巧用曲線系探索一類斜率比值問題

林景芳　林志敏

題目 （2022年全國甲卷·理20）設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Dp，0，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，MF=3．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β．當(dāng)α－β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．

分析：（1）y2=4x，過程略；（2）求α－β的最大值，關(guān)鍵是解決傾斜角β，α的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為尋找tanα，tanβ即kMN，kAB的關(guān)系.

思路一：設(shè)My214，y1，Ny224，y2，Ay234，y3，By244，y4，直線MN：x=my+1，由x=my+1，

y2=4x聯(lián)立得y2－4my－4=0，Δ>0，y1y2=－4，kMN=y1－y2y214－y224=4y1+y2，kAB=y3－y4y234－y244=4y3+y4，MD：x=x1－2y1·y+2，代入y2=4x，得y2－4x1－2y1·y－8=0，Δ>0，y1y3=－8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1.所以kAB=4y3+y4=42y1+y2=kMN2，即kMNkAB=2.再利用兩角差正切公式及基本不等式求解，過程略.

本題涉及的是直線與拋物線問題，計(jì)算相對(duì)簡單，如果把曲線改為橢圓或雙曲線，計(jì)算量將大大增加，為了更好解決這類問題并加以推廣，本文著重介紹曲線系的解題方法.

思路二：分別設(shè)直線MN，AB，MA，NB的方程分別為x=t1y+1，x=t2y+m，x=t3y+2，x=t4y+2.構(gòu)造二次曲線系（x－t1y－1）（x－t2y－m）+λ（x－t3y－2）（x－t4y－2）=μ（y2－4x），其中λ，μ∈R，分別對(duì)比x2項(xiàng)、xy項(xiàng)、y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，得1+λ=0，

－（t1+t2）－λ（t3+t4）=0，

（mt1+t2）+2λ（t3+t4）=0，

m+4λ=0，解得t2=2t1，即kMNkAB=2.

評(píng)注：本題涉及的是蝴蝶型斜率比值為定值與直線過定點(diǎn)之間的關(guān)系，我們把問題一般化，便于探索其內(nèi)在聯(lián)系.

結(jié)論1 如圖1，設(shè)拋物線Γ：y2=2px（p>0）的弦AB過定點(diǎn)M（m，0）（m>0），過M作拋物線Γ的弦CD（異于AB），若直線AC與x軸交于定點(diǎn)N（n，0）（n≠0），直線AC，BD的斜率存在且非零，則直線BD過定點(diǎn)Lm2n，0，且k1k2=mn.

結(jié)論3 如圖3，設(shè)雙曲線Γ：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的弦AB過定點(diǎn)M（m，0）（m>a），過M作雙曲線Γ的弦CD（異于AB），若直線AC與x軸交于定點(diǎn)N（n，0），直線AC，BD的斜率存在且非零，則直線BD過定點(diǎn)L2ma2－na2－m2na2+m2－2mn，0，且k1k2=a2－m2a2+m2－2mn. 特別地，當(dāng)C、D分別為左、右頂點(diǎn)即n=－a時(shí)，k1k2=a－ma+m.

例1 已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為23，半焦距為c（c>0），且a－c=1，經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為k1（k1≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)R（1，0），延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為k2，求證：k1k2為定值．

析解：（1）易得橢圓方程為x29+y25=1.

（2）由結(jié)論2，a=3，m=1，n=－2，得k1k2=a2－m2a2+m2－2mn=47.例2 橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M在橢圓上，ΔMF1F2的周長為25+4，面積的最大值為2.

（1）求橢圓C的方程；（2）直線y=kx（k>0）與橢圓C交于A，B，連接AF2，BF2并延長交橢圓C于D，E，連接DE，求證直線DE過定點(diǎn)，并探索直線DE的斜率k′與k的關(guān)系.

解析：（1）易得橢圓方程為x25+y2=1.

（2）由結(jié)論2，a=5，m=2，n=0，得2ma2－na2－m2na2+m2－2mn=209，故直線DE過定點(diǎn)209，0.又kk′=a2－m2a2+m2－2mn=19，即k′=9k.

以上從曲線系的解題視角證明并推廣了一類斜率比值及定點(diǎn)問題，它也是解析幾何的熱點(diǎn)問題和常見模型，挖掘其內(nèi)在聯(lián)系并加以推廣，具有重要意義.實(shí)際上，本文得到的三個(gè)結(jié)論，也是蝴蝶定理和坎迪定理在解幾中的一個(gè)具體應(yīng)用.

（本文為2021年泉州市基礎(chǔ)教育教學(xué)改革專項(xiàng)課題《基于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的高中質(zhì)優(yōu)生培養(yǎng)的有效教學(xué)策略研究》（編號(hào)：QJYKT2021-068，主持：林志敏）；《基于質(zhì)優(yōu)生培養(yǎng)有效策略之試題變式教學(xué)研究》（編號(hào)：QJYKT2021-067，主持：黃婉真）的研究成果之一.）