一道拋物線檢測(cè)題的解法與推廣探究

朱彬

1 試題呈現(xiàn)

（2023屆福建省福州市高三第二次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題第21題） 已知拋物線E：y2=2px（p＞0），過點(diǎn)（-2，0）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn).當(dāng)l1的斜率為23時(shí)，|AB|=[KF（]13[KF）].（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上.

2 試題解答

首先來看第（1）小題的解法.

分析：求曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，依據(jù)l1的斜率設(shè)出l1的點(diǎn)斜式方程，與E的方程聯(lián)立，消去x后得到關(guān)于y的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于參數(shù)p的等式，求解得到p的值，從而得到E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解：當(dāng)l1的斜率為23時(shí)，則得其方程為y=23（x+2）.聯(lián)立方程組y2=2px，y=23（x+2），代入并整理得y2-3py+4p=0.由弦長(zhǎng)公式得|AB|=[KF（]1+（32）2[KF）]·[KF（]（3p）2-16p[KF）]=[KF（]13[KF）]2·[KF（]9p2-16p[KF）].

又|AB|=[KF（]13[KF）]，所以[KF（]13[KF）]2·[KF（]9p2-16p[KF）]=[KF（]13[KF）]，即[KF（]9p2-16p[KF）]=2，解得p=2或p=-2p（舍去），故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

本小題考查待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系，熟練運(yùn)用弦長(zhǎng)公式是求解的關(guān)鍵.下面重點(diǎn)來研究第（2）小題的解法.

分析：該小題是圓錐曲線的重點(diǎn)題型——定線問題.定線問題是指無論動(dòng)點(diǎn)如何變化，始終在某條定直線上，問題的本質(zhì)就是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡（方程）.

因?yàn)辄c(diǎn)（-2，0）在拋物線E的對(duì)稱軸上，所以由拋物線的對(duì)稱性可知，直線AD與直線BC的交點(diǎn)G必定在垂直與x軸的直線上，因此要證明點(diǎn)G必在定直線上，只要證明點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為定值.這樣，分別設(shè)出A、B、C、D的坐標(biāo)，表示直線AD與BC的方程后聯(lián)立，得到用A、B、C、D的坐標(biāo)表示的點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，而整體消去與A、B、C、D坐標(biāo)有關(guān)的部分成為解題的關(guān)鍵.因此，需要首先從直線AB和直線CD的方程著手尋找聯(lián)系.

思路1 先根據(jù)A、B在E上，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求得斜率式子，表示出直線AB的方程后，將點(diǎn)（-2，0）代入，從而得到A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系；同理得到C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而利用這些關(guān)系證得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為定值.這一思路的程序是：設(shè)點(diǎn)——表示直線方程——代點(diǎn)（-2，0）——縱坐標(biāo)關(guān)系——結(jié)論證明.

解法1：因?yàn)槭茿、B拋物線E上的兩點(diǎn)，所以設(shè)A（y124，y1），B（y224，y2）則直線AB的斜率k1=y2-y1y224-y124=4y1+y2，所以直線AB的方程為y-y1=4y1+y2（x-y124），整理得4x-（y1+y2）y+y1y2=0.又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)（-2，0），將點(diǎn)（-2，0）代入直線AB的方程得y1y2=8.

因?yàn)镃、D是E上兩點(diǎn)，所以設(shè)C（y324，y3），D（y424，y4），同理可得y3y4=8.直線AD的方程為4x-（y1+y4）y+y1y4=0，直線BC的方程為4x-（y2+y3）y+y2y3=0.由于點(diǎn)（-2，0）在拋物線E的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，直線AD與直線BC的交點(diǎn)G必定在垂直與x軸的直線上，因此要證點(diǎn)G必在定直線上，只要證明點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為定值.聯(lián)立方程組4x-（y1+y4）y+y1y4=0，4x-（y2+y3）y+y2y3=0

因?yàn)橹本€AD與直線BC相交，所以y1+y4≠y2+y3.所以方程組消去y，解得x=y2y3（y1+y4）-y1y4（y2+y3）4［（y2+y3）-（y1+y4）］=8［（y2+y3）-（y1+y4）］4［（y2+y3）-（y1+y4）］=2.故點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為定值2，即直線AD與直線BC的交點(diǎn)G在定直線x=2上.得證.

思路2 根據(jù)直線AB過點(diǎn)（-2，0），設(shè)出點(diǎn)斜式方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元轉(zhuǎn)化，設(shè)出點(diǎn)A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)，由韋達(dá)定理得到縱坐標(biāo)關(guān)系，利用點(diǎn)差法求得斜率式子，表示出直線AB的方程后，將點(diǎn)（-2，0）代入，從而得到A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系；同理得到C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而利用這些關(guān)系證得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為定值. 這一思路的程序是：設(shè)直線點(diǎn)斜式方程——聯(lián)立方程組——利用韋達(dá)定理——縱坐標(biāo)關(guān)系——結(jié)論證明.

解法2：因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)（-2，0），所以設(shè)AB的方程為y=k1（x+2），聯(lián)立方程組y=k1（x+2），y2=4x，消去x得k1y2-4y+8k1=0.

設(shè)A（y124，y1），B（y224，y2），所以y1y2=8k1k1＝8.

