基于奇異譜分析的BDS 衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)提取

雷 雨，趙丹寧

（1.西安郵電大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，西安 710121；2.寶雞文理學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，寶雞 721016）

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的定位、導(dǎo)航和授時(shí)服務(wù)依賴于準(zhǔn)確的時(shí)間基準(zhǔn)，目前北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（Beidou Navigation Satellite System,BDS）時(shí)間基準(zhǔn)的建立和保持由地面監(jiān)測(cè)站原子鐘通過綜合原子時(shí)算法計(jì)算產(chǎn)生，這種模式過度依賴地面站，一旦地面監(jiān)測(cè)站出現(xiàn)異常，系統(tǒng)時(shí)間基準(zhǔn)就會(huì)不連續(xù)。為保證系統(tǒng)時(shí)間基準(zhǔn)的連續(xù)性和穩(wěn)定性，必須降低對(duì)地面監(jiān)測(cè)站的依賴。隨著BDS 衛(wèi)星數(shù)量與星載鐘性能的不斷提高，利用星載鐘建立和保持星座自主時(shí)間基準(zhǔn)，對(duì)提高系統(tǒng)的生存能力具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[1,2]。

受星載鐘自身因素和太空環(huán)境的影響，衛(wèi)星鐘差序列一般含有趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)[3]，其中，星載鐘受太空環(huán)境影響的主要表現(xiàn)為鐘差的周期波動(dòng)，導(dǎo)致星載鐘在軌性能遜于地面鐘。衛(wèi)星鐘差的周期波動(dòng)不僅和其軌道周期相關(guān)，而且和日食周期、測(cè)量性能等有關(guān)[4,5]。在未扣除衛(wèi)星鐘差的周期波動(dòng)之前，不應(yīng)將星載鐘納入星座自主時(shí)間基準(zhǔn)的建立和保持，以避免將周期波動(dòng)引入系統(tǒng)時(shí)間?，F(xiàn)有的衛(wèi)星鐘差特征分量提取方法有多項(xiàng)式擬合、傅里葉變換、小波變換和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解等，Huang 等構(gòu)建多項(xiàng)式模型擬合提取鐘差周期項(xiàng)，提升了BDS 衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)精度[3]；李驍逸等基于傅里葉變換的頻譜分析方法校正BDS 衛(wèi)星鐘的周期波動(dòng)，校正后BDS 各類星載鐘的萬秒穩(wěn)均得到提高[6]；雷雨等利用小波變換將鐘差序列分解成具有不同頻率特征的信號(hào)分量，并根據(jù)各分量的特征構(gòu)建預(yù)報(bào)模型，改進(jìn)了鐘差預(yù)報(bào)精度[7]；梁益豐等提出以完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解為基礎(chǔ)的鐘差信噪分離方法，并將其應(yīng)用于BDS 衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)識(shí)別，扣除周期項(xiàng)后衛(wèi)星鐘萬秒穩(wěn)獲得提升[8]。上述方法雖然在鐘差特征分量分離和提取方面取得了較好的效果，但均存在一定的局限性。傳統(tǒng)的多項(xiàng)式擬合方法無法提取鐘差序列中的時(shí)變信號(hào)，提取的鐘差趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)不夠準(zhǔn)確；傅立葉變換將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)化到頻率域，以分離信號(hào)中的周期分量，但該方法不適用于非線性、非平穩(wěn)信號(hào)；經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解能將非線性、非平穩(wěn)信號(hào)分解為一系列固有模態(tài)分量，并根據(jù)不同模態(tài)分量的特征識(shí)別周期成分，但這類方法存在端部效應(yīng)和模態(tài)混疊的問題。

