高三復(fù)習(xí)課微單元設(shè)計(jì)與教學(xué)思考
——以“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題”為例

靖 晶 陳艷寶

(大慶市第四中學(xué),黑龍江 大慶 163711)

為了進(jìn)一步提升學(xué)生的核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法的深度理解、建構(gòu)知識(shí)及靈活運(yùn)用,筆者嘗試開展“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題”的微單元教學(xué)設(shè)計(jì),內(nèi)容以高考題為載體,嘗試開展教學(xué)實(shí)踐.

1 必備知識(shí)

1.1 函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)y=f(x),把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn).

1.2 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的等價(jià)關(guān)系

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?y=f(x)有零點(diǎn).

1.3 函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.

已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的常用方法:①直接解方程②數(shù)形結(jié)合③借助導(dǎo)數(shù)工具及零點(diǎn)存在性定理.

2 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

2.1 課前自主學(xué)習(xí),診斷問題

進(jìn)入高三階段,學(xué)生已經(jīng)具備一定的學(xué)科知識(shí)及關(guān)鍵能力,但是由于有所遺忘,知識(shí)呈碎片狀.課前自主學(xué)習(xí)的形式診斷問題,梳理知識(shí)點(diǎn),在掌握知識(shí)的同時(shí)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考方式,可以提升認(rèn)知力及思維能力.

(1)(2019全國)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.(直接法)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)(考查零點(diǎn)存在性定理)

(3)(2022·全國)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則( ).

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

(考查借助導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合解決問題)

2.2 典例剖析,引申拓展

例1(2022乙卷16)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1

思路探求:函數(shù)的極值點(diǎn)就是相應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),故可轉(zhuǎn)化為研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題.

圖1 例1題圖

當(dāng)a>1時(shí),f′(x)在(-∞,x0)單調(diào)遞減,(x0,+∞)單調(diào)遞增,此時(shí)x=x1為極大值點(diǎn),不符題意.

方法點(diǎn)睛利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn),確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn).在每一類情況中確定函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性、特殊點(diǎn)等,畫出大致的函數(shù)圖象,討論其圖象與x軸的位置關(guān)系,先形后數(shù),求出參數(shù)取值范圍.

方法2(同構(gòu)+分離變量)由法1知,當(dāng)a>1時(shí),不符題意.

方法點(diǎn)睛通過分離變量,可將參數(shù)與變量分離開來,轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)具體函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的問題,避免了對(duì)參數(shù)的范圍的討論.本題對(duì)學(xué)生對(duì)于運(yùn)算對(duì)象的理解有了更深層次的要求,需要結(jié)合運(yùn)算對(duì)象的特點(diǎn),恰當(dāng)?shù)淖冃魏?轉(zhuǎn)化為研究具體函數(shù)的圖象問題.

方法3(轉(zhuǎn)化為研究兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題)

方法點(diǎn)睛利用數(shù)形結(jié)合求解零點(diǎn)問題,基本策略是“一靜一動(dòng)、一直一曲”,當(dāng)一直一曲時(shí),極限位置為相切的位置;若為兩曲線,往往是凹凸性相反的兩曲線,極限位置是公切線.

2.3 問題延伸,拓展思維深度

思路探求考查學(xué)生分類討論思想,轉(zhuǎn)化與化歸能力及推理論證能力.難點(diǎn)一:確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn);難點(diǎn)二:在討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),要結(jié)合零點(diǎn)存在性定理嚴(yán)密論證函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),“找點(diǎn)”是學(xué)生的難點(diǎn).故在研究前設(shè)計(jì)問題串如下,啟發(fā)學(xué)生思考如何“找點(diǎn)”.具體解答過程為:

方法點(diǎn)睛對(duì)于“找點(diǎn)”,在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生有將指數(shù)、對(duì)數(shù)等放縮成低次、高次多項(xiàng)式的意識(shí),有利用常用不等式進(jìn)行放縮的意識(shí).對(duì)于有困難的學(xué)生,可用極限的思維代替找點(diǎn)的思維.

評(píng)注利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題在解答題中往往是壓軸題,考查學(xué)生的綜合素養(yǎng),具有很強(qiáng)的選拔功能.需根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)先確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn),確定參數(shù)的取值范圍.在嚴(yán)密的推理論證中,往往找點(diǎn)成為難點(diǎn),由于對(duì)學(xué)生的能力要求較高,在平時(shí)的教學(xué)中,有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考,可通過設(shè)計(jì)問題串的形式引導(dǎo),不斷提升學(xué)生的遷移能力,在不斷完善的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中理解數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué),形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).

3 高三復(fù)習(xí)微單元設(shè)計(jì)的教學(xué)思考

3.1 重視教材,充分挖掘教材

高考的考查方向既有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查,又有對(duì)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查.在教學(xué)中,要在課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上,結(jié)合教材的例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由?題在書外,理在書中.在組織復(fù)習(xí)課的教學(xué)中,科學(xué)、合理地調(diào)整呈現(xiàn)的次序,增加啟發(fā)的環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系題目的信息和自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)探索解題的思路,進(jìn)行解題的嘗試,不斷反思與總結(jié),積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[1].

3.2 注重一題多解,從不同角度提升核心素養(yǎng)

通過例1的多種解法,從不同的角度入手,殊途同歸,都圓滿地解決了問題.既引導(dǎo)了學(xué)生善于從不同的角度深入研究,積累數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),又從不同的解法中提升了學(xué)生的核心素養(yǎng).通過一道題學(xué)會(huì)一類題,才能達(dá)到“授之以漁”的目的.在選擇例題時(shí)應(yīng)抓住主干知識(shí)以及學(xué)生學(xué)習(xí)特定內(nèi)容的薄弱點(diǎn),盡量選取能夠拓展解題方法的例題,可以向?qū)W生展示不同的解題方法,舉一反三,觸類旁通,提升核心素養(yǎng),也可對(duì)例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幰赃_(dá)到上述目的.

3.3 經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)的提升并不是一蹴而就的,而是在學(xué)生經(jīng)歷了直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算后,逐步內(nèi)化形成的[2].故在高三的微單元復(fù)習(xí)中,要放手讓學(xué)生去深度地思考與體驗(yàn),可以引導(dǎo)學(xué)生開展合作交流、反思質(zhì)疑等活動(dòng),對(duì)問題進(jìn)行深入剖析,揭示知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì),有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

3.4 強(qiáng)化數(shù)學(xué)探究反思,提升理性思維

隨著我國課程改革的不斷深入,數(shù)學(xué)教育已從傳統(tǒng)的“學(xué)生本位”向“學(xué)科本位”課程觀跨越,提倡自主學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、創(chuàng)造性、批判性及反思性.在高三的微單元的復(fù)習(xí)課中,可以通過精心的教學(xué)設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主的、深度的探究學(xué)習(xí),既強(qiáng)化了學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累,提高了學(xué)生嚴(yán)密推理論證的能力,也進(jìn)一步提升了學(xué)生的綜合素養(yǎng).