19世紀上半葉法國數(shù)學創(chuàng)新的特征研究
——數(shù)學物理的發(fā)展

王曉斐

(中國科學院 自然科學史研究所，北京 100190)

0 引言

挪威數(shù)學家阿貝爾(Niels Henrik Abel，1802—1829)1826年到訪當時最活躍的科學中心——巴黎，希望與法國的數(shù)學家交流，最后卻悻悻而歸，因為此時他在代數(shù)方程以及橢圓函數(shù)這些純粹數(shù)學上的研究沒有引起法國數(shù)學家的興趣。在被很多數(shù)學史家引用過的他的一封信中，阿貝爾對巴黎的數(shù)學家給出了這樣的描述：“柯西是唯一關注純粹數(shù)學的人，泊松、傅里葉、安培和其他人都投入在對磁和其他物理問題的研究中”[1]。的確，從19世紀初開始的20 a中，在拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace，1749—1827)的影響下，法國新一代的數(shù)學家以泊松(Siméon Denis Poisson，1781—1840)為代表，他們通過對聲音、光、彈性等物理現(xiàn)象進行新的考察，拓展了分析學特別是對偏微分方程的性質和解以及積分的研究，這使得分析學對物理及天文的應用得到了優(yōu)先的關注。甚至早期拉普拉斯的挑戰(zhàn)者傅里葉(Joseph Fourier，1768—1830)和后者的擁護者也投入到對更多的物理現(xiàn)象，如熱、電、磁等的本質及規(guī)律的觀察和研究中。在這一過程中，分析學不斷將新的物理觀察和問題納入研究范疇，得到了廣泛的應用和自身的發(fā)展，從而建立起了數(shù)學物理這一分析學的應用分支。它的發(fā)展在19世紀上半葉獨領風騷。另外一方面，物理學也開始被數(shù)學化和精密化，逐步從質性研究走向嚴格分析領域。到19世紀末，所有的物理理論基本都由數(shù)學的術語表示出來[2]。

1822年后傅里葉成為法國科學院的終身秘書，他對數(shù)學物理，特別是熱的研究的鼓勵使多數(shù)數(shù)學家關注和進入這一方向。通過翻閱1820年至1835年的《科學院會議記錄》(Procès verbaux des séances de l' Académie des sciences)以及1835年后出版的《科學院會議周報》(Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences)，考察各年科學院提出的數(shù)學獎勵問題以及科學院收到和評審的論文，對這期間法國主流數(shù)學界關注的研究領域有一個細致的了解，并由此窺見這一時期法國數(shù)學研究的特征。

1 1820至1840年的巴黎科學院數(shù)學獎

至少從16世紀開始，數(shù)學問題因數(shù)學家之間的相互挑戰(zhàn)被提出。這一傳統(tǒng)在18世紀被歐洲的不同的科學院所繼承。各個科學院所提出的問題代表了當時重要數(shù)學家關注的研究領域，同時也指示出這一時期有潛力的研究方向。如數(shù)學史家格雷(Jeremy Gray)所認為的“將公眾的注意力吸引到一些關鍵問題上，并為解決它們的人提供豐厚的回報，這是影響研究方向的一個機會”。或者按另一位數(shù)學史家哈乃克(Adolf Harnack)的話，“獎項的爭奪構成了不同的科學逐年增長的一個杠桿，并且是科學的普遍化和統(tǒng)一化的重要因素”[3]。至19世紀，盡管在獎勵問題的提出和評審中出現(xiàn)了更多復雜性，如其中存在針對候選人的研究領域設置問題，或是評審人亦參與獎項爭奪的情況，但獎勵問題仍是受到歐洲特別是年輕數(shù)學家的關注，并為他們指引研究的方向。

