一道拋物線聯(lián)考題的變式與推廣

龍偉

1 試題再現(xiàn)

題目 （2023屆江西省“新八?！备呷蠈W(xué)期第一次聯(lián)考理數(shù)第8題）如圖１，拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，MN⊥y軸于N，若四邊形OCMN的面積等于8，則E的方程為（）.

3 結(jié)論推廣

將上述各變式推廣到一般形式的拋物線，可有下面相應(yīng)的結(jié)論.

結(jié)論1 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，則|AB|+|DH|的最小值為8p.

結(jié)論1的證明仿照變式1的證明過(guò)程.

結(jié)論2 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l2，l2，直線l2，l2與分別交于A、B和D、H，則1|AB|+1|DH|=12p.

結(jié)論2的證明仿照變式1、2的證明過(guò)程.

結(jié)論3 已知拋物E：y2=2px（p＞0）線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l2，l2，直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，則|AB|·|DH|的最小值為16p2.

結(jié)論3的證明仿照變式1、3的證明過(guò)程.

結(jié)論4 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l2，l2，直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，則四邊形ADBH的最小值為8p2.

結(jié)論4的證明仿照變式3的證明過(guò)程.

結(jié)論5 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)作兩條互相垂直的直線l2，l2直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，若AB的中點(diǎn)為M，線段DH的中點(diǎn)為P，則△FMP面積的最小值為p2.

結(jié)論5的證明仿照變式5的證明過(guò)程.

結(jié)論6 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l2，l2，直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，若AB的中點(diǎn)為M，線段DH的中點(diǎn)為P，則直線MP恒過(guò)定點(diǎn)（3p2，0）.

無(wú)論是同步教學(xué)還是在高考復(fù)習(xí)中，要常態(tài)化地指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)一些典型問(wèn)題的探討和拓展，及時(shí)歸納、總結(jié)出一些常用的“二級(jí)結(jié)論”，這對(duì)于學(xué)生解題能力的提高和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是頗有裨益的.