基于快速傅里葉變換FFT 量化乒乓球拍底板性能的研究

于泓

（中國能源建設(shè)集團遼寧電力勘測設(shè)計院有限公司 遼寧 沈陽 110179）

隨著乒乓球運動高精準(zhǔn)化發(fā)展，球員選擇適合自我特點的球板，越發(fā)感到困惑，原因是球板性能沒有明確的量化標(biāo)識。為此，研究者們開展了相關(guān)的研究。文獻采用頻率計測試出球板的基頻表征試品的性能，但忽視了一階固有頻率以外高階的固有頻率的作用。文獻探討了固有頻率與球板結(jié)構(gòu)的關(guān)系，涉及了專業(yè)軟件計算多階固有頻率的方法，列出的一階固有頻率數(shù)值未落在文獻歸納范圍內(nèi)（220-660Hz），選取木材工程的經(jīng)驗數(shù)據(jù)計算，難免偏離實際的結(jié)果。為彌補現(xiàn)有量化技術(shù)的不足，急需研究開發(fā)新的量化方法。

1、球板具有n 階固有頻率和n 階固有振型的屬性

任意一只球板都具有其唯一的多階固有頻率和對應(yīng)的多階固有振型的屬性，其多階固有頻率數(shù)值與對應(yīng)的模態(tài)剛度和模態(tài)質(zhì)量相關(guān)，證明如下述。

1.1、n 階固有頻率

實際的球板結(jié)構(gòu)可認(rèn)為是一振動系統(tǒng)，其質(zhì)量和彈性是連續(xù)分布的，具有無限多個自由度。為簡化分析，將系統(tǒng)簡化為有限多個自由度的振動系統(tǒng)。一般情況下，n 個自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動的運動微分方程具有以下形式：

設(shè)n自由度系統(tǒng)運動微分方程（1）的特解為

由（3）式可觀察到，要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的頻率方程：它是關(guān)于2p的n次多項式，由它可以求出n個固有頻率（或稱特征值）。因此，n個自由度振動系統(tǒng)具有n個固有頻率，即：。

1.2、n 階固有振型（主振型、主模態(tài)）

將已求出的固有頻率（特征值）代入式（3），可分別求得相對應(yīng)的A。對應(yīng)pi可以求出，其各元素振幅的集合就是系統(tǒng)n 階固有頻率的主振型。

1.3、各階固有頻率與對應(yīng)的模態(tài)剛度、模態(tài)質(zhì)量的關(guān)系

質(zhì)量、剛度對固有頻率的影響有以下分析，由式（6）可知

上式中Ki、Mi分別為第i 階模態(tài)剛度和第i 階模態(tài)質(zhì)量。由式（8）可以看出，系統(tǒng)的某階固有頻率隨該階的模態(tài)剛度影響系數(shù)增大而增大，隨該階模態(tài)質(zhì)量的增大而減小。

實際取得球板的剛度和質(zhì)量的分布參數(shù)是很困難的。對于多階固有頻率以及振型，測試和實驗將是最好的實現(xiàn)方法。

2、傅里葉變換和快速傅里葉變換FFT

周期函數(shù)可展開為傅里葉級數(shù)：

式中1ω為基波角頻率；n為諧波次數(shù)；a0為常數(shù)分量；為各次諧波的幅值。經(jīng)歐拉轉(zhuǎn)換，（9）式的復(fù)數(shù)形式為：，式中cn為各次諧波系數(shù)，它相當(dāng)于幅值（11）。傅里葉級數(shù)式（10）是將時域數(shù)據(jù)分解為無窮多個離散的諧波。因此，對任意周期函數(shù)X(t)的傅里葉變換，得到的是頻率函數(shù)X(f)，實現(xiàn)時間域信息轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率域信息，即頻譜分析。