法國科學院每間隔一年公布一次數(shù)學獎勵問題。并且數(shù)學獎在科學院所有的科學獎中是最高的金獎，這顯示了數(shù)學獎的重要性。在1820年，科學院未設置具體的數(shù)學獎問題。根據(jù)科學院1822年4月的公開會議記錄，從1820—1822年收到的多個數(shù)學物理研究引起了科學院的興趣，包括有關橢球體表面流體的運動規(guī)律的論文，以及對雙折射、光的極化和固體震動的實驗研究，最終1822年的數(shù)學獎頒給了一項關于磁針上的電流活動的研究。評審委員會認為這項發(fā)現(xiàn)“為應用數(shù)學提供了一個新的原理，并且展示了分析學的一些有意義的應用”[4]。從科學院1820至1823年的記錄也可以看到關于電磁的分析學研究以及實驗是這一時期的熱點。安培(André-Marie Ampère，1775—1836)作為多個論文評審委員會的成員，向科學院呈現(xiàn)了多個電磁研究的報告。在一份報告中，安培與傅里葉和蓋·呂薩克(Joseph Louis Gay-Lussac，1778—1850)組成的委員會建議將一篇關于電磁現(xiàn)象的論文發(fā)表在科學院刊物上，并得出結論：“論文作者發(fā)展了微積分應用于電動力學現(xiàn)象的方法以及有用的結果。”“那些對科學的進步和微積分的應用感興趣的、并且希望用精確的結果代替物理學中的模糊的理論的人，將樂于比較作者用到的那些方法并欣賞那些能夠解決困難的方式?！盵4]這里表明委員會所強調的該論文突出的兩點貢獻：一是拓展了微積分對物理學的應用，二是因為對數(shù)學公式的應用使得精確的結論取代了模糊的理論。

1822年提出的數(shù)學獎問題是關于液體的壓縮以及由此產(chǎn)生的熱，評選結果將在1824年給出。在此，科學院評選委員會還特別指出熱的理論是應用數(shù)學中最引人入勝的題目之一[4]。之前的一些數(shù)學獎已評選出一些對熱理論不斷深入的研究，此次獎勵針對的問題仍是為了繼續(xù)完善這一理論。但由于科學院未得到滿意的結果，因此決定將該數(shù)學獎延續(xù)至1826年評選出結果，之后又推至1827年[5]。這也可以看出數(shù)學獎評委會在持續(xù)5 a的時間中對解決該問題的期待和對應用數(shù)學的重視。最終該獎頒給了來自日內瓦的物理學家克拉東(Jean-Daniel Colladon，1802—1893)和數(shù)學家斯圖姆(Charles Sturm，1803—1855)。他們針對不同液體在不同壓強下的密度以及壓縮后能夠產(chǎn)生的熱量設計了儀器和實驗，此外還給出了相關的數(shù)學理論。由此可以看出這一時期數(shù)學研究對物理理論和觀察的緊密關注。在該報告的末尾評審委員會引用了拉普拉斯《天體力學》中的一句銘文：“如果精確的觀察可以產(chǎn)生理論，理論的推力反過來也將刺激精確的觀察”[5]。此處可以看出拉普拉斯的影響力的延伸，也說明對不同物理現(xiàn)象給出精確的實驗和觀察并得出相應理論——即數(shù)學方法——是這一時期的研究目標。

1828年，科學院的數(shù)學大獎沒有提出具體針對的問題，但評審委員會一致認為該獎將頒給1828—1830年出現(xiàn)的最重要的數(shù)學應用研究，包括對物理學和天文學的應用，或者重要的純粹分析研究。根據(jù)記錄，科學院也希望能增加研究的多樣性，因此選擇了這一更寬泛的方向[6]。該獎最終共同頒給了年輕的德國數(shù)學家雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi，1804—1851)和一年前去世的挪威數(shù)學家阿貝爾[6]。他們在橢圓積分上的研究受到了法國數(shù)學家勒讓德(Andrien-Marie Legendre，1752—1833)的贊揚和力薦。數(shù)學史家達東(René Taton)認為這一定程度上是對早逝的阿貝爾1826年提交給巴黎科學院的重要論文被忽視的一個彌補[7]。1832年的數(shù)學獎同樣沒有設置具體的問題，而是面向所有的分析學的重要發(fā)現(xiàn)以及對天文或物理的新的應用[8]。1834年該獎公布的評選結果為斯圖姆在代數(shù)方程的根的個數(shù)上的新發(fā)現(xiàn)[8]。

