基于鞅驅(qū)動(dòng)的時(shí)滯倒向隨機(jī)微分方程最優(yōu)控制

周 敏,顏 瑞,李志民

(安徽工程大學(xué)數(shù)理與金融學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

0 引言

線性倒向隨機(jī)微分方程由BISMUT[1]首次提出,方程一般化面臨的一個(gè)問題是要解決方程的存在唯一性,此問題困擾學(xué)界很長時(shí)間.PENG[2]在利用線性倒向隨機(jī)微分方程研究隨機(jī)最大值原理問題時(shí)發(fā)現(xiàn),解決強(qiáng)制性是推動(dòng)倒向隨機(jī)微分方程的關(guān)鍵.隨后,PARDOUX和PENG[3]提出了一般形式的倒向隨機(jī)微分方程,解決了這個(gè)倒向隨機(jī)微分方程的研究瓶頸問題,PENG[4-6]在后期的系列工作建立了倒向隨機(jī)微分方程理論體系.

PENG的工作推動(dòng)了倒向隨機(jī)微分研究的蓬勃發(fā)展,后繼學(xué)者圍繞如何解決方程中的生成元的結(jié)構(gòu)和擴(kuò)散部分開展研究,產(chǎn)生一系列成果.TANG和LI[7]討論了布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過程混合驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程,KAROUI等[8]研究由一般鞅驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程.王湘君[9]研究了以連續(xù)局部鞅為干擾源的倒向隨機(jī)微分方程,在系數(shù)滿足Lipschitz條件下證明了其解的存在唯一性.李娟[10]在此基礎(chǔ)上研究了以一般鞅為干擾源的倒向隨機(jī)微分方程,對(duì)經(jīng)典的倒向隨機(jī)微分方程進(jìn)行實(shí)質(zhì)性推廣,得到了其解的存在唯一性.一些學(xué)者嘗試弱化終端條件和生成元的Lipschitz條件來推廣PARDOUX和PENG的結(jié)論,FAN等[11]得到了非Lipschitz條件下倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性;程中華[12]得到了非Lipschitz條件下和局部Lipschitz條件下由連續(xù)局部鞅驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程的解的存在唯一性,并得到了其比較定理.DELONG等[13]考慮生成元在時(shí)間上可以依賴于過去的一個(gè)解的值,用一個(gè)時(shí)間延遲函數(shù)加權(quán),給出了時(shí)滯倒向隨機(jī)微分方程的概念.CHEN等[14]考慮生成元不僅取決于瞬時(shí)狀態(tài),還通過時(shí)滯參數(shù)取決于過去的狀態(tài),利用帶時(shí)滯生成元的倒向隨機(jī)微分方程和超前隨機(jī)微分方程之間的對(duì)偶性,證明了這兩類方程解的存在唯一性,導(dǎo)出了最大值原理的充要條件.

倒向隨機(jī)微分方程理論和方法逐漸被應(yīng)用在金融產(chǎn)品的定價(jià)中,馮莎莎等[15]總結(jié)了期權(quán)定價(jià)模型,同時(shí)利用倒向隨機(jī)微分方程推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)公式.馬玉東[16]通過對(duì)倒向隨機(jī)微分方程進(jìn)行保險(xiǎn)定價(jià)公式的合理改進(jìn),加入了公司營業(yè)費(fèi)用率和未決賠款準(zhǔn)備金比率的參數(shù)調(diào)整,使之更加符合保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營情況.徐銘浛[17]利用倒向隨機(jī)微分方程求解連續(xù)支付紅利的期權(quán)定價(jià),苗杰[18]用BSDE理論得到了可分離債券價(jià)格所滿足的倒向隨機(jī)微分方程,得出了可分離債券價(jià)格的顯式公式.在CHEN等[14]的研究中,方程是在布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的倒向隨機(jī)微分方程,具有較強(qiáng)的限制條件,而在實(shí)際問題中尤其是在金融問題中,布朗運(yùn)動(dòng)往往不是刻畫股票價(jià)格過程的理想工具[19].為此,本文考慮了更加一般的情況,對(duì)驅(qū)動(dòng)過程進(jìn)行推廣,將連續(xù)鞅驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程與時(shí)滯結(jié)構(gòu)結(jié)合起來,考慮由連續(xù)鞅驅(qū)動(dòng)的時(shí)滯倒向隨機(jī)微分方程和與之對(duì)偶的連續(xù)鞅驅(qū)動(dòng)的超前隨機(jī)微分方程,利用解的存在唯一性,時(shí)滯倒向隨機(jī)微分方程生成元可以依賴過去的狀態(tài),從而可用于股票價(jià)格具有時(shí)滯效應(yīng)的期權(quán)定價(jià)、保險(xiǎn)費(fèi)率計(jì)算等,在決策和控制中亦有應(yīng)用的可能.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

其中,y(t)是一個(gè)-適應(yīng)的Rn-值的過程.當(dāng)n=1時(shí)上式簡記為LM.