奇異譜分析（Singular Spectrum Analysis,SSA）是20 世紀(jì)90 年代興起的一種研究非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的有效方法。根據(jù)所觀測(cè)到的時(shí)間序列構(gòu)造出軌跡矩陣，并對(duì)軌跡矩陣進(jìn)行分解和重構(gòu)，從而提取出代表原時(shí)間序列不同成分的信號(hào)，如長(zhǎng)期趨勢(shì)信號(hào)、周期信號(hào)和噪聲信號(hào)，從而對(duì)時(shí)間序列的波動(dòng)特征進(jìn)行分析[9,10]。SSA 方法提取信號(hào)不需要先驗(yàn)信息，不受正弦波假定的約束，能夠較好地從含噪聲的時(shí)間序列中提取時(shí)變信號(hào)，目前已在GPS 坐標(biāo)時(shí)間序列分析、多路徑效應(yīng)消除、鐘差分析和預(yù)報(bào)[11,12]等方面取得了成功應(yīng)用。其中，肖勝紅等[11]提出SSA 和傅立葉帶通濾波器相結(jié)合的衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)提取方法，有效抑制了重建周期項(xiàng)時(shí)頻率混疊和邊界效應(yīng)；Xue 等[12]利用SSA 分離衛(wèi)星鐘差的趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，提高了鐘差短期預(yù)報(bào)精度。上述研究表明，SSA 可以較好地從復(fù)雜衛(wèi)星鐘差序列中提取趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)信息。

本文在分析衛(wèi)星鐘差特性的基礎(chǔ)上，提出一種基于SSA 的“分解—辨識(shí)—重建”鐘差周期項(xiàng)提取方法。首先應(yīng)用SSA 對(duì)鐘差序列進(jìn)行分解，獲得時(shí)間序列的多個(gè)重構(gòu)成分，然后利用重標(biāo)極差分析（Rescaled Range Analysis,R/S）方法計(jì)算各重構(gòu)成分的Hurst 指數(shù)，最后根據(jù)Hurst 指數(shù)對(duì)各重構(gòu)成分的波動(dòng)特征進(jìn)行辨識(shí)，進(jìn)而完成鐘差趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)的分離和提取。利用BDS 衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)分析和檢驗(yàn)了本文方法的有效性與實(shí)用性。

1 星載原子鐘物理特性

1.1 星載原子鐘物理模型

受星載原子鐘自身因素及空間外界環(huán)境的影響，星載原子鐘信號(hào)不僅存在趨勢(shì)性變化，而且表現(xiàn)出復(fù)雜的周期性波動(dòng)。星載原子鐘模型通?？杀硎緸閇13]：

其中，x(t) 為t時(shí)刻原子鐘相位；x0為原子鐘初始相位；y0為原子鐘鐘速；d為原子鐘頻漂；A、f0和φ分別為原子鐘相位周期分量的振幅、頻率和初始相位；σ1W1(t)和表示兩種起主導(dǎo)作用的原子鐘噪聲，W1(t) 和W2(s) 分別為兩個(gè)獨(dú)立的維納過程，σ1和σ2分別為兩個(gè)維納過程的擴(kuò)散系數(shù)，用來表示兩種原子鐘噪聲強(qiáng)度；σ3ε(t) 為原子鐘測(cè)量噪聲，σ3表示測(cè)量噪聲強(qiáng)度。與趨勢(shì)分量相比，周期分量和隨機(jī)分量的數(shù)量級(jí)較小，但對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響會(huì)逐漸累積。

1.2 各分量對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響

阿倫方差與原子鐘頻漂、相位白噪聲、維納過程的擴(kuò)散系數(shù)、周期分量之間的關(guān)系可表示為[13]：

2 基于SSA 的衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)分析方法

基于SSA 的衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)分析方法主要包括鐘差數(shù)據(jù)預(yù)處理、鐘差分解與重構(gòu)以及鐘差重構(gòu)成分辨識(shí)等過程，圖1 給出衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)分析流程。

已知衛(wèi)星鐘差序列為{x1,x2,…,xN}，鐘差周期項(xiàng)分析的具體步驟為：

1）鐘差數(shù)據(jù)預(yù)處理

運(yùn)用中位數(shù)法檢測(cè)和剔除鐘差序列中的粗差，若鐘差的一次差分?jǐn)?shù)據(jù)Δxi(i=1,2…N-1)滿足式(3)即認(rèn)為Δxi為粗差[14]：