1835年提出的數(shù)學獎勵問題是關于水的阻力，獎項將在1836年頒發(fā)?？茖W院認為這一問題的重要性值得再次受到實驗學者們和數(shù)學家的關注[9]。事實上，這一問題作為數(shù)學獎問題已經(jīng)被提出過兩次，但均未取得令科學院評委會滿意的結果。再一次，科學院在1836年宣布這一問題仍未被解決，考慮到這一問題的難度以及所涉及知識過于廣泛，為了獲得理論上和實驗上的完美結論，評委會建議將這一問題繼續(xù)作為1838年將頒發(fā)的數(shù)學獎問題[10]。最終在1839年，評委會決定將這一獎項共同頒發(fā)給批歐博爾(Guillaume Piobert，1793—1871)、莫寒(Arthur Morin，1795—1880)和迪迪昂(Isidore Didion，1798—1878)3位軍事工程師，并認為他們所進行的多個實驗中蘊含著實際的用途。但令評審們遺憾的是這些研究沒有對所看到現(xiàn)象的物理性質獲得深入的理解[11]。這或許暗示的是應該將這些物理性質進行數(shù)學上的表示和理論上的推進。由此也可以看出法國數(shù)學家們對物理問題的緊密關注以及對由物理問題引發(fā)數(shù)學上的發(fā)現(xiàn)的期待。

1839年提出的將于下一年即1840年頒發(fā)的數(shù)學獎問題是關于行星的擾動理論，具體聚焦在如何將行星的擾動增量表示為新發(fā)現(xiàn)的一類周期函數(shù)——不同于三角函數(shù)的周期函數(shù)的級數(shù)形式，如此通過這一類新的周期函數(shù)的已有數(shù)據(jù)，可以確定行星在任何時候的位置。根據(jù)評委會的說明，這一問題的提出是為了引起數(shù)學家對解決天體力學主要問題的新方法的關注[11]。

盡管科學院在1830年和1834年的兩個數(shù)學獎頒發(fā)給了純分析和代數(shù)方程研究，但從更長的時段看，從1820—1840年的數(shù)學獎問題多數(shù)是針對應用數(shù)學，特別是對物理學的應用研究。這是從拉普拉斯開始，被傅里葉、泊松、安培等多數(shù)重要數(shù)學家熱切關注的領域。他們對新一代法國數(shù)學家研究取向的影響是顯著的。下文中通過剖析以劉維爾(Joseph Liouville，1809—1882)為代表的年輕一代的數(shù)學家的研究經(jīng)歷，以說明他們的研究如何受到19世紀初法國的數(shù)學家培養(yǎng)和職業(yè)化體制的形塑，以及這些因素對沿襲正統(tǒng)的創(chuàng)新的鼓勵和對之外的創(chuàng)新的忽視。

2 年輕數(shù)學家的培養(yǎng)和職業(yè)道路

19世紀初，數(shù)學家職業(yè)化剛剛開始，18世紀末建立的巴黎綜合理工學院培養(yǎng)了一批重要的法國數(shù)學家，他們或成為數(shù)學教師或成為工程師，構成了19世紀法國數(shù)學發(fā)展的重要力量[12]。

2.1 數(shù)學家的“必經(jīng)之路”

如同19世紀上半葉的大多數(shù)數(shù)學家一樣，劉維爾1825年通過入學考試進入巴黎綜合理工學院學習，兩年后畢業(yè)進入應用院校學習更多工程師專業(yè)的課程和實踐。劉維爾所進入的橋梁道路學院是當時多數(shù)優(yōu)異的綜合理工畢業(yè)生的選擇。在這里，學生每年必須進行工程實習，即被派往法國的各個地區(qū)作為實習工程師在核心工程師的帶領下熟悉工程建設的相關知識和操作。但劉維爾對成為工程師似乎沒有興趣。在進入巴黎橋梁道路學院時，劉維爾也許已經(jīng)決心進入數(shù)學研究的道路，這很可能是與他在巴黎綜合理工學院的學習有關。

