高穩(wěn)晶振短期頻率穩(wěn)定度的仿真分析

賈麗娜 彭慧麗 于德江 楊 科

(北京無(wú)線電計(jì)量測(cè)試研究所，北京 100039)

1 引 言

高穩(wěn)晶振以其優(yōu)異的短穩(wěn)性能在科學(xué)研究中得到越來(lái)越多的應(yīng)用, 對(duì)其短期頻率穩(wěn)定度的研究也越來(lái)越深入。高穩(wěn)晶振在工作中, 輸出頻率受到多種因素的影響, 頻率穩(wěn)定度受到不同程度的惡化。分析研究各個(gè)擾動(dòng)因素及其對(duì)穩(wěn)定度惡化的影響特性, 是高穩(wěn)晶振研究中提高穩(wěn)定度的必要途徑[1]。

針對(duì)晶振老化和溫度特性對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響，研究了不同條件下高穩(wěn)晶振短期頻率穩(wěn)定度的仿真分析方法。在對(duì)時(shí)域頻率穩(wěn)定度進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，建立短期頻率穩(wěn)定度仿真分析模型，并結(jié)合工程實(shí)際引入了晶振老化特性和溫度特性對(duì)頻率穩(wěn)定度影響的數(shù)學(xué)模型。利用此模型，對(duì)不同老化條件和溫度條件下高穩(wěn)晶振的短期頻率穩(wěn)定度進(jìn)行了分析計(jì)算，仿真分析結(jié)果與晶振實(shí)測(cè)結(jié)果較為一致，可為高穩(wěn)晶體振蕩器設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

2 時(shí)域頻率穩(wěn)定度分析方法

頻率穩(wěn)定度表征方法分為時(shí)域和頻域兩種[2]。頻域上通常采用單邊帶相位噪聲描述頻率穩(wěn)定度，時(shí)域上則給出了不同方差來(lái)描述，其中阿倫方差應(yīng)用最為廣泛。

2.1 頻率源信號(hào)數(shù)學(xué)模

頻率源的輸出信號(hào)一般為正弦波信號(hào)，可以將此信號(hào)表示為

V(t)=[V0+ε(t)]sin[2πf0t+φ(t)]

(1)

式中：V0,f0——標(biāo)稱振幅和頻率；ε(t),φ(t)——振幅起伏、相位起伏；t——時(shí)間。

分析頻率源的穩(wěn)定度時(shí)，主要考慮相位起伏φ(t)的影響。相對(duì)頻率偏差可以表示為

(2)

其中，

(3)

式中：y(t)——振蕩器相對(duì)頻率偏差，表征了振蕩器的頻率穩(wěn)定度；x(t)——振蕩器瞬時(shí)相位變化所引起相對(duì)于參考系理想時(shí)間的差，表征了頻率源的時(shí)間穩(wěn)定度。

時(shí)域中頻率穩(wěn)定度的分析，可以通過(guò)對(duì)y(t)和x(t)的處理來(lái)進(jìn)行。

2.2 穩(wěn)定度計(jì)算方法

冪律噪聲譜模型是Lesson給出的經(jīng)典振蕩器噪聲模型，它認(rèn)為相位噪聲是由五種獨(dú)立的噪聲組成，即隨即游走調(diào)頻噪聲、閃變調(diào)頻噪聲、白色調(diào)頻噪聲、閃變調(diào)相噪聲和白色調(diào)相噪聲[3]。其中幾種噪聲并非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，這使得用標(biāo)準(zhǔn)方差描述頻率穩(wěn)定度時(shí)，計(jì)算結(jié)果會(huì)隨著平滑時(shí)間的加長(zhǎng)而發(fā)散，與真實(shí)方差偏離?；谝陨显?，阿倫方差，哈達(dá)瑪方差，總方差等表征方式發(fā)展起來(lái)，在頻率穩(wěn)定度領(lǐng)域逐漸成為主流的表征方式[4]。

對(duì)頻率穩(wěn)定度的計(jì)算主要采用重疊阿倫方差，其計(jì)算公式為[5]

(4)

式中：N——數(shù)據(jù)點(diǎn)的總數(shù)；m——對(duì)應(yīng)平滑時(shí)間的乘數(shù)；τ0——數(shù)據(jù)采樣間隔，即τ=mτ0。

3 短期頻率穩(wěn)定度分析模型構(gòu)建

基于對(duì)頻率穩(wěn)定度計(jì)算過(guò)程的分析，利用Matlab作為仿真平臺(tái)，構(gòu)建了短期頻率穩(wěn)定度的分析模型。同時(shí)為了在后期分析數(shù)據(jù)時(shí)更加便捷，直觀，易于操作，借助Matlab提供的圖形用戶界面(GUI)功能[6]，設(shè)計(jì)了頻率穩(wěn)定度分析系統(tǒng)，系統(tǒng)的分析流程如圖1所示。

