燃數(shù)學(xué)思想之火，升核心素養(yǎng)之華

何燈

2023年度高考藍皮書《中國高考報告（2023）》指出：未來高考命題將以“三線（核心價值金線、能力素養(yǎng)銀線、情境載體串聯(lián)線）”為框架，命題呈現(xiàn)出“無價值，不入題；無思維，不命題；無情境，不成題”的典型特征.由此觀之，新高考命題將會更加關(guān)注對學(xué)生數(shù)學(xué)思維、學(xué)科素養(yǎng)的考查.

數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂［1］.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是我們教育教學(xué)的終極培養(yǎng)目標(biāo)［2］.所以，面對“三新”背景下的高考，我們應(yīng)轉(zhuǎn)變自身的教學(xué)理念和教學(xué)方式，在傳授學(xué)生課本知識，習(xí)得解題方法的同時，更應(yīng)該關(guān)注他們數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、學(xué)科思想的浸潤、核心素養(yǎng)的發(fā)展，只有這樣，才能最大限度的發(fā)揮課堂教學(xué)的實效，才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維從學(xué)生的腦海中自然的流淌出來，才能從容應(yīng)對未來高考的新挑戰(zhàn).

本文以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊的若干典型試題為例，闡述在解題教學(xué)過程中，教師若能將數(shù)學(xué)知識與方法和數(shù)學(xué)思想有機地結(jié)合在一起，引領(lǐng)學(xué)生站在數(shù)學(xué)思想的高度去分析和解決問題，就可以在深化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟的同時，優(yōu)化解題過程，降低解題難度，實現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升［3］.

1、立意函數(shù)與方程思想發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

函數(shù)與方程思想包括函數(shù)思想與方程思想.函數(shù)思想主要是通過函數(shù)相關(guān)知識來求解問題，方程思想是把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組進行求解.函數(shù)與方程思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題時，應(yīng)該關(guān)注到函數(shù)與方程之間可以實現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化，從而在問題獲解的同時培養(yǎng)學(xué)生綜合性的問題分析和問題解決能力，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

例1 （2021年八省聯(lián)考第8題）已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則（）.

A．c

C．a(chǎn)

分析：本題涉及到三個方程的根的大小比較，直接求解顯然無法奏效，故需要引導(dǎo)學(xué)生將題設(shè)條件進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，以尋求解題的突破口.在教學(xué)過程中，筆者設(shè)置了如下三個問題，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的過程.

問題1 題設(shè)條件能否做適當(dāng)?shù)淖冃危?/p>

問題2 變形后的條件具有什么特征？這些特征給你怎樣的啟示？［4］

問題3 你能根據(jù)這種啟示，將問題進行簡潔求解嗎？

通過問題1，引領(lǐng)學(xué)生對題設(shè)條件進行適當(dāng)變形，得到e55=eaa，e44=ebb，e33=ecc；通過問題2，引領(lǐng)學(xué)生立意于函數(shù)與方程思想，研究函數(shù)f（x）=exx（x>0）的圖象特征；通過問題3，引領(lǐng)學(xué)生利用f（x）的圖象特征對問題求解.由方程f（5）=f（a），得此時5與a為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=f（5）兩圖象交點的橫坐標(biāo)，

由此可以確定出方程f（5）=f（a）的解a的位置，類似可以確定出b，c的位置，最終實現(xiàn)a，b，c大小的比較，如圖1，可得0

評析：在以上解題教學(xué)活動中，學(xué)生經(jīng)歷了“從三個方程的關(guān)系中抽象出a與5、b與4、c與3這三組量與量之間的關(guān)系，將題設(shè)三個方程變形為e55=eaa、e44=ebb、e33=ecc，從中抽象出其蘊含的一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)exx”，進而“選擇運用導(dǎo)數(shù)研究f（x）=exx的圖象特征，設(shè)計出借助f（x）圖象分別確定出a，b，c三者位置的運算程序，通過三個數(shù)在x軸上的位置，最終實現(xiàn)運算結(jié)果的求解”的整個過程，無疑，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展．

2、立意數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“數(shù)”與“形”及它們的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)研究永恒的主題.通過“以數(shù)助形，以形輔數(shù)”有利于分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，強化學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的感知，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，在優(yōu)化解題過程的同時，提升學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例2 （2022年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值.（1）求a；（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

分析：對于問題（1），立意于數(shù)形結(jié)合思想，可以猜測出a的取值為1.當(dāng)然，具體的解題過程還需要進行分類討論求解f（x）與g（x）的最小值，建立方程來完成.對于問題（2），筆者引導(dǎo)學(xué)生畫出兩個函數(shù)的圖象，觀察兩個圖象之間的關(guān)聯(lián).

由于a=1，得函數(shù)f（x）=ex－x和g（x）=x－lnx，借助導(dǎo)數(shù)研究兩個函數(shù)的單調(diào)性，可畫出二者的圖象（由（1）可得兩個函數(shù)的最小值均為1），如圖2.

筆者設(shè)置如下問題引發(fā)學(xué)生進行形與數(shù)轉(zhuǎn)化的思考.