從巴黎綜合理工學院建立時便鼓勵最優(yōu)異的學生展開獨立的科學研究。在劉維爾進入巴黎橋梁和道路學院時，已經(jīng)開始自己研習那些經(jīng)典的或者說當時被認為重要的數(shù)學著作。根據(jù)劉維爾的傳記，劉維爾在這一時期的筆記顯示了他的一張學習書單，其中包括拉普拉斯的《概率論》、勒讓德的《數(shù)論》、泊松關于熱理論的研究，拉格朗日的《分析力學》、拉普拉斯的《天體力學》、蒙日和龐斯勒的幾何學論著、傅里葉的《熱的解析理論》和勒讓德的《積分練習》[13]。從這一書單可以了解到在19世紀初，這些是一個有志成為數(shù)學家或是對數(shù)學有熱情的年輕人應該去研究的重要的數(shù)學著作。劉維爾的前輩數(shù)學家柯西(Augustin Louis Cauchy，1789—1857)，同樣從巴黎綜合理工學院畢業(yè)之后進入橋梁道路學院，并在此期間開始獨立的數(shù)學研究，常利用空閑時間研究拉格朗日和拉普拉斯的著作[14]。此外，劉維爾較早就開始關注不同的科學期刊，包括歐洲各科學院的論文集，巴黎綜合理工學院的院刊和通訊以及最早發(fā)行的數(shù)學專業(yè)期刊《純粹與應用數(shù)學年刊》(也稱作《熱爾崗年刊》)，并從這些期刊中了解最新和最重要的研究。

劉維爾在巴黎綜合理工學院學習期間，柯西和安培分別是該校兩個不同年級的分析課教師。安培負責劉維爾所在的年級。他為劉維爾走上數(shù)學研究提供了很重要的幫助。1826年至1827年，除了理工學院的課程，劉維爾還參加了安培在法蘭西學院開設的數(shù)學物理前沿講座。在這一講座上，安培教授了他本人關于電動力學的最新理論，并指導劉維爾開始了應用數(shù)學的研究。在劉維爾關于數(shù)學物理講座的筆記中，安培做了很多修改意見[13]。劉維爾最早發(fā)表的一篇文章是對電力定理的一個證明，此時他還沒有從橋梁道路學院畢業(yè)?？傊诎屠杈C合理工學院時期的學習為劉維爾走上數(shù)學研究的道路奠定了很好的基礎。

從1830年起，為了追求科學事業(yè)，劉維爾堅持留在巴黎，因為他認識到要進行科學研究，留在巴黎是必要的[15]。從19世紀初開始至這一時期，巴黎無疑是歐洲數(shù)學的中心，聚集了法國最重要的數(shù)學家以及各地前來學習的年輕人。從1827年開始，也就是劉維爾剛從巴黎綜合理工學院畢業(yè)時，他便定期與一些年輕數(shù)學家和物理學家聚在一起討論問題[16]。這些人大多數(shù)是巴黎綜合理工學院的畢業(yè)生，也有少數(shù)歐洲其他國家的年輕人，包括后期劉維爾的重要合作者——日內瓦數(shù)學家斯圖姆和德國數(shù)學家迪利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805—1859)。巴黎是科學家聚集的中心，在劉維爾看來留在巴黎是進入科學研究領域的必要途徑。他因此拒絕了橋梁與道路學院給他的外派任務，成了一名“自由”科學家。這也說明劉維爾要成為數(shù)學家的決心。我們不清楚從何時起他有了這樣的想法，但他在巴黎綜合理工學院的訓練以及像柯西這樣的巴黎綜合理工學院畢業(yè)生的經(jīng)歷應該給了他信心。在這一時期為了維持在巴黎的生活，劉維爾兼任了巴黎綜合理工學院的助教(répétiteur)和一所中學及一所職業(yè)學校的數(shù)學教職。這是從19世紀早期開始很多科學家維持生活的慣常方式，即做兼職(cumul)。對不成名的年輕數(shù)學家，如此不僅薪水微薄也很難保證數(shù)學研究的時間。因此，尋求一個穩(wěn)固職位甚至擁有科學院院士的頭銜是每個留在巴黎的年輕科學家追求的目標。

