基于深度學(xué)習(xí)的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計

徐進勇

關(guān)于深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，國內(nèi)外有很多界定，喻平教授認(rèn)為有幾點是相對統(tǒng)一的．（1）深度理解．即學(xué)習(xí)者對知識本質(zhì)的理解，對事物或知識意義的理解及對自我生命意義的理解．（2）高階思維．即學(xué)習(xí)者在知識建構(gòu)、問題解決的過程中，要有多種思維形式介入以及元認(rèn)知的參與．（3）知識遷移．學(xué)習(xí)者能將一個學(xué)科習(xí)得知識或方法遷移到另一學(xué)科情境或現(xiàn)實情境中去解決問題．（4）實踐創(chuàng)新．即學(xué)生的問題解決能力、遷移能力和創(chuàng)新能力在學(xué)習(xí)中能夠得到發(fā)展［1］．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在教學(xué)建議中強調(diào)：“教學(xué)要整體把握教學(xué)內(nèi)容，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生與發(fā)展過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，在此基礎(chǔ)上，探索通過什么樣的途徑能夠引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時，感悟知識的本質(zhì)，實現(xiàn)教育價值”［2］.章建躍博士認(rèn)為站在“一般觀念”的視角審視數(shù)學(xué)知識，超越碎片化的知識觀，追求數(shù)學(xué)的整體性，自然生成的就是單元教學(xué)．指出單元教學(xué)主要特征體現(xiàn)在（1）整體性．基于整體思維的教學(xué)設(shè)計方式，縱覽全局，從整體上掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，從結(jié)構(gòu)上更好地把握數(shù)學(xué)知識的整體性．（2）層次性與有序性．強調(diào)從單元到課時，先進行單元教學(xué)設(shè)計，再將本單元內(nèi)容按知識的發(fā)生發(fā)展過程、學(xué)生的認(rèn)知過程分解到課時．（3）系統(tǒng)性．同一單元的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相對完整，能構(gòu)成一個相對獨立的知識系統(tǒng)和邏輯關(guān)系，有助力學(xué)生的系統(tǒng)思維發(fā)展．單元教學(xué)的實施要按“總—分—總”的形式展開，前一個“總”常常以章引言展開，后一個“總”往往是以單元復(fù)習(xí)課結(jié)束．單元復(fù)習(xí)課對單元的回顧、總結(jié)、整合、聯(lián)系、拓展、升華具有重要意義，是單元教學(xué)必不可缺少的重要環(huán)節(jié)．下面以人教A版選擇性必修第二冊“數(shù)列”為例，基于深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵構(gòu)建單元復(fù)習(xí)課，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展．

1 梳理數(shù)列的學(xué)習(xí)路徑，深度理解數(shù)列概念，形成“一般觀念”

問題1 數(shù)列單元主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？這些內(nèi)容是按怎樣的邏輯展開的？又是如何研究的？

預(yù)設(shè)：數(shù)列的內(nèi)容與已學(xué)的函數(shù)有相似之處，既包括一般數(shù)列，又包括特殊數(shù)列，因此數(shù)列內(nèi)容的編排采用了與函數(shù)相似的框架，這也是研究一個數(shù)學(xué)對象的基本路徑，即數(shù)列的事實—數(shù)列概念的定義、表示—性質(zhì)—等差數(shù)列與等比數(shù)列．等差數(shù)列與等比數(shù)列的研究，也都采用了與研究基本初等函數(shù)類似的路徑，即“事實—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”．等比數(shù)列與等差數(shù)列在研究思路和方法上有很強的可類比性，都是通過發(fā)現(xiàn)取值規(guī)律獲得定義，通過與相應(yīng)函數(shù)類比探索性質(zhì)，通過運算、代數(shù)變換等一般性的方法解決相關(guān)問題等，突出“遞推關(guān)系—通項公式—求和公式—實際問題”的研究路徑，具體如圖1．

設(shè)計意圖：梳理數(shù)列的研究內(nèi)容、研究路徑、研究方法與研究視角，形成“數(shù)列”這一數(shù)學(xué)對象的研究套路．讓學(xué)生形成用“數(shù)列”的眼光的看待問題，用“數(shù)列”的思維思考問題，用“數(shù)列”的語言表達(dá)問題的意識與能力，實現(xiàn)“四基”的落實與“四能”的提升．

2 以“一般觀念”為指導(dǎo)，創(chuàng)新問題解決，形成高階思維

教材中章頭圖（如圖2）的背景是遼闊而波濤洶涌的大海以及遠(yuǎn)處的燈塔，象征著數(shù)學(xué)的悠久文化與歷史傳承，數(shù)學(xué)是指引人類文明進步的“燈塔”．沙灘上畫“三角形數(shù)”、“四邊形數(shù)”、“五邊形數(shù)”傳說是古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在海灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，并通過擺成的某些形狀來研究數(shù)的規(guī)律．

問題2 你發(fā)現(xiàn)“三角形數(shù)”、“四邊形數(shù)”、“五邊形數(shù)”分別是多少？

預(yù)設(shè)：通過觀察可得到三角形數(shù)1，3，6，10，…，四邊形數(shù)1，4，9，16，…，五邊形數(shù)1，5，12，22，….