其中，m表示鐘差一次差分序列的中位數(shù)；n表示檢測(cè)閾值，為保證粗差檢測(cè)的準(zhǔn)確性和可靠性，本文取n=6。對(duì)于粗差點(diǎn)，利用線性內(nèi)插法對(duì)其進(jìn)行插補(bǔ)。

2）鐘差序列分解

利用SSA 對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理后的鐘差序列進(jìn)行分解，主要計(jì)算過程為[9,10]：

②對(duì)角平均。計(jì)算時(shí)滯矩陣X在Uj上的投影：

其中，ai,j稱為時(shí)間主成分。根據(jù)時(shí)間正交函數(shù)與時(shí)間主成分進(jìn)行對(duì)角平均，得到鐘差序列的重構(gòu)成分（Reconstructed Component,RC）：

其中，M*=min(M,N-M+1)，K*=max(M,N-M+1)。

③分組。衛(wèi)星鐘差序列中通常包含多種周期性變化、趨勢(shì)性變化和隨機(jī)性變化，利用w-correlation 分析RC 成分之間的相關(guān)性，將信號(hào)特征相似的RC 分組。將不同RC 分別用Z(i)、Z(j)表示，則重構(gòu)分量之間的w-correlation 可表示為[15]：

其中，wk為權(quán)重系數(shù)，其定義為wk=min(k,M,N-k)；ρi,j的絕對(duì)值越接近于1，說明Z(i)、Z(j)兩者之間的相關(guān)性越強(qiáng)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，ρi,j＞0.6即認(rèn)為兩者之間存在相關(guān)性，因此，將RC成分之間相關(guān)性大于0.6 的兩者視為是同一組信號(hào)。

3）RC 成分辨識(shí)

一個(gè)時(shí)間序列在一段時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)如何隨時(shí)間跨度大小而變化往往可以揭示該時(shí)間序列的特性，對(duì)于衛(wèi)星鐘差的趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)，其時(shí)間序列當(dāng)前或過去的取值以遠(yuǎn)超隨機(jī)擾動(dòng)所能達(dá)到的程度影響該序列在未來的取值，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為時(shí)間序列存在長(zhǎng)期記憶性（Long-term Memory）和長(zhǎng)時(shí)間相關(guān)效應(yīng)，而隨機(jī)項(xiàng)的未來值和當(dāng)前或過去的取值相關(guān)性不強(qiáng)，長(zhǎng)期記憶性較弱，屬于均值回復(fù)過程。由英國水利學(xué)家赫爾斯特提出Hurst 指數(shù)是用來衡量時(shí)間序列是否有長(zhǎng)期記憶性的一個(gè)指標(biāo)[16,17]，體現(xiàn)了時(shí)間序列的自相關(guān)性，尤其能夠反映時(shí)間序列中隱藏的長(zhǎng)期趨勢(shì)。本文采用Hurst 指數(shù)H來辨識(shí)RC 成分序列特征，以定性分析鐘差序列中的信號(hào)主導(dǎo)分量和噪聲主導(dǎo)分量。若RC成分的Hurst 指數(shù)0.5＜H＜1，則RC 成分屬于趨勢(shì)分量或周期信號(hào)主導(dǎo)分量，且H越大，規(guī)律性越強(qiáng)；若0＜H≤0 .5，則判定RC 成分為隨機(jī)噪聲主導(dǎo)分量，且H越小，隨機(jī)性越強(qiáng)。

基于R/S 分析法計(jì)算Hurst 指數(shù)的原理為[16,17]：對(duì)于時(shí)間序列{x1,x2…xN}，將其分為C個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的等長(zhǎng)子區(qū)間，L=N/C，則累積離差為：

其中，ec為第c個(gè)子區(qū)間序列的平均值，c=1,2…C。令第c個(gè)子區(qū)間序列的標(biāo)準(zhǔn)差為Sc，則極差Rc為：

定義重標(biāo)極差γL為：

其中，H為Hurst 指數(shù)。對(duì)L和γL進(jìn)行雙對(duì)數(shù)線性回歸擬合，回歸方程的截距就是式(11)中的常數(shù)O，而斜率就是H。

