基于垂蕩運動波浪能發(fā)電PTO系統阻尼研究

平 力，尚勁光，陳茂祥，凌云鳳，劉眉潔

（青島大學物理科學學院，山東 青島 266071）

0 引言

在當前社會背景下，人類社會對于可再生能源的需求愈來愈強［1］，海洋面積約占地球面積的71%，海洋中能開發(fā)利用的可再生能源也多種多樣［2-4］。近年來，隨著海洋能開發(fā)技術不斷完善，國內外推出了大量政策鼓勵社會全面推廣使用海洋能源［5-8］。波浪能作為海洋中一種主要的清潔能源，蘊藏量大，可再生能力強，具有較好的開發(fā)前景［9-10］。但由于波浪能的不穩(wěn)定性［11］，開發(fā)合適的波浪能裝置，提高系統的能量轉換率，是波浪能最大化利用的關鍵所在。

為解決該問題，有學者提出利用振蕩浮子式波浪發(fā)電分段控制策略，以發(fā)電效率為基礎，結合低速和高速2 種發(fā)電模式，優(yōu)化發(fā)電量，但該策略下的發(fā)電功率不穩(wěn)定，發(fā)電效率低下，無法持續(xù)供電［12-13］；還有學者提出一種可應用于多浮子波浪能發(fā)電裝置的液壓發(fā)電系統［14］，采用蓄能器穩(wěn)壓控制策略，但是實際工作海域的波浪幅度不穩(wěn)定，蓄能器的選型比較困難，并且成本高，不適合全面推廣。

綜合考慮發(fā)電總量、發(fā)電效率、系統穩(wěn)定性、系統成本等因素，針對波浪能裝置的垂蕩運動情況建立合理的模型，并對模型進行精確求解。該模型可以適應不同的海洋場景，具有普適性，并且成本低，具有一定的推廣價值。

1 波浪能裝置

波浪能裝置主要由浮子、振子、中軸以及能量輸出（power take off，PTO）系統構成［15］，其中PTO 系統由彈簧和阻尼器組成，其模型如圖1所示。

圖1 波浪能裝置Fig.1 Wave energy device

圖1 中，波浪能裝置中軸底座固定于隔層的中心位置，彈簧和直線阻尼器一端固定在振子上，一端固定在中軸底座上，振子沿中軸做往復運動。直線阻尼器的阻尼力與浮子和振子的相對速度成正比，比例系數為阻尼系數。

在實際中，阻尼系數會直接影響系統的工作效率，而阻尼系數不是定值，其值與材料、結構、阻尼模型有關［16］。阻尼系數增大，則直線阻尼器的輸出阻抗逐漸小于額定負載阻抗，輸出阻抗直接影響系統的低頻特性。輸出阻抗減小，則輸出的平均功率不斷增大。當增大到一定峰值時，系統轉向低頻工作，則直線阻尼器的阻尼系數繼續(xù)增大，影響到工作效率，使輸出的平均功率小幅度下滑。

選取兩種特定情況下的阻尼系數，即常數PTO阻尼系數和線性PTO 阻尼系數進行研究。該裝置在波浪的沖擊下，浮子運動帶動振子運動，兩者的相對運動會驅使阻尼器做功并輸出能量。波浪能的基本形式是微幅波，因此浮子在線性周期微幅波作用下會受到波浪激勵力、附加質量力、輻射阻尼力和靜水恢復力［17］，由于海水的黏度和旋轉特性、裝置內部的摩擦力等因素對能量轉化影響較小，在研究中忽略不計。

2 垂蕩運動模型

垂蕩運動是指浮子在波浪作用下做垂直往復運動。對浮子及振子進行受力分析，得到整個系統中各部件的受力情況如圖2所示。

圖2 垂蕩運動系統受力分析Fig.2 Force analysis of vertical motion system

以浮子在靜水中的平衡狀態(tài)x0為零點，浮子的相對位移為x，振子的相對位移為z，浮子的相對速度為，振子的相對速度為，以沿水平面向上為正方向，得到各個力的表達式。