為此，他們需要自己的研究被更多科學家特別是重要人物了解，最有效的方式便是向科學院投稿，特別是針對科學院各年提出的獎勵問題給出解決方法?？梢哉f，這是19世紀上半葉法國數(shù)學家的職業(yè)必經(jīng)之路：首先進入巴黎綜合理工學院，之后進入應用院校，同時開始獨立研究并向科學院投稿以在科學界嶄露頭角，從而留在巴黎獲得高等教育和科學機構的穩(wěn)定職位。在這個過程中，年輕一代的數(shù)學家的研究方向即受到其教育環(huán)境還有科學院這樣的高等研究機構特別是有名望的數(shù)學家在研究方向上的引導。如前文中科學院公布的數(shù)學獎也吸引著眾多年輕數(shù)學家在獎勵問題上投入努力。

2.2 “保護人”的支持和影響

從劉維爾早年關注的方向和所發(fā)表論文的相關領域可以看出1830—1840年法國的數(shù)學家關注的重要問題，以及一個年輕數(shù)學家如何受到其所處的時期的影響。劉維爾最早發(fā)表的論文是受到他在綜合理工學院的老師安培的影響，對他更大的影響和支持來自泊松?？挛饕苍艿嚼绽购筒此傻谋Ｗo和支持。作為拉普拉斯之后最具影響力的數(shù)學家以及科學院的成員，泊松對柯西早期的多個研究都有所指導。在柯西的一些研究上，泊松給出細致的點評并提出要求。另外，泊松通過在科學院的會議上宣讀對柯西的研究報告并給出積極評價，使得后者的工作被熟知并在爭奪科學院提名時取得有利的條件。這的確使年輕的柯西位列前途光明的數(shù)學家之中。但即使如此，柯西也在幾次競爭中失利。這并非是對柯西才華的否認，他以優(yōu)異的成績畢業(yè)于巴黎綜合理工學院，在剛畢業(yè)時發(fā)表的關于多面體的研究曾得到勒讓德的贊賞。但根據(jù)數(shù)學史家白魯諾(Bruno Belhoste)的說明，法國大革命之后，在1795至1800年期間，多個科學機構得到重建以及新的高等教育機構成立，為當時的年輕一代科學家泊松、畢奧(Jean-Baptiste Biot(21 avril 1774，Paris-3 février 1862)和安培等提供了快速獲得重要職位的機會，從下一代的柯西，菲涅爾(Augustin-Jean Fresnel，1788—1827)和納維耶(Claude-Louis Navier，1785—1836)開始，通向那些職位的道路變得窄而擁擠。他認為這可能是法國科學在幾年之后相對衰退的一個原因[14]。

因而從19世紀的第一個十年以后，一個有才華的年輕數(shù)學家也需要得到很大的支持才能快速使自己的研究發(fā)表和獲得認可。如此，從18世紀開始法國知識人(Savants)中盛行的“保護人”(patron)在19世紀仍在延續(xù)。達朗貝爾曾是拉普拉斯的支持者和保護人，而后拉普拉斯支持和影響了一批年輕數(shù)學家，其中包括泊松。有地位的科學家給予后輩科學家的支持不僅在競爭重要職位時發(fā)揮影響，而且在后者的研究方向上起著引導性的作用。這種“保護人”直到二戰(zhàn)前仍具有不可忽視的影響。事實上，的確如數(shù)學史家吉斯拜爾(Hélène Gispert)說明，這些“保護人”塑造了一個時期的研究興趣和風格，因而在這一時期的創(chuàng)新研究上烙下他們的印記[17]。

在1839年劉維爾成功被選為科學院天文學部的成員之前，他所關注的無論是熱理論還是天體力學的研究，很大程度上受到拉普拉斯著作的影響和泊松的具體引導。從1830年劉維爾開始了他研究的活躍時期。在1832年左右，沿襲拉普拉斯物理學的思想，劉維爾研究了微觀分子之間的相互作用。這是從19世紀初開始數(shù)學家普遍關注的問題。在對電的基本粒子的研究中，劉維爾受到安培的影響將此問題歸為積分方程解的問題。同時，在他的研究中，他發(fā)現(xiàn)這些積分方程能夠轉化為分數(shù)次的微分方程，從而將微分算子推廣到了任意次。但這一研究結果未能受到科學院的重視。之后，他向科學院投遞了另一篇關于代數(shù)函數(shù)的積分式的研究，這也是一個在拉普拉斯的《概率論》中處理的一個問題，這可能引起了泊松的興趣。對待劉維爾的這項研究，科學院評審小組成員之一的泊松給出了一個積極的評價，并在科學院的例會上宣讀了他的評審報告。劉維爾的研究因此得以在科學院的官方刊物上發(fā)表。此后，劉維爾根據(jù)泊松的建議繼續(xù)對此研究[13]。

