道:對于2b=5,為了能表示出數(shù)b,我們需要借助別的數(shù)學符號.可以發(fā)現(xiàn),指數(shù)b是由底數(shù)2與冪5決定的,所以數(shù)學家用log25,讀作以2為底5的對數(shù),其中2為底數(shù),寫在下面,5為真數(shù),寫在上方.

3 對比聯(lián)系,深入理解

對于學生而言,新的數(shù)學概念常常是比較晦澀難懂的,若不與舊知進行聯(lián)系,則往往起不到良好的學習效果.因此,教師不妨在提出問題串時,注重與舊知識點之間的聯(lián)系,讓學生對它們進行觀察、比較以及交流,找到它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,促進學生對新概念的深入理解和掌握,最終獲得事半功倍的課堂教學效果.

教師首先針對對數(shù)中底數(shù)a的取值范圍,提出相關問題:當變?yōu)閷?shù)時,底數(shù)a的取值會發(fā)生變化嗎?可以參照什么進行研究?根據(jù)對數(shù)的概念,學生不難發(fā)現(xiàn),對數(shù)來源于指數(shù),這兩個數(shù)本質上體現(xiàn)的就是a,b,N這三個量的同一種數(shù)量關系,區(qū)別在于表現(xiàn)形式不一樣,從一定意義上來講,指數(shù)運算的逆運算便是對數(shù)運算.因此,對數(shù)中的a與指數(shù)中的a表示的是同一個數(shù),故對數(shù)中a的取值并不會發(fā)生任何改變.研究完a的取值后,教師可以拋出以下問題串:對數(shù)是否可以取到任何實數(shù)?真數(shù)N的取值又會如何?是否依然可以通過聯(lián)系指數(shù)來進行研究?有了之前的學習經(jīng)驗,學生便會自發(fā)地進行對比研究.首先,在對數(shù)值的研究上,學生一致認為對數(shù)值實際上就是指數(shù)里的b,因此,只要知道b的取值范圍,那么,對數(shù)值的取值就明了了.顯而易見,在指數(shù)中,b的定義域為一切實數(shù),故對數(shù)值亦可以取到一切實數(shù).同樣地,在真數(shù)N的研究上,學生依葫蘆畫瓢,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域知曉了N只能取到正數(shù),因此,在對數(shù)中,真數(shù)N的取值范圍為N>0.在依次探究完a,b,N的取值范圍后,教師可以讓學生自行探索對數(shù)中的一些特殊值,提出問題:在指數(shù)中,會存在一些特殊值,由此及彼,在對數(shù)中,會存在一些特殊值嗎?在這個問題中,學生首先需要回憶出指數(shù)中的一些特殊值.在實際的課堂教學中,有學生能回憶到“a0=1(a>0且a≠1)”這個特殊值,指出:無論底數(shù)a如何變化,只要指數(shù)a為0,那么冪永遠是1;反過來考慮,若冪為1,那么指數(shù)b只能是0,而在對數(shù)中,指數(shù)中的冪就相當于真數(shù)N,故loga1=0(a>0且a≠1).依據(jù)這個思路,還有學生指出:在指數(shù)中,a1=a(a>0且a≠1),即在定義域內,任意數(shù)的1次方都等于本身;反之,由可將冪N看成是對數(shù)中的真數(shù),得到logaa=1(a>0且a≠1).至此,學生對于對數(shù)的認識也是更上一層樓.

4 習題練習,鞏固深化

在數(shù)學新概念的學習中,理解和熟知是一個深度,掌握和應用又是另外一個深度.因此,在數(shù)學教學中,選用一些具有針對性的習題來幫助學生鞏固和強化所學概念則顯得尤為重要.在數(shù)學學習中,適度的練習是必要的,也是檢驗學生能否靈活運用所學概念的重要手段之一[3].

總之,根據(jù)不同的課型以及不同的教學要求,教師需要靈活地將問題由淺入深、有層次性地進行設計,從而達到有效調動學生學習積極性、提升概念教學效果的目的.最后,教師也要注重教學反思,設計出更貼近與符合學生思維方式的問題串,進一步完善概念教學.