圖解與雙曲線有關(guān)的區(qū)域問題

何威　魏丹

一、問題提出

圓是完美的圖形，學(xué)生容易理解圓的有關(guān)區(qū)域問題，如圓分整個(gè)平面為三個(gè)部分：圓上、圓內(nèi)、圓外；再如從平面內(nèi)一點(diǎn)P做圓的切線的情況：當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，0條；當(dāng)P在圓上時(shí)，1條；當(dāng)P在圓外時(shí)，2條.這一結(jié)論可類比推理，在橢圓、拋物線中得到十分類似的結(jié)論.然而到了雙曲線，情況就復(fù)雜多了，這一部分是學(xué)生理解和識(shí)記的難點(diǎn).相比于圓與橢圓，雙曲線的圖象一方面是由分開的左、右支構(gòu)成的，另一方面雙曲線有漸近線，這些特性使得需要分類討論的情況更多.

為了幫助學(xué)生厘清與雙曲線有關(guān)的區(qū)域問題，筆者在教學(xué)中用圖解的方式，讓學(xué)生從形感知，從數(shù)推理，在知識(shí)之間構(gòu)建整體的聯(lián)系，借助直觀化策略提升學(xué)生的推理與想象能力，加深對(duì)雙曲線區(qū)域問題的理解與記憶.

二、圖解區(qū)域問題

2.1 雙曲線分平面的不同區(qū)域

類比點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系如何刻畫？

問題1 如圖1，已知雙曲線的方程為x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），請(qǐng)觀察A、B、C與雙曲線的位置，試寫出A點(diǎn)滿足的數(shù)量關(guān)系.

事實(shí)上，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y0），則滿足x21a2－y20b2=1，而x0>x1，故x20a2－y20b2>x21a2－y20b2=1.從形到數(shù)的升華，C點(diǎn)也可以類似處理，可得如下結(jié)論：

如圖2，記下列雙曲線的方程為x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），定點(diǎn)P（x0，y0）.雙曲線將整個(gè)平面分為三個(gè)部分：①若點(diǎn)P在雙曲線上，則滿足x20a2－y20b2=1；②若點(diǎn)P在區(qū)域Ⅰ，則滿足x20a2－y20b2>1；③若點(diǎn)P在區(qū)域Ⅱ，則滿足x20a2－y20b2<1.

實(shí)際上，區(qū)域Ⅰ稱之為雙曲線的內(nèi)部，區(qū)域Ⅱ稱之為雙曲線的外部.

2.2 雙曲線中點(diǎn)弦存在的區(qū)域

問題2 中點(diǎn)弦是圓錐曲線中的重要性質(zhì)，雙曲線的中點(diǎn)弦什么時(shí)候存在？

已知雙曲線的方程為x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），雙曲線的一條弦AB的中點(diǎn)為P（x0，y0），通過點(diǎn)差法易得中點(diǎn)弦滿足kAB=b2x0a2y0.

事實(shí)上，設(shè)直線AB：y=k（x－x0）+y0，與雙曲線的方程聯(lián)立得（b2－a2k2）x2－a2（2ky0－2k2x0）x－a2（k2x20－2kx0y0+y20+b2）=0，將kAB=b2x0a2y0代入后，則Δ=4a2b6y20（x20a2－y20b2）（x20a2－y20b2－1）.下面只需討論x20a2－y20b2與x20a2－y20b2－1的符號(hào)即可.從幾何意義上看，這兩個(gè)式子的符號(hào)分別對(duì)應(yīng)為點(diǎn)P（x0，y0）與漸近線、點(diǎn)P（x0，y0）與雙曲線的位置關(guān)系.易得結(jié)論如下：

結(jié)論2 （如圖3）①若點(diǎn)P在雙曲線上，或漸近線上，或在區(qū)域Ⅲ時(shí)，Δ≤0，此時(shí)中點(diǎn)弦不存在.

②若點(diǎn)P在雙曲線的區(qū)域Ⅰ與區(qū)域Ⅱ時(shí)，Δ>0，此時(shí)中點(diǎn)弦存在.

2.3 雙曲線的切線條數(shù)的區(qū)域

問題3 類比直線與橢圓中的研究方法，過一點(diǎn)可作幾條雙曲線的切線？

已知雙曲線的方程為x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），過平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)P（x0，y0），可作幾條切線？下面從數(shù)、形兩個(gè)角度進(jìn)行說明.