3 算例分析

采用德國地球科學(xué)研究中心（Deutsches Geoforschungs Zentrum,GFZ）提供的BDS 精密衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)（ftp://ftp.gfz-potsdam.de/GNSS/products/mgex），選取鐘差序列連續(xù)性較好的C05、C09、C11、C43 星載鐘，包括GEO（C05）、IGSO（C09）與MEO（C11與C43）軌道類型，銣原子鐘（C05、C09、C11）與氫原子鐘（C43）類型，選擇2022 年7 月29 日至8月11 日共14 天4032 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)采樣間隔為5 min。利用SSA 對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析，重點(diǎn)是確定窗口長(zhǎng)度M，一般1＜M＜N/2且為周期的最小公倍數(shù)。BDS 衛(wèi)星鐘差序列中通常存在6 h、12 h 和24 h的周期[18-20]，因此，選擇窗口長(zhǎng)度M為衛(wèi)星鐘差周期的最小公倍數(shù)，即M=288。

3.1 鐘差序列分解和重建試驗(yàn)

由于篇幅限制，以C05 衛(wèi)星鐘差為例展示鐘差序列分解和重建的過程及效果。衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)經(jīng)SSA 分解獲得288 個(gè)RC 序列，頻率按照RC 階次依次從低到高排列。原始鐘差序列與所有RC 之和的殘差均方根為1.17×10-19s，表明原始鐘差序列與重建序列之差接近0，證明SSA 用于鐘差序列分解和重建是可行的。C05 衛(wèi)星鐘差前20 階RC 成分之間的w-correlation 分析結(jié)果如圖2 所示。根據(jù)SSA 分組原理，當(dāng)RC 之間的相關(guān)系數(shù)大于一定的閾值，則判斷屬于同一周期信號(hào)。若閾值選擇過大，會(huì)導(dǎo)致一些周期信號(hào)被過濾掉，反之則不能較好地排除一些周期性不明顯的RC 成分。經(jīng)實(shí)驗(yàn)，本文選擇相關(guān)性閾值為0.6。從圖2 可以看出，當(dāng)階次大于14 時(shí)，各RC 之間就不能很好地相互分離，說明非周期變化占較大部分。

圖2 前20 階RC 成分的w-correlationFig.2 W-correlation of the first 20 RCs

根據(jù)w-correlation 分析結(jié)果，將ρi,j＞0.6的RC成分合并為同一周期信號(hào)，C05 衛(wèi)星鐘差的分析結(jié)果如圖3 所示。

圖3 C05 衛(wèi)星鐘差序列及其RC1～RC22 序列Fig.3 Time-series of the C05 satellite clock offset and the first twenty-two RCs

從圖3 可以看出，第1 階RC1序列與原始鐘差序列變化趨勢(shì)非常相似，代表衛(wèi)星鐘差趨勢(shì)項(xiàng)；RC2+RC3、RC4+RC5+RC6、RC7+RC8+RC9+RC10、RC11+RC12+RC13合成信號(hào)表現(xiàn)為顯著的周期性變化，代表衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)；第14～22 階RC14～RC22序列表現(xiàn)為不規(guī)則的擬周期性變化，RC22以后的高階RC序列則表現(xiàn)為隨機(jī)性變化，限于篇幅未在圖3 中給出。

為分析RC 序列的波動(dòng)特性，利用R/S 分析法計(jì)算C05 衛(wèi)星鐘差的各階RC 序列的Hurst 指數(shù)，結(jié)果如圖4 所示。

圖4 C05 衛(wèi)星鐘差各RC 序列的Hurst 指數(shù)Fig.4 Hurst exponent of each RC sequence for C05 satellite clock offset

