共直角頂點(diǎn)的兩個相似直角三角形結(jié)構(gòu)的拓展及思考

陳磊

摘 要：幾何模型及其二級結(jié)論在中高考中屢次出現(xiàn)．本文通過在七年級期末復(fù)習(xí)時一個壓軸填空的研究，借助幾何畫板探索了共直角頂點(diǎn)的兩個相似直角三角形的結(jié)構(gòu)及其拓展結(jié)論，并在探索過程中分享了一些對幾何模型的教學(xué)思考．

關(guān)鍵詞：幾何模型；相似直角三角形；拓展

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將幾何直觀作為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)眼光”的重要組成部分，在初中數(shù)學(xué)中，幾何直觀不再是一種“行為”，而是“意識與習(xí)慣”，是核心素養(yǎng)的一種具體表現(xiàn)^［1］．而初中數(shù)學(xué)的平面幾何知識正是將幾何直觀的培養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系的重要載體．通過圖形的運(yùn)動感受圖形之間的關(guān)系，從動態(tài)的角度理解圖形．平面幾何是極為重要的構(gòu)成部分，幾何模型是幫助學(xué)生進(jìn)行平面幾何學(xué)習(xí)的有效載體，能促進(jìn)學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的高效化．近年來，幾何模型及其二級結(jié)論在中高考中屢次出現(xiàn)．因此對一些經(jīng)典的幾何模型進(jìn)行積累和教學(xué)是極其重要的．

筆者在七年級期末復(fù)習(xí)階段的復(fù)習(xí)試卷上遇到了一個幾何問題，學(xué)生的作答情況很不理想，因而通過幾何畫板進(jìn)行了相關(guān)的研究并記錄．

1 引子：遇見好題

1.1 題根

如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠FAB=∠GAC=90°，AF=AB，AG=AC，連接FG，交DA的延長線于點(diǎn)E，連接BG，CF（如圖2）.則下列結(jié)論：① BG=CF；② BG⊥CF；③ ∠EAF=∠ABD；④ EF=EG.其中正確的有_____（填序號）.

簡答：結(jié)論①②屬于“手拉手”模型中的常規(guī)題型，由△AFC≌△ABG（SAS）即可證明得到結(jié)論①．結(jié)論②找“8字模型”即可證得．結(jié)論③中∠EAF和∠ABD都是∠BAD的余角，也易得它們相等．結(jié)論④簡證如下：過F作FN⊥DE，垂足為N，過G作GM⊥DE，交DE的延長線于M（如圖3）．在直線DE左側(cè)可證得△FAN≌△ABD（AAS），進(jìn)而得到FN=AD，同理，在直線DE右側(cè)可證得△AMG≌△CDA（AAS），進(jìn)而得到GM=AD，因此FN=GM，這為新的三角形全等提供了條件，即可證得△FEN≌△GEM（AAS），從而順利得到EF=EG，即E為線段FG的中點(diǎn)．故本題正確答案為①②③④．

1.2 學(xué)生作答分析

學(xué)生對結(jié)論①②的掌握還是可以的，但有一部分學(xué)生沒有選③，當(dāng)筆者評講完后學(xué)生又覺得十分簡單，后悔自己沒有看出來，這說明復(fù)雜圖形讓很多學(xué)生產(chǎn)生了困擾，學(xué)生難以從復(fù)雜圖形中抽絲剝繭篩選出需要的條件．幾乎所有學(xué)生對結(jié)論④都有疑惑，一些學(xué)生通過直尺的測量也得到了正確的結(jié)論，不失為解小題目的一種方法．本學(xué)期因教學(xué)進(jìn)度緊張，關(guān)于全等的知識沒有補(bǔ)充詳盡，如本題結(jié)論④出現(xiàn)的聯(lián)想構(gòu)造一線三等角的幾何模型，學(xué)生對此并不敏感，因此出現(xiàn)了沒有找到輔助線導(dǎo)致不會證明的情況，這也在情理之中．筆者在幾何畫板中通過改變條件對這個問題繼續(xù)研究，發(fā)現(xiàn)本模型中還存在著一些很好的結(jié)論．將一個問題擴(kuò)展到一類問題并把它們研究清楚更有利于我們對問題本質(zhì)的認(rèn)識和理解．

1.3 題根的新結(jié)論

求證：△FAG的面積和△ABC的面積相等，即S_△FAG=S_△ABC

2 拓展：圖形深化

在上面的問題中兩個直角三角形是相似的等腰直角三角形，當(dāng)我們把條件改成相似的非等腰直角三角形，在順相似和逆相似兩種情況下，上述四個結(jié)論是否仍然成立？又或者是否有類似的結(jié)論成立呢？

4 思考

4.1 幾何模型的積累是模式識別的前提

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們通過對所積累的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行必要的加工，得出具有長久保存價值的相對固定的題型結(jié)構(gòu)和解題策略，可以成為引領(lǐng)我們進(jìn)行解題分析的基本模式，當(dāng)我們遇到一個新問題時，先辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已經(jīng)解決的問題，檢索相應(yīng)的方法來加以解決^［2］．

模式識別這一解題策略體現(xiàn)了化歸思想，有時遵循化陌生為熟悉的情形，有時遵循將問題分解為若干基本問題后再解決的策略．無論是何種策略，模型積累重要性都是顯而易見的．我們只有在積累了幾何模型之后，才會在遇到新問題時有想法和思路．

4.2 幾何模型需要探索精神

我們上面討論的圖形都是共頂點(diǎn)的兩個相似的直角三角形的結(jié)構(gòu)，如果我們把直角三角形去掉，換成其他的特殊三角形（如等腰三角形、等邊三角形），又會有什么類似的結(jié)論呢？這些都是值得思考的．進(jìn)一步地，如果僅僅是兩個相似的普通三角形又如何呢？其實(shí)宿遷的這個中考題已經(jīng)給了我們答案．在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們需要這種從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，去猜想一些結(jié)論進(jìn)而去求證．

眾所周知，近年以來，一些情境化的問題考查越來越熱門，這些問題往往要求學(xué)生在考場上現(xiàn)場讀懂題意，學(xué)習(xí)新知識，進(jìn)而運(yùn)用到接下來的問題解決中，探索的意味十分濃厚．在培養(yǎng)學(xué)生的探索精神之前，教師應(yīng)在平時的解題中發(fā)揮探索精神，進(jìn)而將探索精神滲透給學(xué)生，逐步培養(yǎng)學(xué)生探索的意識并教會他們探索的方式方法．

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中國教育科學(xué)研究院基礎(chǔ)教育課程教材研究中心．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀［M］．北京：教育科學(xué)出版社，2022：63.

［2］ 王懷學(xué).從一種數(shù)學(xué)模型的探究談模式識別的“立”與“破”［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（5）：1214.