泊松也曾對劉維爾提出研究同質的二維面上的熱傳導問題，劉維爾因此在1830至1834年不斷嘗試攻克這一問題，并在1834年向科學院提交了他關于這一問題在一些特例上的研究結果，得到了泊松毫無保留的稱贊。劉維爾的傳記作者如此說明這一研究在當時的重要性：“盡管這一研究從歷史上看不如劉維爾在分數(shù)階微積分和代數(shù)函數(shù)積分式上的研究，但它在當時得到了更高的評價，因為它是一個傳統(tǒng)的領域，這意味著(同代的科學家)對這一領域中什么是重要的、有難度的、正確的和巧妙的是有共識的”[13]。同時，這也意味著對一些新出現(xiàn)的方法或結論則是難評價的。由此我們看到一個時期的研究傳統(tǒng)對年輕數(shù)學家的影響，這也導致在正統(tǒng)之外的創(chuàng)新研究幾乎不會立即被接受。這其中既有“保護人”的影響，也與不同時期數(shù)學實踐堅持的標準和模式相關。如前文中1820至1840年的科學院數(shù)學獎所反映的，數(shù)學物理及應用研究是被重視和鼓勵的方向。在這樣的背景下，受到當時典型教育的一代自然被引向這些領域。

在1820至1840年，大革命前或大革命期間受到教育的一代主導著科學高等機構，為數(shù)不少的年輕數(shù)學家如劉維爾一樣渴望證明自己的才華并取得認可。阿貝爾與伽羅瓦(Evarist Galois，1811—1832)也是其中的兩位，他們過于短暫的生命更加凸顯了他們的才華。如數(shù)學史家埃哈赫(Caroline Erhardt)所說明的，與伽羅瓦同輩的劉維爾以及斯圖姆早期提交給科學院的論文也都被忽略或者被拒絕，才轉而選擇將論文發(fā)表在其他科學期刊。這樣的情況在當時并不少見，很多提交給科學院的論文都沒有得到內部的任何回應。但同時，埃哈赫也強調這與19世紀早期流行的數(shù)學實踐以及思考模式也是相關的。伽羅瓦的方法并非當時數(shù)學正統(tǒng)的代表，他的教育經(jīng)歷也并不是典型的，這可能導致他的論述不符合“標準”的方式，因而未得到科學院指派的論文審閱人泊松和拉克魯瓦的理解。而且方程論是已經(jīng)“過時”的研究方向，不受當時數(shù)學家青睞[18]。因此，伽羅瓦的例子從另一方面也說明了19世紀上半葉法國數(shù)學界的研究傾向和“官方”科學家對數(shù)學研究方向的主導。

3 結論

通過著重對1820至1840年科學院數(shù)學獎問題的分析，可以看到在這一時期法國數(shù)學研究傾向數(shù)學物理研究的特點。這延續(xù)了18世紀末開始的拉普拉斯倡導的數(shù)學化物理學的方向。這是19世紀上半葉法國數(shù)學發(fā)展的重要背景和特征。通過設置和公布數(shù)學獎問題，法國數(shù)學界向整個歐洲的有志向的年輕數(shù)學家指示了待探索的方向。在大革命后法國數(shù)學家的培養(yǎng)方式和職業(yè)化道路趨于一致，年輕一代的數(shù)學家所處時代的特點也在他們的數(shù)學研究經(jīng)歷中留下了印記。劉維爾在早期職業(yè)道路上的經(jīng)歷向我們展示了其數(shù)學研究的方向如何受到這一時期主流的數(shù)學興趣和風格的影響。