從圖4 可以看到，第1 階RC1序列的Hurst 指數(shù)為0.99，與原始鐘差的Hurst 指數(shù)0.98 幾乎相等，說明RC1序列幾乎不含波動(dòng)分量，可直接作為趨勢(shì)項(xiàng)；第2～13階RC2～RC13序列的Hurst指數(shù)在0.51至0.94之間，且RC4和RC5序列的Hurst 指數(shù)大于RC3，這是由于RC4和RC5的周期性特征比RC3更顯著，RC2～RC13屬于鐘差低頻信號(hào)主導(dǎo)分量；其余RC 序列的Hurst 指數(shù)小于0.5，屬于鐘差高頻不規(guī)則信號(hào)分量。圖4 的Hurst 指數(shù)計(jì)算結(jié)果與圖2 的RC 序列變化特征具有很好的對(duì)應(yīng)性，說明本文鐘差分量辨識(shí)方法具有合理性。

為進(jìn)一步說明本文方法的合理性，利用快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform,FFT）對(duì)C05 衛(wèi)星鐘差的RC 成分進(jìn)行頻譜分析，分析合并信號(hào)的周期性特征，結(jié)果如圖5 所示。從圖5 可以發(fā)現(xiàn)，RC2+RC3、RC4+RC5+RC6、RC7+RC8+RC9+RC10、RC11+RC12+RC13合成信號(hào)的頻譜具有周期性特征，而RC14+RC15+…+RC288合成信號(hào)的頻譜是非周期性，說明RC14以后的高階RC 序列屬于高頻不規(guī)則分量，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文鐘差分量辨識(shí)方法的有效性。

圖5 C05 衛(wèi)星鐘差RC 序列的頻譜Fig.5 Frequency spectrum of the RC sequence of C05 satellite clock offset

將C05 衛(wèi)星鐘差的RC2～RC13序列相加獲得鐘差低頻周期分量，將第14 階RC14以后剩余的RC 序列相加獲得鐘差高頻隨機(jī)分量，其他三顆衛(wèi)星鐘差也作類似處理，結(jié)果如圖6 所示。從圖6 可以看出，C05、C09、C11 和C43 四顆衛(wèi)星鐘差的變化趨勢(shì)均為遞增，表明SSA 方法能準(zhǔn)確地分解和重建衛(wèi)星鐘差序列中的趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，即使近似平穩(wěn)的微小波動(dòng)也能檢測(cè)；衛(wèi)星鐘差呈復(fù)雜的多周期性變化，這是由于衛(wèi)星鐘周期性變化不僅與衛(wèi)星軌道周期相關(guān)，還與日食周期、測(cè)量性能等多種因素有關(guān)，衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)的數(shù)值普遍大于隨機(jī)項(xiàng)，其中，C05 和C09 衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)的數(shù)值在ns 量級(jí)，C11 和C43 衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)的數(shù)值在亞ns 量級(jí)，說明GEO 和IGSO 衛(wèi)星鐘受周期項(xiàng)的影響更大；隨機(jī)項(xiàng)呈不規(guī)則性變化，其中，C43 衛(wèi)星鐘隨機(jī)項(xiàng)的數(shù)值小于其他三顆衛(wèi)星，反映了BDS-3 星載氫鐘的優(yōu)良性能。

圖6 四顆衛(wèi)星鐘差趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)的重建結(jié)果Fig.6 Reconstruction results of the trend term,period term and random term of the four satellite clock offset

3.2 周期分量特性分析

目前常用多項(xiàng)式擬合殘差頻譜分析方法對(duì)BDS衛(wèi)星鐘的周期特性進(jìn)行分析，研究表明衛(wèi)星鐘的主周期與軌道周期耦合[18-20]（通常近似為其衛(wèi)星軌道周期的1 倍或1/2 倍）。為更好地分析BDS 衛(wèi)星鐘的周期特性，利用SSA+FFT 方法對(duì)BDS 衛(wèi)星鐘差序列中存在的周期分量進(jìn)行檢測(cè)，四顆衛(wèi)星鐘差SSA 重建周期項(xiàng)的頻譜分析結(jié)果如圖7 所示。為進(jìn)行對(duì)比分析，二次多項(xiàng)式擬合殘差頻譜分析結(jié)果也在圖7 中給出。

