巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

戴國(guó)

摘 要：圓的位置關(guān)系是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，需充分關(guān)注到點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓、圓與其他圖形的位置關(guān)系，在解決位置關(guān)系的問題時(shí)，需充分了解其常規(guī)的位置關(guān)系及其轉(zhuǎn)化方法，以實(shí)現(xiàn)與圓有關(guān)的位置關(guān)系問題的高效解決.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

圓既是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，也是中考的必考內(nèi)容.圓的位置關(guān)系通常涉及到三個(gè)方面，主要有點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系，其充分體現(xiàn)出了數(shù)與形的結(jié)合，因此，在對(duì)圓的位置關(guān)系試題進(jìn)行解題時(shí)，應(yīng)充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，經(jīng)過形象思維和抽象思維的有效結(jié)合，促進(jìn)數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系之間的互換，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題更加簡(jiǎn)單，抽象的數(shù)學(xué)問題更加具體，從而達(dá)到數(shù)學(xué)題優(yōu)化解決的效果.

1 圓的位置關(guān)系概述

設(shè)圓的半徑是r，圓心坐標(biāo)是（a，b），圓心距是d，表達(dá)式是：（x-a）²+（y-b）²＝r².

1.1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外，設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）：

（1） （x₁-a）²+（y₁-b）²＞r²，點(diǎn)P在圓外；

（2） （x₁-a）²+（y₁-b）²＝r²，點(diǎn)P在圓上；

（3） （x₁-a）²+（y₁-b）²＜r²，點(diǎn)P在圓內(nèi)^［1］.

1.2 直線與圓的位置關(guān)系

若直線與圓不存在公共點(diǎn)，則直線與圓相離；若直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與圓相切，這條直線叫切線，公共點(diǎn)叫切點(diǎn)^［2］.

定理：經(jīng)過圓的半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心.

若一條直線與一個(gè)圓存在兩個(gè)公共點(diǎn)，即直線與圓相交，直線稱作是圓的割線，兩個(gè)公共點(diǎn)稱作為交點(diǎn)^［3］.

直線與圓之間的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種.

1.3 圓與圓的位置關(guān)系

平面內(nèi)，兩圓的位置關(guān)系共有五種：外切、內(nèi)切、相交、外離、內(nèi)含；過兩圓圓心的直線，稱作為兩圓連心線，兩圓圓心的距離稱作為圓心距^［4］.

定理：兩圓的連心線是兩圓的對(duì)稱軸，且兩圓相切的時(shí)候，其切點(diǎn)位于連心線上.

設(shè)兩圓的半徑分別為r、R（r＜R），兩圓的圓心距為d.

（1） 兩圓外離：d＞R+r；

（2） 兩圓外切：d＝R+r；

（3） 兩圓相交：|R-r|＜d＜R+r；

（4） 兩圓內(nèi)切：d＝R-r；

（5） 兩圓內(nèi)含：d＜R-r.

兩圓公切線：兩圓的兩條外公切線長(zhǎng)是相等的；兩圓的兩條內(nèi)公切線的長(zhǎng)是相等的^［5］.

2 初中數(shù)學(xué)圓的位置關(guān)系解題策略

2.1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解題

例1 如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM是中線，以點(diǎn)C為圓心，5 cm為半徑作圓，那么A、B、M三點(diǎn)中位于圓外的是________，位于圓上的是________，位于圓內(nèi)的是________.

解析：本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，需判斷A、B、M三點(diǎn)與點(diǎn)C之間的距離和5的大小關(guān)系；根據(jù)勾股定理，求出AB的長(zhǎng)；依據(jù)直角三角形斜邊上的中線具備的性質(zhì)，求CM的長(zhǎng)；并對(duì)比AC、BC、CM和半徑的大小，以確定點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系.

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，∴AB＝AC²+BC²＝25 cm，∵CM是斜邊AB的中線，∴CM＝12AB＝5 cm，∵AC＝2 cm＜5 cm，BC＝4 cm＞5 cm，CM＝5 cm，∴位于圓內(nèi)的是點(diǎn)A；位于圓外的是點(diǎn)B；位于圓上的是點(diǎn)M.

綜上所述，在解決與圓有關(guān)的位置關(guān)系問題時(shí)，需對(duì)圓的位置關(guān)系進(jìn)行總結(jié)，準(zhǔn)確把握位置具備的特性，并與幾何知識(shí)相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)圓的位置關(guān)系問題的高效解決.因此，數(shù)學(xué)教師在圓的位置關(guān)系解題教學(xué)中，需注重?cái)?shù)形結(jié)合，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)變成點(diǎn)線、線線、圓圓的位置關(guān)系，從而使學(xué)生的解題能力實(shí)現(xiàn)有效提高.

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 張英.基于“四能”目標(biāo)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思——以“直線與圓的位置關(guān)系”一課的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（16）：2728.

［4］ 陳建均.基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)日常教學(xué)初探——以“直線與圓的位置關(guān)系”為例［J］.教育界，2021（22）：3435.

［5］ 施學(xué)星.“圓與圓的位置關(guān)系”的課程難度變化及其對(duì)教學(xué)指導(dǎo)的探究［J］.教育教學(xué)論壇，2016（9）：159160.