問題3 按照數(shù)列的研究套路，從運算的角度你能發(fā)現(xiàn)項與項間存在怎樣的關(guān)系？

預(yù)設(shè)：三角形數(shù)滿足an+1－an=n+1；四邊形數(shù)滿足an+1－an=2n+1；五邊形數(shù)滿足an+1－an=3n+1．

問題4 你能由遞推關(guān)系求出通項公式嗎？

預(yù)設(shè)：通過累加法，利用等差數(shù)列的求和公式可求得三角形數(shù)滿足an=n2+n2；四邊形數(shù)滿足an=n2；五邊形數(shù)滿足an=3n2－n2．

問題5 你能求它們的和嗎？

預(yù)設(shè)：可利用分組求和法，但我不知道12+22+32+…+n2=？

問題6 事實上，古代數(shù)學(xué)家在海灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，不是簡單地數(shù)一下就完事，而是把小石子擺成某些形狀來研究，是通過“形”來研究“數(shù)”的方法，數(shù)學(xué)史上稱為“數(shù)形理論”．如圖3，

高斯根據(jù)“三角形數(shù)”解決了1+2+3+…+n=n（n+1）2，你知道他是怎么計算的嗎？同樣，畢達(dá)哥拉斯從“正方形數(shù)”中也得到了一個結(jié)論（如圖4），你能寫出這個結(jié)論嗎？

預(yù)設(shè)：1+3+5+…+（2n－1）=n2.

問題7 如果我們把三角形數(shù)中的點擴大到一個小圓圈，再在每個小圓圈按規(guī)律填上數(shù)字：第1行填1，第2行都填2，…，第n行都填n（如圖5（a）），這個三角形所有小圓圈的數(shù)字和怎樣表示？

預(yù)設(shè)：1+2×2+3×3+…+n×n=12+22+32+…+n2.

問題8 將這個三角形按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到第二個三角形（如圖5（b））；再將這第二個三角形按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到第三個三角形（如圖5（c）），將這三個三角形對應(yīng)位置的小圓圈里的數(shù)相加，得到第四個三角形（如圖5（d）），則第四個三角形中所有數(shù)字之和是多少呢？

預(yù)設(shè)：算出第4個三角形各小圓圈數(shù)字和為（1+2+3+…+n）（2n+1）=12n（n+1）·（2n+1），結(jié)合上面結(jié)論，可得12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）．

設(shè)計意圖：依據(jù)等差、等比數(shù)列的研究思路，回歸對章頭圖的研究，一方面讓學(xué)生經(jīng)歷以“一般觀念”為引導(dǎo)的探究式學(xué)習(xí)，體會“研究套路不變，思想方法不變”，逐步掌握解決數(shù)學(xué)問題的那個“相似的方法”，同時從相鄰兩項差為常數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橄噜弮身棽钍且粋€變量，實現(xiàn)了高階思維的躍進，體現(xiàn)方法的高通路遷移；另一方面，教師提供的新材料，也是對“數(shù)形理論”拓展，使學(xué)生對章頭圖的涵義有深度理解，彰顯數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的同時，拓寬了學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生實踐創(chuàng)新，過程中有具體形象思維、抽象邏輯思維介入以及元認(rèn)知的參與，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀與數(shù)學(xué)推理能力．

3 探索一般數(shù)列解決方案，形成通性通法，實現(xiàn)知識遷移

等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中兩種特殊數(shù)列，高中階段只學(xué)習(xí)這兩種數(shù)列，如何把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化到這兩種數(shù)列中去，并通過等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與求和公式解決問題也本單元學(xué)習(xí)的一個重點和難點.

教材“4.3等比數(shù)列”例12：某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場從今年起每年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，….（1）寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成cn+1－k=r（cn－k）的形式，其中k，r為常數(shù)；（3）求S10=c1+c2+c3，…+c10的值（精確到1）．

問題9 例題向我們說明怎樣的解題思路，對你有何啟發(fā)？

預(yù)設(shè)：將cn+1=1.08cn－100轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列，體現(xiàn)將一般數(shù)列通過變形轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列．

追問：上述問題的轉(zhuǎn)化方法具有一般性嗎？即形如an+1=pan+q（其中p，q為常數(shù)），如何求其通項公式．

預(yù)設(shè)：可用待定系數(shù)法求得通項公式，步驟如下：第一步，假設(shè)遞推公式可改寫為an+1+t=p（an+t）；第二步，由待定系數(shù)法，解得t=qp－1；第三步，寫出數(shù)列an+t的通項公式；第四步，寫出an的通項公式．