其中,z(t)是一個(gè)-可料的Rn-值的過程.當(dāng)n=d=1時(shí)上式簡記為

考慮以下時(shí)滯倒向隨機(jī)微分方程(BSDE):

(1.1)

假設(shè)方程系數(shù)滿足如下條件:

考慮以下形式的超前隨機(jī)微分方程:

(1.2)

其中,對(duì)于?t∈[0,T],r∈[t,T+δ],有

且滿足下列假設(shè):

(H2.1)存在一個(gè)常數(shù)C3>0,使得對(duì)于所有的t∈[0,T],x,x′∈Rn,ζ(·),ζ′(·)∈LM(t,T+δ;Rn),r∈[t,T+δ],有

2 解的存在唯一性

對(duì)于由方程(1.1)確定的具有時(shí)滯結(jié)構(gòu)的由鞅驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程,給出如下定理.

其中,a(β,s,t)=exp(β(〈M〉s-〈M〉t)).

令

(y(·),z(·))=Φ[(Y(·),Z(·))],

(y′(·),z′(·))=Φ[(Y′(·),Z′(·))],

從而有

于是有

注意到,

同理,

只要δ足夠小,就能保證K(C2,L,δ,α,β)<1,即

(y′(·),z′(·))=Φ[(Y′(·),Z′(·))]≤K(C2,L,δ,α,β)[(Y′(·),Z′(·))].

因此Φ在范數(shù)‖·‖β下就為一個(gè)壓縮映射,由不動(dòng)點(diǎn)定理可知,定理2.1得證.

證明 類似于定理2.1的證明,定義以下范數(shù),在Hilbert空間LM(0,T+δ;Rn)中構(gòu)造壓縮映射:

其中,a′(β,s,t)=exp(-β(〈M〉s-〈M〉t)).

定義映射I:LM(0,T+δ;Rn)?LM(0,T+δ;Rn),使得I[X(·)]=x(·).對(duì)于任意的X(·),X′(·)∈LM(0,T+δ;Rn),記

I[X(·)]=x(·),I[X′(·)]=x′(·),

其中,

由b,σ滿足(H2.1),得到

于是,

注意到,

因此I在范數(shù)‖·‖β下為一個(gè)壓縮映射.由不動(dòng)點(diǎn)定理可知,定理2.2得證.

3 解的最優(yōu)控制

在金融領(lǐng)域,具有延遲盈余的養(yǎng)老金、具有時(shí)滯效應(yīng)的股票期權(quán)定價(jià)與原保險(xiǎn)費(fèi)率等都可以用以下時(shí)滯倒向隨機(jī)微分方程進(jìn)行刻畫.

(3.1)

其中,μ(t)表示資產(chǎn)在t時(shí)刻的回報(bào)率,σ(t)表示在t時(shí)刻的波動(dòng)率.

方程(3.1)為線性的時(shí)滯倒向隨機(jī)微分方程,方程生成元包含當(dāng)前t時(shí)刻和過去t-δ時(shí)刻解的值.可見方程(3.1)為方程(1.1)的特殊形式,由定理2.1可知其存在唯一解.

下面介紹與之對(duì)偶的超前隨機(jī)微分方程:

(3.2)

定理3.1 時(shí)滯倒向隨機(jī)微分方程(3.1)的解Y?可由以下閉式給出:

其中,X(s)是以下超前隨機(jī)微分方程的解:

(3.3)

證明 首先證明(3.3)有唯一解.當(dāng)s∈[T-δ,T]時(shí),(3.3)變?yōu)?/p>

(3.4)

易知(3.4)有唯一解λ?.當(dāng)s∈[t,T]時(shí),(3.3)變?yōu)?/p>

(3.5)

可見方程(3.5)是一個(gè)經(jīng)典的超前隨機(jī)微分方程,由定理2.2可知,方程(3.5)存在唯一解.

對(duì)X(s)Y(s)在s∈[t,T]上應(yīng)用It’s公式,

等式兩邊取條件期望,

由于X(t)=1,X(t)=0,s∈[T,T+δ],則有

綜上所述,本文通過時(shí)滯倒向隨機(jī)微分方程與超前隨機(jī)微分方程之間的對(duì)偶性,將超前隨機(jī)微分方程作為伴隨過程,得出了解的最優(yōu)控制,在具有延遲盈余的養(yǎng)老金動(dòng)態(tài)最優(yōu)、具有時(shí)滯效應(yīng)的股票期權(quán)定價(jià)與原保險(xiǎn)費(fèi)率等前提下,可利用該最優(yōu)控制方法解決金融產(chǎn)品定價(jià)問題.