圖7 四顆衛(wèi)星鐘差的頻譜Fig.7 Frequency spectrum of the four satellite clock offset

通過對(duì)比分析衛(wèi)星鐘差重建周期項(xiàng)和擬合殘差的頻譜分析結(jié)果，可以得到如下結(jié)論：

1）多項(xiàng)式擬合方法無法完整地提取衛(wèi)星鐘差趨勢(shì)項(xiàng)，導(dǎo)致頻譜圖中靠近右側(cè)縱軸處出現(xiàn)殘余的趨勢(shì)信號(hào)。擬合殘差中包含的剩余隨機(jī)分量導(dǎo)致靠近左側(cè)縱軸處出現(xiàn)大量不規(guī)則波動(dòng)，而鐘差SSA 重建方法提取的周期信號(hào)低頻處沒有出現(xiàn)不規(guī)則峰值，高頻部分沒有出現(xiàn)異常波動(dòng)，周期分量的頻譜特征明顯，證明SSA重建方法提取的周期信號(hào)不包含趨勢(shì)分量和隨機(jī)分量，周期信號(hào)提取能力優(yōu)于多項(xiàng)式擬合方法。

2）C43 衛(wèi)星鐘差擬合殘差和重建周期項(xiàng)頻譜分析檢測(cè)的周期存在區(qū)別，鐘差擬合殘差頻譜分析檢測(cè)的周期按幅值排序約為12 h、17 h、21 h、8 h、6 h、4.3 h和3.4 h 等，重建周期項(xiàng)頻譜分析檢測(cè)的周期排序約為12 h、17 h、8 h 和21 h。衛(wèi)星鐘差的周期性變化主要由衛(wèi)星運(yùn)行所致，擬合殘差的高頻周期約為主周期12 h 的公約數(shù)，這些高頻周期分量可能是在隨機(jī)分量的干擾下耦合產(chǎn)生的，SSA 信號(hào)重建方法能有效地分離和提取鐘差周期分量和隨機(jī)分量，避免了這種耦合現(xiàn)象。

3）衛(wèi)星鐘周期與其衛(wèi)星軌道周期密切相關(guān)，C05衛(wèi)星鐘周期為24 h 和12 h，約為GEO 衛(wèi)星軌道周期24 h 的1 倍和1/2 倍；C09 衛(wèi)星鐘周期為24 h、16 h和12 h，約為IGSO 衛(wèi)星軌道周期24h 的1 倍、2/3 倍和1/2 倍；C11 和C43 衛(wèi)星鐘周期為24 h、17 h、12 h和8 h，近似為MEO 衛(wèi)星軌道周期12 h 的2 倍、4/3倍、1 倍和2/3 倍。其中，C11 衛(wèi)星鐘差擬合殘差頻譜分析未檢測(cè)到8 h 周期信號(hào)，這是由于鐘差擬合殘差中的高頻不規(guī)則信號(hào)干擾了頻譜分析結(jié)果，周期分量被干擾信號(hào)淹沒，重建周期項(xiàng)頻譜中部分周期信號(hào)的波峰附近也存在多余信號(hào)，這可能由多周期頻譜旁瓣引起，但相比鐘差擬合殘差頻譜有明顯改善；MEO 衛(wèi)星鐘主周期分量的幅值比其他軌道類型的衛(wèi)星鐘低一個(gè)數(shù)量級(jí)，說明MEO 衛(wèi)星鐘受周期項(xiàng)的影響較小。

4）本文方法與多項(xiàng)式擬合方法對(duì)于C05 和C09衛(wèi)星鐘差的周期項(xiàng)分析結(jié)果相同，但對(duì)于C11 和C43衛(wèi)星鐘差的分析結(jié)果卻存在差異。具體而言，C11 和C43 衛(wèi)星鐘差的多項(xiàng)式擬合殘差頻譜不僅受高頻信號(hào)干擾，而且存在殘余趨勢(shì)信號(hào)，這是由于多項(xiàng)式擬合方法僅能提取鐘差序列中的“平均”趨勢(shì)性效應(yīng)，無法反映鐘差信號(hào)的時(shí)變特性，對(duì)于變化復(fù)雜的C11 和C43 衛(wèi)星鐘差（圖6）多項(xiàng)式擬合殘余的趨勢(shì)分量和高頻分量勢(shì)必影響鐘差的頻譜分析結(jié)果。