事實(shí)上，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線y=k（x－x0）+y0，與雙曲線的方程聯(lián)立得（b2－a2k2）x2－a2（2ky0－2k2x0）x－a2（k2x20－2kx0y0+y20+b2）=0.直線與雙曲線相切應(yīng)滿足b2－a2k2≠0，且Δ=0.其中Δ=（x20－a2）k2－2x0y0k+y20+b2=0（*）.以下先來研究（*）式解的情況，同時(shí)注意結(jié)合斜率不存在時(shí)可能存在切線的情況，結(jié)論如下：

（1）當(dāng)x0=±a，y0=0時(shí)，（*）式無解，此時(shí)還有一條平行于y軸的切線.

（2）當(dāng)x0=±a，y0≠0且y0≠±b時(shí)，（*）式有唯一解，此時(shí)有兩條切線，其中一條平行于y軸.

（3）當(dāng)x0≠±a時(shí)，（*）式的解由Δ1=－4（b2x20－a2y20－a2b2）確定.當(dāng)Δ1<0時(shí)，滿足x20a2－y20b2>1，無切線；Δ1=0時(shí)，滿足x20a2－y20b2=1，有唯一切線；當(dāng)Δ1>0時(shí)，滿足x20a2－y20b2<1，（ⅰ）若b2x20－a2y20=0，且x20+y20≠0時(shí)，方程有一解k=bax或k=－bax，直線與漸近線平行，舍去，此時(shí)只有一條切線;（ⅱ）若x20+y20=0時(shí)，有兩解k=bax和k=－bax，都舍去，此時(shí)無切線.

綜上所述，由定點(diǎn)所確定的切線條數(shù)的區(qū)域如下.

結(jié)論3 （如圖3）①若P在原點(diǎn)O處，或在雙曲線內(nèi)（區(qū)域Ⅰ），可作0條切線;②若P在漸近線上（除O外），或在雙曲線上，可作1條切線;③若P在雙曲線外且不在漸近線上（區(qū)域Ⅱ，Ⅲ），可作2條切線.

2.4 與雙曲線有唯一公共點(diǎn)的區(qū)域

問題4 過點(diǎn)P作與雙曲線有唯一公共點(diǎn)的直線有幾條？

注意到當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，有兩種情況：相交（直線與漸近線平行時(shí)）或相切.在問題3中已經(jīng)研究了切線條數(shù)的情況，只需研究與漸近線平行的相交直線的條數(shù)即可.

當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O處，有0條與漸近線平行的相交直線；當(dāng)點(diǎn)P在漸近線上（除O外），可作1條與漸近線平行的相交直線；當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線上，或在區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，可作2條與漸近線平行的相交直線.

此時(shí)再加上問題3中相切的條數(shù)，歸納得如下情況（如圖3）：

結(jié)論4 ①若P同時(shí)在原點(diǎn)O處，可作0條；

②若點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)（區(qū)域Ⅰ），或在漸近線上（除O外），可作2條;（在雙曲線內(nèi)，此時(shí)兩條均相交；在漸近線上（除O外），一條相切一條相交）.③若點(diǎn)P在雙曲線上，可作3條，一條相切，兩條相交.④若點(diǎn)P在雙曲線外的區(qū)域Ⅱ與區(qū)域Ⅲ，有4條，兩條相切，兩條相交.

三、教學(xué)反思

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，抽象思維的要求越來越高，教學(xué)時(shí)需尊重學(xué)生認(rèn)知思維的發(fā)展規(guī)律，設(shè)置必要的思維梯度.整體看待單元知識(shí)，并對(duì)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組，呈現(xiàn)出環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的邏輯鏈結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)由簡至繁的思維習(xí)慣.例如區(qū)域問題的4個(gè)層次，從最簡單的點(diǎn)與曲線的位置，到中點(diǎn)弦存在區(qū)域、再到切線條數(shù)區(qū)域和唯一公共點(diǎn)區(qū)域，情況逐漸復(fù)雜，邏輯依次遞進(jìn)，加強(qiáng)了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

此外，借助直觀化的方法可適當(dāng)減輕學(xué)生思維的抽象性負(fù)擔(dān)，破解學(xué)生的心理障礙.形象思維是人們發(fā)現(xiàn)、掌握事物本質(zhì)的初始能力，數(shù)學(xué)知識(shí)本身就具有豐富的表象.而高中數(shù)學(xué)的抽象復(fù)雜是很多學(xué)生比較畏懼的，可借助多感官參與，給學(xué)生聯(lián)想、想象的空間，讓形象思維與抽象思維相得益彰.

參考文獻(xiàn)

［1］王木玉，孫圣金，齊玉林.對(duì)雙曲線的一個(gè)特殊區(qū)域的探究［J］.中學(xué)教研，2004（3）：39-41.