因?yàn)橹本€CD過點(diǎn)（-2，0），所以設(shè)CD的方程為y=k2（x+2），同理可得y3y4=8.直線AD的方程為y-y1=y4-y1y424-y124（x-y124）=4y4+y1（x-y124），所以=4y4+y1x-y1y4y4+y1，所以化簡(jiǎn)、整理得4x-（y1+y4）y+y1y4=0.同理可得直線BC的方程為4x-（y2+y3）y+y2+y3=0.

以下同解法1.

思路3 根據(jù)直線AB過點(diǎn)（-2，0），設(shè)出橫斜截式方程，后面的過程同思路2.

解法3：因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)（-2，0），所以設(shè)AB的方程為x=ty-2，聯(lián)立方程組x=ty-2，y2=4x， 消去x得y2-4ty+8=0.設(shè)A（y124，y1），B（y224，y2）所以y1y2=8.因?yàn)橹本€CD過點(diǎn)（-2，0），所以設(shè)CD的方程為x=sy-2，同理得y3y4=8.直線AD的方程為y-y1=y4-y1y424-y124（x-y124）=4y4+y1（x-y124），所以y=4y4+y1+y1y4y4+y1，所以化簡(jiǎn)、整理得4x-（y1+y4）y+y1y4=0.同理可得直線BC的方程為4x-（y2+y3）y+y2y3=0.

以下同解法1.

點(diǎn)評(píng)：解法1是先設(shè)點(diǎn)，得到直線方程后將點(diǎn)（-2，0）代入，而解法2和解法3則是直接利用點(diǎn)（-2，0）設(shè)出直線的方程，不同之處在于解法2設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，而解法3是設(shè)出直線的橫截距式方程.設(shè)而不求和整體思想則是解決該小題的主要方法和手段.

3試題變式

探究1 試題中的拋物線E：y2=4x開口向右，點(diǎn)（-2，0）是對(duì)稱軸上位于y軸左側(cè)的一個(gè)已知點(diǎn)，那么，對(duì)應(yīng)于拋物線E另外三種開口方向和已知點(diǎn)的相應(yīng)位置，是否也有類同于第（2）小題的結(jié)論呢？于是有以下三個(gè)變式題.

變式1 已知拋物線E：y2=-4x，過點(diǎn)（2，0）的兩條直線l2，l2分別交E于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn).設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，則點(diǎn)G必在定直線上.（答：定直線為x=-2）

變式2 已知拋物線E：x2=4y，過點(diǎn)（0，-2）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn).設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，則點(diǎn)G必在定直線上.（答：定直線為y=2）

變式3 已知拋物線E：y2=-4y，過點(diǎn)（0，2）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn).設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，則點(diǎn)G必在定直線上.（答：定直線為y=-2）

4結(jié)論推廣

探究2 我們根據(jù)試題中拋物線方程x的的系數(shù)和已知點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，能否將試題結(jié)論推廣為一般情形？于是有了下面的結(jié)論1.

結(jié)論1已知拋物線E：y2=2px（p＞0），過點(diǎn)（-p，0）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn).設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，則點(diǎn)G必在定直線x=p上.

結(jié)論1的證明可按試題的解法過程來完成，這里從略；若變換拋物線的開口方向和已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到另外三個(gè)類同結(jié)論，這里也從略.

探究3若將結(jié)論1中拋物線E的方程不變，將點(diǎn)（-p，0）變?yōu)楦话闱樾?，能否得到類同的結(jié)論？于是有下面的結(jié)論2.

結(jié)論2 已知拋物線E：y2=2px（p＞0），過點(diǎn)（-m，0）（m＞0）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn).設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，則點(diǎn)G必在定直線x=m上.

證明：因?yàn)锳、B是拋物線E上的兩點(diǎn)，所以設(shè)A（y122p，y1），B（y222p，y2）則直線AB的斜率k1=y2-y1y222p-y122p=2py1+y2，所以直線AB的方程為y-y1=2py1+y2（x-y122p），整理得2px-（y1+y2）y+y1y2=0.又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)（-m，0），將點(diǎn)（-m，0）代入直線AB的方程得y1y2=2pm.因?yàn)镃、D是E上兩點(diǎn)，所以設(shè)C（y322p，y3），D（y422p，y4），同理得y3y4=2pm.直線AD的方程為2px-（y1+y4）y+y1y4=0，直線BC的方程為2px-（y2+y3）y+y2y3=0.由于點(diǎn)（-m，0）在拋物線E的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，直線AD與直線BC的交點(diǎn)G必定在垂直與x軸的直線上，因此要證點(diǎn)G必在定直線上，只要證明點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為定值.聯(lián)立方程組2px-（y1+y4）y+y1y4=0，2px-（y2+y3）y+y2y3=0，因?yàn)橹本€AD與直線BC相交，所以y1+y4≠y2+y3.所以方程組消去y，解得x=y2y3（y1+y4）-y1y4（y2+y3）2p（y2+y3）-（y1+y4）=y1y2y3+y2y3y4-y1y2y4-y1y3y44［（y2+y3）-（y1+y4）］=2pmy3+2pmy2-2pmy4-2pmy12p［（y2+y3）-（y1+y4）］=2pm［（y2+y3）-（y1+y4）］2p［（y2+y3）-（y1+y4）］=m.故點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為定值m，即直線AD與直線BC的交點(diǎn)G在定直線x=m上.命題得證.

若變換拋物線的開口方向和已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到另外類同的三個(gè)結(jié)論，這里從略.