3.3 頻率穩(wěn)定度分析

為進(jìn)一步檢驗(yàn)本文方法分離和提取衛(wèi)星鐘差周期項(xiàng)的準(zhǔn)確性，分別計(jì)算四顆衛(wèi)星鐘差扣除周期項(xiàng)前后的頻率穩(wěn)定度，定量分析衛(wèi)星鐘周期項(xiàng)對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響。為消除銣鐘和氫鐘頻漂對(duì)頻率穩(wěn)定度分析的影響，同時(shí)提高方差估計(jì)值的置信度，選擇能較好消除頻漂影響的重疊哈達(dá)瑪方差計(jì)算衛(wèi)星鐘的頻率穩(wěn)定度[14]，同時(shí)對(duì)比本文方法和多項(xiàng)式擬合方法的周期性波動(dòng)校正效果，結(jié)果如圖8 所示。從圖8 可以看出，由四顆衛(wèi)星的原始鐘差計(jì)算的重疊哈達(dá)瑪方差曲線均存在不同程度的隆起“鼓包”現(xiàn)象，其中C05 和C09衛(wèi)星鐘差的重疊哈達(dá)瑪方差曲線隆起現(xiàn)象更為明顯。根據(jù)式(2)易知，這種隆起異常程度與周期項(xiàng)大小密切相關(guān)，即周期項(xiàng)越大，隆起越明顯。對(duì)比圖7 中的四顆衛(wèi)星鐘差的頻譜不難發(fā)現(xiàn)，C05 和C09 衛(wèi)星鐘差的周期項(xiàng)幅值大于C11 和C43 的周期項(xiàng)幅值；重疊哈達(dá)瑪方差曲線“鼓包”與重建周期項(xiàng)的重疊哈達(dá)瑪方差曲線的凸起比較吻合，表明SSA 重建鐘差周期項(xiàng)能表征周期項(xiàng)對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響；在扣除鐘差周期項(xiàng)后，各衛(wèi)星鐘在不同取樣時(shí)間內(nèi)頻率穩(wěn)定度均有一定程度的提高。從衛(wèi)星軌道類型而言，C05 GEO 和C09 IGSO衛(wèi)星鐘頻率穩(wěn)定度受周期項(xiàng)的影響最為明顯，峰值約為7.5×10-14，C11 MEO 和C43 MEO 衛(wèi)星鐘頻率穩(wěn)定度受周期項(xiàng)的影響較小，峰值分別約為6×10-14和3.5×10-14；從衛(wèi)星鐘類型而言，BDS-3 星載氫鐘頻率穩(wěn)定度受周期項(xiàng)的影響最小，這與衛(wèi)星鐘周期項(xiàng)幅值大小密切相關(guān)（圖7）。多項(xiàng)式擬合校正方法對(duì)C05和C09 衛(wèi)星鐘差的頻率穩(wěn)定度提高效果較好，但對(duì)C11 和C43 衛(wèi)星鐘差的提高效果有限，結(jié)合圖7 可以發(fā)現(xiàn)，這是由于C05 和C09 衛(wèi)星鐘差的多項(xiàng)式擬合殘差的頻譜受殘余趨勢(shì)信號(hào)的影響較小，而C11 和C41衛(wèi)星鐘差的多項(xiàng)式擬合殘差中則包含較強(qiáng)的殘余趨勢(shì)信號(hào)；相對(duì)于多項(xiàng)式擬合校正方法，無論何種軌道類型和何種星載鐘類型，本文方法扣除周期項(xiàng)后的重疊哈達(dá)瑪方差曲線均有效地削去了原始鐘差穩(wěn)定度曲線的隆起“鼓包”，頻率穩(wěn)定度均得到提高。

