利用函數(shù)的凹凸性探究切線問題

代建云

對于一個(gè)函數(shù)而言，切線的本質(zhì)是割線的極限形式.函數(shù)在某點(diǎn)處存在切線的前提是在此處可導(dǎo)，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的唯一性，所以函數(shù)在任意一點(diǎn)處的切線也具有唯一性.而在平面內(nèi)過一點(diǎn)作函數(shù)的切線，在一般情況下卻不止一條.2021年新課標(biāo)1卷第7題就考察了指數(shù)函數(shù)的切線條數(shù)，在此之后，在各地的模擬試題中涌現(xiàn)出了一系列關(guān)于切線條數(shù)的問題.

一、試題及分析

例1 （2021年新課標(biāo)Ⅰ卷第7題）若過點(diǎn)（a，b）可以做曲線y=ex的兩條切線，則（）.

A.eb

C.0

例2 （2022年順德區(qū)青年教師解題比賽第8題）過點(diǎn)P（1，m）（m∈R）有n條直線與函數(shù)f（x）=x·ex圖象相切，當(dāng)n取最大值時(shí)，m的取值范圍為（）.

A.－5e2

C.－1e2

例3 （自編）已知函數(shù)f（x）=x3－x+1，過點(diǎn)A（0，1）作函數(shù)y=f（x）的切線，可做（）條.

A.1 B.2 C.3 D.無數(shù)條

分析：這三道例題都在考察曲線切線的條數(shù)，區(qū)別在于對應(yīng)的函數(shù)不同，所涉及的點(diǎn)與函數(shù)的位置也不相同.那么它們有沒有什么共性呢？經(jīng)過筆者的不斷嘗試，發(fā)現(xiàn)切線的條數(shù)與函數(shù)的凹凸性與漸近線有關(guān)聯(lián).本文將研究過程展示如下，以饗讀者.

二、函數(shù)凹凸性及相關(guān)性質(zhì)

1.函數(shù)凹凸性的定義及判斷方法

設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上有定義，如圖1，若對任意x1，x2∈I且x1≠x2，有f（x1+x22）>f（x1）+f（x2）2，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I內(nèi)為凸函數(shù)；

如圖2，若f（x1+x22）

函數(shù)凹凸性的判斷定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)，若在（a，b）內(nèi)滿足：（1）若f″（x）>0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凹函數(shù)；（2）若f″（x）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凸函數(shù)［1］.

2.與切線相關(guān)的性質(zhì)

引理1 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凹函數(shù)，對任意x0∈（a，b），則有f′（x0）

證明：根據(jù)拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈（x0，b），使得f′（ξ）

引理2 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凹函數(shù)，對任意x0∈（a，b），設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處的切線為lx0，設(shè)直線lx0與函數(shù)y=f（x）在b處的切線lb的交點(diǎn)為A（xA，yA），則有xA

證明：直線lx0的方程為y=f′（x0）（x－x0）+f（x0），直線lb的方程為y=f′（b）（x－b）+f（b）.聯(lián)立兩直線方程可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA=x0f′（x0）+f（b）－bf′（b）－f（x0）f′（x0）－f′（b），根據(jù)引理1可得f（b）－f（x0）>f′（x0）（b－x0），代入上式可得xA

引理3 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凹函數(shù)，對任意x0∈（a，b），設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處的切線為lx0，設(shè)直線lx0與函數(shù)y=f（x）在b處的切線lb的交點(diǎn)為A（xA，yA），則xA的值隨x0的變化而變化.

證明：假設(shè)存在x1∈（a，b），x2∈（a，b）且x1

引理4 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凹函數(shù)，對任意x0∈（a，b），設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處的切線為lx0，設(shè)直線lx0與函數(shù)y=f（x）在a處的切線la的交點(diǎn)為B（xB，yB），則有xB>a，且xB的值隨x0的變化而變化.

證明同上，此略.

現(xiàn)討論切線問題，如圖3，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凹函數(shù)，函數(shù)y=f（x）在a，b處的切線la，lb以及函數(shù)y=f（x）本身將平面區(qū)域分成A，B，C，D，E.設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處的切線為lx0，顯然可知直線lx0不經(jīng)過區(qū)域C和E.

引理5 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凹函數(shù)，對任意x0∈（a，b），設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處的切線為lx0，設(shè)直線lx0與切線la，lb的交點(diǎn)為B（xB，yB），A（xA，yA），則線段AB區(qū)域A中.