圖1 穩(wěn)定度分析流程框圖

(5)

式中：yi——頻率相對(duì)起伏；f0——標(biāo)稱頻率；ti——取樣時(shí)間；τ——取樣間隔；φ——相位值。

在對(duì)頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行前處理去掉偏移以及離群值之后，為了穩(wěn)定度分析計(jì)算更加方便，速度更快，將頻率數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為相位數(shù)據(jù)。設(shè)讀取的離散頻率數(shù)據(jù)為freqdata，其標(biāo)稱頻率為reffreq，計(jì)算相對(duì)頻率偏差為y=(freqdata-reffreq)/reffreq，根據(jù)頻率與相位之間的關(guān)系可以得到

(6)

式中：x——相位數(shù)據(jù)。

對(duì)于離散采樣得到的頻率數(shù)據(jù)，有y[i]=(x[i+1]-x[i])/τ。因此，可以推導(dǎo)相位數(shù)據(jù)為

x[1]=0

x[2]=y[1]

x[3]=y[2]+y[1]

x[4]=y[3]+y[2]+y[1]

………

x[i]=y[i-1]+x[i-1]

(7)

逐個(gè)遞歸之后，x乘以采樣間隔，即x·τ0，得到可以直接代入式(4)中進(jìn)行穩(wěn)定度計(jì)算的相位數(shù)據(jù)x。

本仿真分析模型基于LAG1自相關(guān)法[5]得到不同平滑時(shí)間點(diǎn)的噪聲類型。根據(jù)如圖2所示的不同噪聲類型與其系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系能夠得到噪聲識(shí)別區(qū)間，見(jiàn)表1。計(jì)算噪聲系數(shù)可以得到相應(yīng)平滑時(shí)間點(diǎn)的主要噪聲類型。

圖2 不同噪聲類型相位數(shù)據(jù)示意圖

對(duì)10MHz高穩(wěn)晶振實(shí)測(cè)頻率數(shù)據(jù)利用此分析模型選擇重疊阿倫方差計(jì)算頻率穩(wěn)定度，分析結(jié)果如圖3所示，與實(shí)際短穩(wěn)分析儀給出的結(jié)果一致，能夠驗(yàn)證此分析模型的有效性。

表1 冪律噪聲類型識(shí)別區(qū)間Tab.1 Power law noise type identification interval噪聲類型冪律噪聲系數(shù)α識(shí)別區(qū)間WPM2α≥1.5FPM11.5>α≥0.5WFM00.5>α≥-0.5FFM-1-0.5>α≥-1.5RWFM-2-1.5>α≥-2.5FWFM-3α≤-2.5

圖3 實(shí)測(cè)晶振數(shù)據(jù)穩(wěn)定度分析結(jié)果示意圖

4 老化及溫度特性對(duì)晶振穩(wěn)定度的影響分析

影響晶體振蕩器輸出頻率穩(wěn)定度的因素有多種，如電路噪聲、老化、溫度、振動(dòng)、輻射等?；诟叻€(wěn)定度晶體振蕩器的設(shè)計(jì)，從晶振老化特性以及溫度特性兩方面進(jìn)行研究，建立其對(duì)短期頻率穩(wěn)定度影響的數(shù)學(xué)模型，對(duì)不同條件下的短期頻率穩(wěn)定度進(jìn)行定量分析和計(jì)算。

采用隨機(jī)生成的方法得到一組可以模擬晶振輸出的頻率數(shù)據(jù)，此數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為720 000，采樣周期設(shè)置為0.1s，可以模擬晶振在20h內(nèi)的連續(xù)輸出頻率讀數(shù)。在不加任何影響的情況下從如圖4所示的頻率數(shù)據(jù)波動(dòng)在標(biāo)稱頻率附近，呈正態(tài)分布，穩(wěn)定度曲線符合實(shí)際，認(rèn)為其能夠模擬只含電路噪聲情況下的晶振輸出頻率。

圖4 模擬晶振輸出頻率數(shù)據(jù)的分析結(jié)果示意圖

4.1 晶體諧振器老化特性對(duì)晶振穩(wěn)定度影響的分析

晶體的老化特性會(huì)引起晶振輸出頻率的緩慢漂移[3]。從晶體初始接入電路起，其老化曲線呈現(xiàn)對(duì)數(shù)形式，即前期晶體老化造成頻率漂移幅度較大，而后期逐漸趨于平緩。這種老化過(guò)程一般對(duì)晶振長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度影響較大，但當(dāng)測(cè)試時(shí)間持續(xù)較長(zhǎng)時(shí)，老化特性也會(huì)影響短期頻率穩(wěn)定度。

