廣義(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程的精確解

華 瑞，王振立，孫亮吉

(棗莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

在數(shù)學(xué)、物理、光纖孤子通信以及計(jì)算機(jī)工程技術(shù)等領(lǐng)域中經(jīng)常會涉及到許多非線性現(xiàn)象，這些現(xiàn)象大多可用非線性發(fā)展方程來描述。一直以來，非線性發(fā)展方程的求解問題都是數(shù)學(xué)和物理學(xué)家研究的重要課題之一，特別是研究非線性發(fā)展方程的精確解，其研究成果對解釋許多物理現(xiàn)象及工程應(yīng)用起著重要的指導(dǎo)意義。為了得到非線性發(fā)展方程的精確解，許多有效方法，如經(jīng)典和非經(jīng)典的李群方法[1-6]、雅可比橢圓函數(shù)方法[7-9]、廣義的tanh函數(shù)法[10-11]、廣義的代數(shù)法[12]等已經(jīng)被提出。其中廣義代數(shù)法是最重要的方法之一，本文是利用廣義代數(shù)法考慮廣義(2+1)維Zakharov-Kuznetsov(簡稱ZK)方程[13]的精確解，在文獻(xiàn)[14]中運(yùn)用了擴(kuò)展的(G′/G)方法求得ZK方程的精確解，本文是在此基礎(chǔ)上將精確解進(jìn)一步推廣。

ut+aux+bupux+cuxxx+euxyy=0，p>0

(1)

式中：a、b、c、e是任意非零常數(shù)。當(dāng)p=1時(shí)，方程(1)就化為(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程。20世紀(jì)80年代末，Zakharov和Kuznetsov在描述磁化等離子體德爾演化過程中首次導(dǎo)出該模型，也就是說ZK方程是最早描述非線性離子聲波的模型，ZK方程是著名的KdV方程在二維空間的推廣形式，是應(yīng)用漸進(jìn)多尺度技術(shù)在磁場中發(fā)現(xiàn)的一種磁等離子波，在物理領(lǐng)域內(nèi)有著廣泛的應(yīng)用。

1 廣義代數(shù)法概述

考慮如下偏微分方程

F(u，ux，ut，uxx，uxt，utt，……)=0，

(2)

u(x，t)是未知函數(shù)，F(xiàn)是關(guān)于u及其偏導(dǎo)數(shù)的已知多項(xiàng)式。廣義代數(shù)法的應(yīng)用步驟包括：

第1步，作行波變換。令u(x，t)=u(ξ)，ξ=kx+lt則式(1)就變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于u=u(ξ)的常微分方程，

p(u，ku′，lu″，k2u″，klu″，l2u″，……)=0。

(3)

第2步，假設(shè)式(3)有下述形式的解：

u(ξ)=amφm+am-1φm-1+……+a0，am≠0，

(4)

關(guān)于φ的項(xiàng)共有m+1項(xiàng)，這里的φ滿足：

(5)

由方程(5)可以得到：φ′、φ″、φ?、…的表達(dá)式，平衡式(3)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與最高階非線性項(xiàng)的次數(shù)確定m的值。

第3步，確定超定方程組。把φ′、φ″、φ?、…的表達(dá)式代入到式(3)中，令φ各項(xiàng)的系數(shù)為零，得到關(guān)于ai的代數(shù)方程組P=0。

第4步，確定精確解，求解代數(shù)方程組P=0，得到式(3)的行波解。

2 廣義(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程的精確解

作行波變換，u(x，t)=u(ξ)，其中ξ=x+ky+lt，帶入方程(1)得到

(a+l)u′+bupu′+(c+ek2)u?=0，

(6)

其中：k和l是任意常數(shù)。平衡upu′和u?，得到pn+n+1=n+3，故有n=2/p。

令

(7)

把式(7)帶入方程(6)得

(8)

即

(a+l)p2f2f′+bp2f4f′+(c+ek2)[2(p2+3p-2)f′3-

p(3p-6)ff′f″+p2f2f?]=0。

(9)