利用復(fù)指數(shù)函數(shù)的周期性和對稱性，學(xué)者庫利和圖基提出了快速傅里葉變換FFT 的算法，充分利用中間結(jié)果，大大減少了計算工作量，提高了計算速度,推動了FFT 分析儀的開發(fā)利用。由于測試輸入是真實的振動模擬信號，無需附加力學(xué)參數(shù)和邊界假定，當(dāng)被測球板在激勵下，激振的頻率接近系統(tǒng)的各固有頻率，即ω≈Ρn時，振幅放大系數(shù)β 出現(xiàn)最大值，各階主振型振動幅值達(dá)至峰值，因這些峰值呈“鶴立雞群”樣明顯突出，特別利于對各階固有頻率值的抓取，達(dá)到實驗測試目的。

3、實驗

3.1、試件前5 階固有頻率的測試

實驗按圖1 左側(cè)布置，受試球板懸掛在實驗臺架，安靜環(huán)境下，啟動FFT 頻譜分析儀待測，用帶氈墊木槌輕擊球板中下部形成強迫激勵，當(dāng)屏幕出現(xiàn)如圖1 右側(cè)的圖形，按停止鍵，該圖譜將保持在屏幕上靜止，撥動游標(biāo)，與“鶴立雞群”的f1、f2、f3、f4、f5 波峰重合時，分別記錄它們的頻率數(shù)值，即完成測試。

圖1 FFT 測試受試球板裝置和測試的屏顯頻譜示意圖

實驗選擇各類型球板測試，經(jīng)統(tǒng)計，前五階固有頻率均分布在240-2200Hz 范圍內(nèi)。

3.2、前5 階固有頻率測試案例

兩只球板測試結(jié)果如圖2 所示，左側(cè)圖中顯現(xiàn)了1-5 階固有頻率的頻譜。圖2 右側(cè)圖的圖譜并未反映通常的f2 固有頻率屬性，原因是該球板采用了芳基碳素纖維編織材料，屬于特例。11只球板測試結(jié)果按直板和橫板分成兩組，以表1 和表2 列入。

表1 被測球板（直板）1 至5 階固有頻率測試結(jié)果表 單位（Hz）

表2 被測球板（橫板）1 至5 階固有頻率測試結(jié)果表 單位（Hz）

圖2 FFT 測試輸出實例截屏照片

3.3、球板的1 至5 階主振型實驗

為取得1-5 階的主振型，先從獲得節(jié)線入手。前面方法獲得各階固有頻率數(shù)值后，以低頻信號發(fā)生器用已知頻率值逐階激勵（見圖3 左側(cè)裝置），讓球板在其各階的固有頻率分別發(fā)生持續(xù)的同頻共振，事先球板表面均勻撒布輕顆粒體（見圖3 右側(cè)），顆粒體在球板的振動中獲得動能而跳躍，由高動能向低動能區(qū)移動。板面逐漸發(fā)生輕顆粒體聚集的現(xiàn)象，它們聚集而形成規(guī)則的線條（見圖4），這些線條經(jīng)整理繪出各階振型的節(jié)線（見圖5）。再根據(jù)振動體節(jié)線上位移最小，節(jié)線兩側(cè)振動位移方向相反的特性，繪制出球板的1-5 階的主振型圖（見圖6）。

圖3 同頻共振連續(xù)激勵裝置和均勻散布輕顆粒的受試球板

圖4 1 階至5 階固有頻率同頻共振下小顆粒體匯聚成固有振型的波節(jié)線圖形

圖5 由同頻共振實驗的圖形結(jié)果繪制成節(jié)線圖

圖6 球板前五階固有頻率振型圖

4、推薦兩組數(shù)據(jù)作為比對基準(zhǔn)值

為了實驗結(jié)果的比對方便，推薦（表1）中代號S5160 直板和（表2）中代號S2397 橫板試品兩組數(shù)據(jù)分別為直板基準(zhǔn)數(shù)據(jù)組和橫板基準(zhǔn)數(shù)據(jù)組。歸一化處理案例見（表3）和（表4）。

表3 被測球板（直板）1 至5 階性能量化比對系數(shù)表

表4 被測球板（橫板）1 至5 階性能量化比對系數(shù)表

5、實驗數(shù)據(jù)分析和主觀感受

由實驗觀察，低階到高階固有頻率的振幅（形變量）總趨勢是逐階下降的，5 階以后的振幅高度與非固有頻率的振幅差距越來越小，力學(xué)特征已不明顯，相應(yīng)前五階固有頻率比較容易獲得。選擇多種類型球板參與測試發(fā)現(xiàn)，無論是橫板還是直板，無論是全木材料還是加混碳素纖維材料，幾乎所有受試球板的五階振型圖模樣都是相似的，球板性能之間的區(qū)別主要反映在各階固有頻率的數(shù)值大小。