分析晶振老化特性對(duì)穩(wěn)定度的影響可以通過(guò)建立簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)。假設(shè)經(jīng)過(guò)老化處理后晶振的老化曲線是一條斜率很小的直線，此斜率即老化率。

取日老化率為agingrate=(f-f0)/f0，對(duì)頻率數(shù)據(jù)重新賦值，疊加老化特性的影響為

freqdata(i)=freqdata(i)+agingrate×f0

×τ0×i/86400

(8)

式中：freqdata——頻率數(shù)據(jù)；agingrate——日老化率。

式(8)得到的數(shù)據(jù)即為加上老化特性的晶振輸出頻率。當(dāng)疊加的日老化率分別為1E-11、5E-11、1E-10、5E-10時(shí)，頻率隨時(shí)間的變化如圖5所示，其穩(wěn)定度分析結(jié)果如圖6所示。

圖5 6000s不同老化率下時(shí)間-頻率圖

圖6 不同老化率下穩(wěn)定度分析結(jié)果圖

由圖6可知，老化特性對(duì)晶振穩(wěn)定度的影響隨著平滑時(shí)間變長(zhǎng)而加大。當(dāng)平滑時(shí)間為(1～10)s時(shí)，日老化率在5E-10到1E-11的范圍內(nèi)，對(duì)晶振穩(wěn)定度基本沒(méi)有影響，其穩(wěn)定度均在2E-13以內(nèi)。而當(dāng)平滑時(shí)間為(10～100)s時(shí)，日老化率越大，對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響也越大。如日老化率為5E-10時(shí)，頻率數(shù)據(jù)穩(wěn)定度分析結(jié)果與圖4中的原始值相比，出現(xiàn)了較大偏離，10s穩(wěn)定度從4.94E-14變?yōu)?.42E-14、100s穩(wěn)定度從8.07E-14變?yōu)?.17E-13；日老化率為1E-10時(shí)，100s穩(wěn)定度的整體變化幅度小于3.2E-14；日老化率小于5E-11時(shí)，穩(wěn)定度分析結(jié)果基本沒(méi)有變化，接近圖4中的原始值。

4.2 晶體振蕩器溫度特性對(duì)穩(wěn)定度的影響分析

對(duì)于晶振而言，溫度是影響晶振輸出頻率穩(wěn)定度至關(guān)重要的一個(gè)因素[7]。在恒溫槽及控溫電路的精密設(shè)計(jì)下，晶振的頻率溫度穩(wěn)定度能夠?qū)崿F(xiàn)在寬溫度范圍內(nèi)小于1E-9[8]。但是，由于控溫電路與恒溫槽結(jié)構(gòu)對(duì)于環(huán)境溫度變化的響應(yīng)速度和內(nèi)部控溫特性不同，導(dǎo)致晶振輸出頻率總是會(huì)疊加由于溫度特性引起的周期性波動(dòng)。因此，本文討論了晶體振蕩器溫度特性對(duì)穩(wěn)定度的影響。

結(jié)合晶振溫頻曲線特征，將上述周期性波動(dòng)建模為正弦曲線。設(shè)溫度特性導(dǎo)致頻率相對(duì)變化幅度為T(mén)R，周期為T(mén)(單位s)，對(duì)原始頻率freqdata，重新賦值為

freqdata(i)=freqdata(i)+|TR|

(9)

得到的數(shù)據(jù)即為疊加了晶振溫度特性對(duì)輸出頻率影響的數(shù)據(jù)。對(duì)此讀數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定度分析，可以觀察頻率波動(dòng)周期以及幅度對(duì)晶振短期頻率穩(wěn)定度的影響。

設(shè)定頻率波動(dòng)為5E-11，原始數(shù)據(jù)與波動(dòng)周期分別為300s，900s的時(shí)間-頻率圖如圖7所示。

圖7 頻率波動(dòng)幅度5E-11時(shí)，不同波動(dòng)周期下時(shí)間頻率圖

波動(dòng)幅度分別設(shè)置為1E-12，8E-13，3E-13時(shí)，不同波動(dòng)周期下穩(wěn)定度分析結(jié)果如圖8至圖10所示。由圖8-圖10可知，施加溫度特性的影響后，對(duì)晶振(1～100)s穩(wěn)定度都造成了不同程度的惡化。