顯然，方程(9)是一個(gè)常微分方程，求解方程(9)要比求解方程(1)簡單的多。

在方程(9)中，平衡f2f?和f4f′，得到m=1。假設(shè)方程(9)有如下形式的解

f(ξ)=q1φ(ξ)+q0，q1≠0，

(10)

其中：qi(i=0，1)是需要確定的常數(shù)。φ(ξ)滿足下面的常微分方程

(11)

其中：ε=±1，hj(j=0，1，…，n)是任意常數(shù)。取n=4，由方程(11)得

(12)

由方程(12)得到

φ′2=h0+h1φ+h2φ2+h3φ3+h4φ4，

(13)

(14)

φ?=φ′(h2+3h3φ+6h4φ2)，

(15)

φ′3=φ′(h0+h1φ+h2φ2+h3φ3+h4φ4)。

(16)

把方程(13～16)和方程(10)代入方程(9)得到一個(gè)關(guān)于φ的代數(shù)的代數(shù)方程組，令相同次冪的φ的系數(shù)為0，得到一系列代數(shù)方程組，解得：

其中：p是任意正常數(shù)。h0，h2和h4取不同的值，可以得到方程(9)的大量的解，結(jié)合式(7)可以得到方程(1)解如下：

情況1：有理函數(shù)解

當(dāng)h0=h2=0時(shí)，得到方程(1)的有理函數(shù)解：

情況2：雅可比橢圓函數(shù)解和混合橢圓函數(shù)解

當(dāng)h2=-(1+m2)時(shí)，得到方程(1)的四個(gè)橢圓函數(shù)解：

當(dāng)h2=1-2m2/2時(shí)，得到方程(1)的五個(gè)混合橢圓函數(shù)解：

為了直觀地顯示精確解的性質(zhì)，繪出有理函數(shù)解的參數(shù)值分別為h4=1、c=a=b=e=k=1、t=0和雅可比橢圓函數(shù)解的參數(shù)值分別為h0=0、h4=1/4、c=a=b=e=k=1、t=0的三維空間波形圖，如圖1、2所示。

圖1 有理函數(shù)解的波形圖

圖2 雅可比橢圓函數(shù)解的波形圖

情況3：扭結(jié)解

情況4：奇異解

當(dāng)h0=0、h2>0、h4>0時(shí)，得到方程(1)的一個(gè)奇異解：

為了直觀地顯示精確解的性質(zhì)，給出了扭結(jié)解的參數(shù)值分別為h2=-1、h4=1、c=a=b=e=k=1、t=0和奇異解的參數(shù)值分別為h2=h4=c=a=b=e=k=1、t=0的三維空間波形圖，如圖3、4所示。

圖3 扭結(jié)解的波形圖

圖4 奇異解的波形圖

情況5：三角函數(shù)解

當(dāng)h0=0、h2<0、h4>0時(shí)，得到方程(1)的兩個(gè)三角函數(shù)解：

為了直觀地顯示精確解的性質(zhì)，繪出了三角函數(shù)解的參數(shù)值分別為h2=-4、h4=1、c=a=b=e=k=1、t=0的三維空間波形圖，如圖5所示。

圖5 三角函數(shù)解的波形圖

注：解u1～u6在文獻(xiàn)[14～16]中均有出現(xiàn)；但是u7～u15都是新的精確解，是前面求的解u1～u6的推廣；

3 結(jié)論

本文利用廣義代數(shù)法，研究廣義(2+1)維Zakharov-Kuznetsov方程，得到了該方程的新的精確解，這些解包括有理函數(shù)解、雅可比橢圓函數(shù)解、混合橢圓函數(shù)解、扭結(jié)解、奇異解、三角函數(shù)解等。通過繪出精確解三維空間波形圖更能直觀地了解該精確解的性質(zhì)，這些精確解對解釋復(fù)雜的物理現(xiàn)象(含有冷離子和熱等溫電子的磁化等離子體中的平面波的傳播)有重要的作用，同時(shí)廣義代數(shù)法也適用于其它類型的非線性發(fā)展方程，對于求解變系數(shù)方程也有較好的應(yīng)用。