問題 觀察兩個函數(shù)圖象，形的特征是什么？你能否得到相關(guān)的數(shù)的特征？

形的特征1：函數(shù)f（x）=ex－x在（－∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；函數(shù)g（x）=x－lnx在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；f（0）=g（1）=1.

數(shù)的特征1：對于函數(shù)f（x），當(dāng)x>0時，函數(shù)值從最小值1逐漸增大到+∞；對于函數(shù)g（x），當(dāng)0

形的特征2：當(dāng)b=f（x0）=g（x0）時，直線y=b與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）有三個不同的交點.

數(shù)的特征2：只需證明當(dāng)f（x1）=f（x0）=g（x0）=g（x2）時，有x1+x2=2x0即可.

由f（x1）=f（x0）=g（x0）=g（x2）得ex1－x1=ex0－x0=x0－lnx0=x2－lnx2.由ex0－x0=x0－lnx0得ex0+lnx0=2x0；由ex1－x1=x0－lnx0得ex1－ln（ex1）=x0－lnx0，即g（ex1）=g（x0），關(guān)注到ex1，x0∈（0，1），則x0=ex1，或x1=lnx0；由ex0－x0=x2－lnx2得ex0－ln（ex0）=x2－lnx2，即g（ex0）=g（x2），關(guān)注到ex0，x2∈（1，+∞），則x2=ex0.

結(jié)合上述，有x1+x2=lnx0+ex0=2x0，得證x1，x0，x2三者成等差數(shù)列.

評析：在問題（2）的解題教學(xué)活動中，學(xué)生經(jīng)歷了“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）與g（x）的形態(tài)變化與運動規(guī)律，利用圖形描述、分析直線y=b與兩條曲線共有三個不同的交點這一數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索出只需研究f（x1）=f（x0）=g（x0）=g（x2）時，x1+x2=2x0這一解決問題的思路”，進而能夠“從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題：如何利用所得結(jié)果驗證x1+x2=2x0成立”，“收集數(shù)據(jù)得到ex0+lnx0=2x0、g（ex1）=g（x0）、g（ex0）=g（x2），整理數(shù)據(jù)得到x1=lnx0、x2=ex0，提取信息得到x1+x2=lnx0+ex0=2x0”的整個過程，將直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

3、立意化歸與轉(zhuǎn)化思想發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

化歸與轉(zhuǎn)化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行變換，化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的數(shù)學(xué)思想［5］.該思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識萬變不離其宗的特性，讓數(shù)學(xué)問題回歸本質(zhì)，提升學(xué)生問題解決能力的同時，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例3 （2020年新高考山東卷第21題）已知函數(shù)f（x）=aex－1－lnx+lna.（1）當(dāng)a=e時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

分析：對于問題（2），因參數(shù)居于兩個位置，利用分離參數(shù)法無法奏效，利用直接求導(dǎo)法無法求出極值點，從而無法實現(xiàn)對f（x）單調(diào)性的討論.問題（2）比較流行的解法是同構(gòu)法和必要性探路法，但同構(gòu)法要求技巧比較高，筆者在教學(xué)過程中主要引導(dǎo)學(xué)生利用必要性探路法來求解.

在教學(xué)過程中，筆者立意于化歸與轉(zhuǎn)化思想，設(shè)計如下三個問題，引導(dǎo)學(xué)生對整個求解過程進行探究，實現(xiàn)問題由生入熟、由繁至簡的轉(zhuǎn)化.

問題1 本題中，取什么值代入表達式進行探路較為簡潔？（將參數(shù)a的研究范圍從（－∞，+∞）轉(zhuǎn)化為［1，+∞））

探究結(jié)果1：根據(jù)f（x）=aex－1－lnx+lna的表達式的結(jié)構(gòu)特征（指數(shù)對數(shù)并存），故考慮令x=1代入其中.由f（x）≥1得a+lna≥1，由于g（a）=a+lna關(guān)于a單調(diào)遞增，且g（1）=0，由函數(shù)g（a）的圖象特點，可得a≥1.

問題2 探路得到的a≥1，對f（x）≥1的證明能夠起到什么作用？（將含參不等式的驗證轉(zhuǎn)化為無參數(shù)不等式的驗證）

探究結(jié)果2：當(dāng)a≥1，由于aex－1－lnx+lna≥1中ex－1>0，lna的系數(shù)為1，故aex－1≥ex－1，lna≥0，得aex－1－lnx+lna≥ex－1－lnx，從而只需驗證ex－1－lnx≥1成立，達到消參的目的.

問題3 如何證明不等式ex－1－lnx≥1成立？（將指數(shù)、對數(shù)并存的不等式的驗證轉(zhuǎn)化為兩個更為簡潔的不等式的驗證）

探究結(jié)果3：根據(jù)不等式ex－1≥lnx+1左右兩端函數(shù)的圖象特點，兩個圖象被y=x所分隔開，故嘗試驗證ex－1≥x，x≥lnx+1同時成立，問題或能有效求解.