變式方向一：將常數(shù)q變?yōu)殛P(guān)于n為變量的代數(shù)式．

題1 若數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2an+n－1，如何求an的通項公式．

分析：由an+1=2an+n－1得an+1+（n+1）=2（an+n），所以an+n是等比數(shù)列．

題2 若數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2an+2n，如何求an的通項公式．

分析：由an+1=2an+2n得an+12n+1=an2n+12，所以an2n是等差數(shù)列．

題3 若數(shù)列an滿足a1=1，an+1=3an+2n，如何求an的通項公式

分析：由an+1=3an+2n得an+12n+1=32×an2n+12，令bn=an2n，得bn+1=32bn+12，轉(zhuǎn)化為“an+1=pan+q”形式．

變式方向二：兩項間遞推關(guān)系變?yōu)槿楅g遞推關(guān)系．

題1 若數(shù)列an滿足a1=1，a2=3，an+2－2an+1+an=2，如何求an的通項公式．

分析：由an+2－2an+1+an=2得（an+2－an+1）－（an+1－an）=2，所以數(shù)列an+1－an是等差數(shù)列．

題2 斐波那契數(shù)列an，a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，如何求an的通項公式．

分析：再回到待定系數(shù)法.第一步，假設(shè)遞推公式可改寫為an+2+tan+1=p（an+1+tan）；第二步，由待定系數(shù)法解出t=－1±52，不妨取t=－1+52，得p=1+52；第三步，利用等比數(shù)列通項公式可得an+1+－1+52an=（1+52）n；第四步，按變式方向一中的題3可得an=15（1+52）n－（1－52）n.

設(shè)計意圖：從特殊到一般，從常量到變量，從二項到三項，實施“形”與“質(zhì)”的變化，提高學(xué)生的應(yīng)用遷移能力，發(fā)展了學(xué)生的高階思維，使學(xué)生對“變形”的目標(biāo)、策略有清晰的理解．整個過程有利于學(xué)生形成對數(shù)列的完整認(rèn)識與本質(zhì)理解，體會知識的發(fā)展過程與相互聯(lián)系，體現(xiàn)思想的一致性與方法的普適性，學(xué)生的“四能”得到發(fā)展．

4 用“數(shù)列模型”解決綜合問題，實踐應(yīng)用中文化育人

隨著高科技與信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用．在用數(shù)學(xué)方法解決科技和生產(chǎn)領(lǐng)域問題的過程中，關(guān)鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學(xué)模型并計算求解，因此數(shù)學(xué)建模已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之一．

例題 （2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)理科試卷新課標(biāo)Ⅰ第21改編）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．現(xiàn)甲、乙兩種藥的治愈率分別為0.5和0.8．若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，并且有5pi=4pi－1+pi+1（i=1，2，…，7）．請求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

預(yù)設(shè)：由5pi=4pi－1+pi+1i=1，2，…，7整理可得pi+1－pi=4（pi-pi－1），∴pi+1－pii=0，1，2，…，7是以p1－p0為首項，4為公比的等比數(shù)列，得pi+1－pi=p1－p0·4i=p1·4i，∴p8－p7=p1·47，p7－p6=p1·46，…，p1－p0=p1·40.

作和可得p8－p0=p1·40+41+···+47=1－481－4p1=48－13p1=1，∴p1=348－1，p4=p4－p0=p1·40+41+42+43=1257.

由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=1257≈0.0039，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.

設(shè)計意圖：通過實例讓學(xué)生體會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界，以高考題為例，更有說服力．一方面向?qū)W生說明高考數(shù)學(xué)題的命題趨勢，即提高利用數(shù)學(xué)知識解決跨學(xué)科問題或現(xiàn)實問題，要有較強的遷移能力與建模應(yīng)用能力．另一方面也能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的“善”—服務(wù)于生活，服務(wù)于社會及人類的應(yīng)用價值；欣賞數(shù)學(xué)的“美”—“掩蓋不住冰冷美麗下火熱的思考”；崇尚數(shù)學(xué)的“真”—震撼于數(shù)學(xué)的理性精神，這一切終將遷移、升華，并內(nèi)化為學(xué)生自身的思維品質(zhì)與科學(xué)素養(yǎng)．

所以，單元復(fù)習(xí)課的設(shè)計要站在知識整體的高度，在整體視角下確定目標(biāo)、設(shè)計情境、把握內(nèi)容、選擇方法、實現(xiàn)應(yīng)用，要突出聯(lián)系、遷移與創(chuàng)新，使學(xué)習(xí)成為一種有生命的意義建構(gòu)，以達(dá)到徹底解決問題和情感的滿足，方能實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)，最終讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地．

參考文獻

［1］喻平.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)與評價研究［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.