圖8 頻率波動(dòng)幅度分別1E-12時(shí)，不同波動(dòng)周期下穩(wěn)定度分析結(jié)果圖

圖9 頻率波動(dòng)幅度分別8E-13時(shí)，不同波動(dòng)周期下穩(wěn)定度分析結(jié)果圖

圖10 頻率波動(dòng)幅度分別3E-13時(shí)，不同波動(dòng)周期下穩(wěn)定度分析結(jié)果圖

當(dāng)固定頻率波動(dòng)周期時(shí)，頻率波動(dòng)幅度越大，對(duì)穩(wěn)定度的影響越大。當(dāng)固定頻率波動(dòng)幅度時(shí)，頻率波動(dòng)周期越小，對(duì)短穩(wěn)的影響越大；且平滑時(shí)間越長(zhǎng)，由溫度特性帶來(lái)的影響越大。例如波動(dòng)幅度為1E-12、波動(dòng)周期為120s時(shí)，10s穩(wěn)定度就已經(jīng)相比原始數(shù)據(jù)惡化6E-14。而當(dāng)波動(dòng)周期為900s時(shí)，100s穩(wěn)定度相比原始數(shù)據(jù)惡化程度僅有3E-14。

4.3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

采用科爾皮斯電路，SC切三次泛音晶體設(shè)計(jì)并制作了10MHz高穩(wěn)晶體振蕩器，不同頻率漂移下的穩(wěn)定度實(shí)測(cè)結(jié)果，如圖11和圖12所示。能夠看到，

圖11 實(shí)測(cè)晶振率漂移8.75E-12/h，穩(wěn)定度分析結(jié)果圖

圖12 實(shí)測(cè)晶振4h頻率漂移1.25E-12/h，穩(wěn)定度分析結(jié)果圖

當(dāng)晶振輸出頻率漂移為8.75E-12/h，測(cè)得的短期頻率穩(wěn)定度分析結(jié)果為7.4E-13@10s，1E-12@100s。當(dāng)晶振輸出頻率漂移為1.25E-12/h，測(cè)得的短期頻率穩(wěn)定度分析結(jié)果為2.5E-13@10s，4.4E-13@100s，實(shí)現(xiàn)高穩(wěn)定度，與本章中分析模型給出的結(jié)論一致。

4.4 短期頻率穩(wěn)定度仿真分析

根據(jù)仿真分析結(jié)果，晶振老化特性和溫度特性對(duì)晶振短期頻率穩(wěn)定度都會(huì)產(chǎn)生不同程度的影響。

晶振老化特性對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響隨著平滑時(shí)間的加長(zhǎng)而增大，且日老化率越大，晶振短期頻率穩(wěn)定度惡化得越多。欲設(shè)計(jì)平滑時(shí)間為(1～100)s，短期頻率穩(wěn)定度小于2E-13的高穩(wěn)定度晶體振蕩器，所采用的晶體諧振器的日老化率需小于5E-11。

晶振溫度特性對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響與頻率波動(dòng)周期和波動(dòng)幅度相關(guān)。頻率波動(dòng)周期一定時(shí)，波動(dòng)幅度越大，晶振短期頻率穩(wěn)定度惡化得越多；波動(dòng)幅度一定時(shí)，波動(dòng)周期越短，短期頻率穩(wěn)定度惡化得越多。當(dāng)頻率波動(dòng)幅度小于3E-13，波動(dòng)周期在(120～900)s時(shí)，對(duì)晶振頻率穩(wěn)定度的影響基本可以忽略，滿足(1～100)s短期頻率穩(wěn)定度小于2E-13的高穩(wěn)晶振的設(shè)計(jì)要求。

本文給出的分析模型和仿真方法，能夠結(jié)合實(shí)際測(cè)試，在分析控溫設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，定量給出分析結(jié)果，相比以往的經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)，更具指導(dǎo)意義。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文深入研究了頻率源輸出頻率穩(wěn)定度的理論基礎(chǔ)，基于Matlab設(shè)計(jì)了短期頻率穩(wěn)定度分析程序。通過(guò)對(duì)比同組數(shù)據(jù)的計(jì)算和實(shí)測(cè)結(jié)果，驗(yàn)證了分析程序計(jì)算結(jié)果的可信度。結(jié)合工程實(shí)際，考慮晶體老化特性與溫頻特性對(duì)晶振穩(wěn)定度的影響，建立了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行不同條件下穩(wěn)定度的仿真分析。實(shí)際設(shè)計(jì)制作了高穩(wěn)晶振，其穩(wěn)定度測(cè)試結(jié)果與仿真結(jié)果較為一致，證明仿真分析的有效性。本文提出的仿真分析方法相較以往的經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)，可以給出更為準(zhǔn)確直觀的數(shù)字結(jié)果，以幫助深入分析晶振產(chǎn)品設(shè)計(jì)過(guò)程中各種因素對(duì)頻率穩(wěn)定度的影響，加速推動(dòng)高穩(wěn)晶振產(chǎn)品的實(shí)現(xiàn)。