評析：在問題（1）的解決中，學(xué)生經(jīng)歷了“針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)f（x）≥1中存在ex－1及l(fā)nx，為了令得到的關(guān)于a的不等式形式簡潔，可以嘗試令x=1代入.接著運用求導(dǎo)方法對數(shù)據(jù)進行分析和推斷，通過研究g（a）的圖象特征，求得a≥1”，無疑，在這個過程中，學(xué)生的數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

在問題（2）的解決中，學(xué)生經(jīng)歷了“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出基本關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可以利用a≥1實現(xiàn)不等式放縮，得到aex－1≥ex－1、lna≥0，從而將問題轉(zhuǎn)化為驗證ex－1－lnx≥1”，無疑，在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

在問題（3）的解決中，學(xué)生經(jīng)歷了“利用ex－1≥lnx+1兩邊函數(shù)的圖象分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象被y=x所隔開，探索出可以嘗試驗證ex－1≥x及x≥lnx+1同時成立，以達到解決問題的目的”，進而“借助導(dǎo)數(shù)工具，從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出ex－1≥x及x≥lnx+1，最終實現(xiàn)f（x）≥1的證明”，無疑，在這個過程中，學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

4、立意特殊與一般思想發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊，高考命題者常有意設(shè)計一些體現(xiàn)特殊與一般思想的試題，突出體現(xiàn)特殊化方法在解題中的應(yīng)用，如通過特殊值、特殊位置、特殊函數(shù)等來研究解決一般問題、不確定問題、抽象問題等.解題時若能注意到問題的特殊性，則可大幅度降低思維難度和運算量，實現(xiàn)問題的輕松求解，在彰顯解決數(shù)學(xué)問題方法靈活性的同時，提升學(xué)生邏輯思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例4 （2022年新高考Ⅱ卷第8題）若函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），f（1）=1，則∑22k=1f（k）=.

A．－3 B．－2 C．0 D．1

分析：本題的常規(guī)解法需要對f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y）進行適當(dāng)代換，再將代換后的多個等式進行關(guān)聯(lián)，得到函數(shù)f（x）的周期為6，再通過計算前6個函數(shù)值及周期，求得最終的結(jié)果.整個過程較為繁雜，需要學(xué)生有較強的恒等變換能力.關(guān)注到本題是一道單選題，題設(shè)條件具有一般性，但是結(jié)果具有恒定性，立意于特殊與一般思想，可以嘗試將f（x）的解析式特殊化.

在教學(xué)過程中，筆者設(shè)置了如下三個問題，讓學(xué)生經(jīng)歷特殊與一般的認知過程.

問題1 由題設(shè)條件你能確定出函數(shù)f（x）的表達式嗎？

問題2 關(guān)系式“f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y）”你以前是否遇到過，它給你怎樣的啟示？

問題3 你能根據(jù)這種啟示，將問題進行簡潔求解嗎？

通過問題1，引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注題設(shè)條件的一般性和結(jié)果的恒定性，故可立意于特殊與一般思想對問題求解；通過問題2，引領(lǐng)學(xué)生聯(lián)想與f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y）類似的關(guān)系式，嘗試構(gòu)建出f（x）的一個具體表達式.學(xué)生發(fā)現(xiàn)f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y）的結(jié)構(gòu)與2cosxcosy=cos（x+y）+cos（x－y）關(guān)系式結(jié)構(gòu)相似，通過類比，嘗試將f（x）的表達特殊化為某個余弦函數(shù)；通過問題3，引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建出f（x）的一個模型，如令f（x）=Acosωx，根據(jù)題設(shè)條件計算出A=2及ω=π3，得f（x）=2cosπ3x，在此基礎(chǔ)上得到f（x）周期為6，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0，故∑22k=1f（k）=3∑6k=1f（k）+1+（－1）+（－2）+（－1）=－3.

評析：在以上解題教學(xué)活動中，學(xué)生經(jīng)歷了“分析問題，發(fā)現(xiàn)可以嘗試將f（x）的表達式具體化，建立f（x）=Acosωx這一數(shù)學(xué)模型，確定參數(shù)A與ω，計算求解出f（x）的周期及前6個函數(shù)值，最終求得∑22k=1f（k）并結(jié)合排除法解決問題”的過程，無疑，數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

另外，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊試題解題過程中，若能夠合理利用有限與無限的相互轉(zhuǎn)化，則可快速尋得問題解決的突破口，避開抽象復(fù)雜的演算，優(yōu)化解題過程，提升學(xué)生的問題求解能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).限于篇幅，此處不再舉例詳細闡述.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟，核心素養(yǎng)的發(fā)展，并非靠幾道題目的講解，幾節(jié)課的學(xué)習(xí)就能夠?qū)崿F(xiàn)的.這需要長期的時間積累，需要教師們在教學(xué)中要充分發(fā)掘教材中的知識點和典型例子中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，依靠數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)問題求解，讓學(xué)生在“潤物細無聲”中去領(lǐng)悟，并用其作為指導(dǎo)來引領(lǐng)問題的解決［6］，進而逐步內(nèi)化為自身的思維品質(zhì)，促使他們能力的提升，日積月累的積淀，就形成了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻

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