證明：設(shè)直線lx0與切線lb的交點(diǎn)為A（xA，yA），因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凹函數(shù)，所以lx0的斜率小于lb的斜率，所以線段AB位于曲線y=f（x）的下方且位于lb的上方；同理可知線段AB位于曲線y=f（x）的下方且位于la的上方，綜上即可得引理成立.

引理6 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上為凹函數(shù)，對任意x1∈（a，b），x2∈（a，b）且x1

證明：結(jié)合上述引理2以及引理5即可得結(jié)論成立，過程略.

由此可得到關(guān)于切線條數(shù)的相關(guān)結(jié)論：

定理1 當(dāng)點(diǎn)M∈區(qū)域C或區(qū)域E時(shí)，過點(diǎn)M作函數(shù)y=f（x）的切線有0條.

定理2 當(dāng)點(diǎn)M∈區(qū)域B或區(qū)域D時(shí)，過點(diǎn)M作函數(shù)y=f（x）的切線有且僅有1條.

證明：假設(shè)在區(qū)域點(diǎn)M∈區(qū)域B或區(qū)域D時(shí)，過點(diǎn)M可作2條函數(shù)y=f（x）的切線.與上述引理6相矛盾.

定理3 當(dāng)點(diǎn)M∈區(qū)域A時(shí)，過點(diǎn)M作函數(shù)y=f（x）的切線有且僅有2條.

證明：如圖4，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的連續(xù)性，當(dāng)點(diǎn)M∈區(qū)域A時(shí)，至少存在一條切線lx0（切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0）.設(shè)該切線與la，lb的交點(diǎn)為P，Q.根據(jù)引理5可知PQ區(qū)域A.

顯然函數(shù)y=f（x）在［x0，b］上也是凹函數(shù)，根據(jù)引理4，存在唯一x3∈（x0，b），使得函數(shù)y=f（x）在x3的切線經(jīng)過點(diǎn)M.

綜上可知，過點(diǎn)M作函數(shù)y=f（x）的切線至少有2條，而在［a，x0）內(nèi)，根據(jù)引理2，在任意一點(diǎn)的切線與lx0的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于x0.綜上可知原命題成立.

當(dāng)函數(shù)為凸函數(shù)時(shí)，可模仿上面的過程得到相關(guān)的結(jié)論，過程略.對于漸進(jìn)性而言，可理解為無窮遠(yuǎn)處的切線.

三、實(shí)例分析

對于例1，已知函數(shù)f（x）=ex為凹函數(shù)，y=0是該函數(shù)的漸近線，利用函數(shù)f（x）=ex與y=0可

將原函數(shù)分成如圖5所示的三個(gè)區(qū)域.利用上述結(jié)論可知，當(dāng)點(diǎn)（a，b）∈區(qū)域A，沒有切線；當(dāng)點(diǎn)（a，b）∈區(qū)域B時(shí)，有2條切線；當(dāng)點(diǎn)（a，b）∈區(qū)域C時(shí)，有1條切線.故選D.

對于例2，對函數(shù)f（x）=x·ex求導(dǎo)可得f′（x）=（x+1）·ex，再次求導(dǎo)可得f″（x）=（x+2）·ex，令f″（x）=0，可得x=－2.

當(dāng)x∈（－∞，－2）時(shí)，函數(shù)f（x）=x·ex為凸函數(shù)；當(dāng)x∈（－2，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）=x·ex為凹函數(shù).過拐點(diǎn)（－2，－2e2）的切線以及漸近線y=0將原函數(shù)分成如圖6所示的七個(gè)區(qū)域.當(dāng)點(diǎn)（a，b）∈區(qū)域C，沒有切線，當(dāng)點(diǎn)（a，b）∈區(qū)域D或區(qū)域G時(shí)，有1條切線，當(dāng)點(diǎn)（a，b）∈區(qū)域B或區(qū)域F時(shí)，有2條切線；當(dāng)點(diǎn)（a，b）∈區(qū)域A或區(qū)域E時(shí)，有3條切線.結(jié)合題意可知點(diǎn)P（1，m）∈區(qū)域E，從而選B.

對于例3，點(diǎn)A（0，1）恰好為函數(shù)y=f（x）的拐點(diǎn)，過該點(diǎn)僅有1條直線與原函數(shù)相切.故選A.

參考文獻(xiàn)

［1］田云江.高中數(shù)學(xué)奧林匹克實(shí)用教程第4冊［M］.：河北大學(xué)出版社.2012.8：2.

［2］龍宇.巧用函數(shù)的“公切線”解題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（5），28-29.