圖8 四顆衛(wèi)星鐘差的重疊哈達(dá)瑪方差Fig.8 Overlapping Hadamard variance of the four satellite clock offset

四顆衛(wèi)星鐘差扣除周期項(xiàng)前后的頻率穩(wěn)定度數(shù)值結(jié)果如表1 所示。由表1 可以看到，利用多項(xiàng)式擬合方法扣除周期項(xiàng)后，C05、C09、C11 和C43 衛(wèi)星鐘的萬秒穩(wěn)分別提高6.5%、6.4%、0.7%和2.8%，C11 和C43 衛(wèi)星鐘日穩(wěn)分別提高7.7%和1.9%，扣除周期項(xiàng)后C05 和C09 衛(wèi)星鐘的日穩(wěn)沒有得到改善，平均而言，萬秒穩(wěn)和日穩(wěn)平均分別提升4.1%和2.4%；而利用本文方法扣除周期項(xiàng)后，四顆衛(wèi)星鐘的萬秒穩(wěn)和日穩(wěn)都得到一定的改善，且相對(duì)于多項(xiàng)式擬合方法對(duì)衛(wèi)星鐘的萬秒穩(wěn)和日穩(wěn)的提高效果更為明顯，C05、C09、C11和C43 衛(wèi)星鐘的萬秒穩(wěn)分別提高21.0%、23.1%、17.7%和21.6%，日穩(wěn)分別提高48.8%、54.7%、20.0%和13.1%，萬秒穩(wěn)和日穩(wěn)平均分別提升20.9%和34.1%，其中，C09 IGSO 衛(wèi)星鐘的提高幅度最大，萬秒穩(wěn)和日穩(wěn)分別由4.98×10-14和2.87×10-14提高至3.83×10-14和1.30×10-14，MEO 衛(wèi)星鐘的日穩(wěn)提高幅度較小，這與MEO 衛(wèi)星鐘的主周期（12 h）有關(guān)，但由圖8 可知，MEO 衛(wèi)星鐘頻率穩(wěn)定度提高最明顯的取樣時(shí)間在3～12 h 之間，對(duì)于以MEO 衛(wèi)星為主的BDS-3 系統(tǒng)，這種穩(wěn)定度提高非常有利于星座時(shí)間基準(zhǔn)的建立和保持。

表1 四顆衛(wèi)星鐘的萬秒穩(wěn)和日穩(wěn)Tab.1 Ten thousand second stability and daily stability of four satellite clocks

4 結(jié)論

本文分析了衛(wèi)星鐘周期項(xiàng)對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響，闡述了周期項(xiàng)分離和提取的必要性，提出了融合SSA分解和R/S 分析方法的衛(wèi)星鐘周期項(xiàng)分離和提取方法。利用不同類型的BDS 衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和研究，結(jié)果表明，所提方法能有效地分離衛(wèi)星鐘差序列鐘的趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，所提取的周期項(xiàng)頻譜圖比鐘差擬合殘差頻譜圖更加清晰，周期性特征更為明顯。通過對(duì)比分析扣除周期項(xiàng)前后衛(wèi)星鐘頻率穩(wěn)定度的差異發(fā)現(xiàn)，原始鐘差的頻率穩(wěn)定度曲線存在隆起“鼓包”現(xiàn)象，且與周期項(xiàng)穩(wěn)定度曲線的異常隆起吻合度很高，印證了所提方法的有效性；利用所提方法扣除周期項(xiàng)后，衛(wèi)星鐘的頻率穩(wěn)定度提高顯著，萬秒穩(wěn)和日穩(wěn)平均分別提升20.9%和34.1%，這非常有利于高穩(wěn)定度星座時(shí)間基準(zhǔn)的建立和保持。本文方法不僅可以應(yīng)用于衛(wèi)星鐘周期項(xiàng)提取，而且在原子鐘信號(hào)降噪、鐘差預(yù)報(bào)和時(shí)間尺度算法等方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。