一階固有頻率是主基調(diào)，傳統(tǒng)的敲球板子聽聲音辨球板來自于它。一階固有頻率的節(jié)線呈“一字”形，振型呈“魚尾”擺動樣。頻率值表征了球板總體縱向彎曲剛度的強與弱，主要貢獻因素來自于球板各層縱向木紋纖維材料的物理性能以及球板的總體厚度等。頻率過高的球板顯“僵硬”不易控制，頻率過低的球板顯“糠軟”乏力；

二階固有頻率的節(jié)線如圖，振型呈四瓣翹邊樣。頻率值靠近一階固有頻率，其頻率值表征了球板橫向邊沿彎曲剛度的強與弱，主要貢獻因素來自于球板力材橫向木紋纖維材料的物理性能。在一階固有頻率的振動的基礎(chǔ)上增加了一個振動層次，手感增加了“酥”的層次感；

三階固有頻率的節(jié)線呈“背心”形，振型呈縱橫對稱凹凸樣。頻率值表征了球板縱向和橫向彎曲剛度的強與弱，主要貢獻因素來自于球板表層面材和次表層力材（或外置芳基碳編織層）的物理性能。頻率過高的球板擊球“脫板”速度過快，不易控制；頻率過低的球板出球發(fā)不上力量；

四階固有頻率的節(jié)線似“桃形”，呈封閉的環(huán)，振型似“水母”樣，越靠近環(huán)中心區(qū)域形變越大，頻率值表征了球板中部環(huán)形區(qū)剛度的強與弱，形變的大與小。主要貢獻因素來自于球板芯材（和內(nèi)置芳基碳編織層）的物理性能。頻率過高的球板擊球有“脫板”過快，形變小，有不“持球”感，影響旋轉(zhuǎn)的發(fā)揮；頻率過低的球板擊球有“脫板”過慢，形變大，有不“通透”感，影響擊打強度和速度的發(fā)揮；

五階固有頻率節(jié)線呈“T 裇”形，振型呈“Y 字”凹凸形。頻率值表征了球板面材縱向和橫向剛度的強與弱，決定頻率數(shù)值的主要貢獻因素來自于球板表層面材的物理性能。頻率高的球板“脫板”快，借力回彈快速，“脆感”反饋強；頻率低的球板借力回彈較慢，“脆感”反饋弱。

6、小結(jié)

一只球板從制造完成就確定了它的多階固有頻率的屬性，其屬性由其物理參數(shù)決定并與擊球性能存在內(nèi)在的對應(yīng)關(guān)系。基于快速傅里葉變換FFT 原理，采用實驗測試的方法，將激勵下球板的時間域振動信號轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率域的頻譜信息，將頻譜曲線中“鶴立雞群”的前5 項頻率檢出，完成獲取一階至五階固有頻率值。再采用巧妙的同頻共振方法獲得1-5 階對應(yīng)的主振型。實驗結(jié)果與主觀感受符合基本規(guī)律，具有良好的精準(zhǔn)性和重現(xiàn)性，形成一套新的乒乓球拍底板性能的量化方法。為方便比對數(shù)據(jù)，課題推薦直板和橫板兩組數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，可做歸一化處理供用者使用。

課題展望，隨著測試數(shù)據(jù)和使用者的主觀感受研判的積累，客觀的屬性與主觀的感受終會相得益彰，會不斷提煉出測試參數(shù)與球板全面性能關(guān)系。依據(jù)每一只球板所標(biāo)識的屬性參數(shù)選擇球板，會幫助球員提高訓(xùn)練質(zhì)量和比賽成績。對于千千萬萬的愛好者，以精準(zhǔn)的量化參數(shù)選購球板，會減少廢棄和經(jīng)濟損失，少走彎路。減少木材消耗，對保護森林、保護環(huán)境具有積極意義。