2.1 波浪激勵力

波浪激勵力，即波浪荷載，由波浪水質點與波浪能裝置的相對運動所引起，是波浪對放置在海洋中的波浪能裝置產生的推動力。波浪是一種隨機性運動，浮子做垂蕩運動時，波浪激勵力為

式中：A為波浪激勵力振幅；ω為波浪頻率；t為波浪運動的時間。

2.2 附加質量力

波浪能裝置在海水中做垂蕩運動時，會引起裝置周圍的流體運動，因此要使裝置在海水中獲得一定的加速度，施加在裝置上的力等于裝置質量與此加速度的乘積和帶動裝置周圍海水運動所需額外力的總和。而該額外力會對應產生一個虛擬質量，稱為附加質量［18］，將此附加質量設為m0，得到附加質量力為

式中：g為重力加速度。

2.3 輻射阻尼力

波浪能裝置在海水中作垂蕩運動時，會帶動周圍水體流動，而周圍水體流動會對波浪能裝置的垂蕩運動產生一定的阻力作用。此力與垂蕩運動的速度成正比，方向相反，比例系數為輻射阻尼系數α，得到輻射阻尼力為

2.4 彈簧彈力

當振子沿中軸做往復運動時，彈簧會給振子趨向平衡位置的彈力，根據胡克定律，彈簧給振子的彈力表達式為

式中：k為彈簧的彈性系數；Δx為彈簧的伸長量。

2.5 靜水恢復力

靜水恢復力是指為浮子做垂蕩運動時使浮子回到平衡位置的作用力，與垂蕩運動過程中的浮力變化有關。靜水恢復力為

式中：Ff為浮子在水中受到的浮力；m1和m2分別為浮子和振子的質量。

2.6 直線阻尼力

在該波浪能裝置中，PTO 系統會將浮子在垂蕩運動中克服阻尼力所做的功轉化為電能。采用線性阻尼模型分析直線阻尼器的阻尼力。直線阻尼器的阻尼力與浮子和振子的相對速度成正比，其比例系數即阻尼系數為β，則直線阻尼力為

2.7 浮子與振子的運動模型

振子受力包括彈簧彈力、重力、直線阻尼力，以垂直向上為正方向，振子在波浪作用下受力情況為

浮子受力包括波浪激勵力、靜水恢復力、輻射阻尼力、彈簧彈力、直線阻尼力、附加質量力。因此，得出浮子和振子整個系統在海洋中的受力情況為

進一步可得振子和整個系統的運動微分方程為

3 模型的求解

3.1 初始狀態(tài)求解

模型各參數值如表1所示。

表1 模型參數Table 1 Model parameter values

在初始時刻，浮子和振子在靜水中保持平衡。在平衡狀態(tài)下，浮子的浸水深度大于浮子圓錐部分的高度，則浮子圓錐部分全部浸入水體中，多余的部分為圓柱浸入的體積。求得初始時刻系統的浸水深度為2.8 m，將此時水平面作為零點x0，則平衡時彈簧長度為0.202 m，振子底部與水平面相距1.798 m。

3.2 常數PTO阻尼系數

海洋波浪是在深海區(qū)由風和潮汐力共同作用的結果，潮汐力分為太陽潮汐力和月球潮汐力［19］，由于太陽對于潮汐力貢獻較小，在此忽略不計。所以海波的速度基本與風速和月球引力極大值點在地表的移動速度相同。查閱文獻［20］可知，一般海上風速的變化范圍為10～200 m/s。

式中：ν為深水波頻率；V為深水波波速；λ為深水波波長。由此推出頻率變化范圍為0.01～1 Hz。

本文波浪頻率選取0.714 Hz。當阻尼器的阻尼系數為常量10 000 N·s/m 時，利用MATLAB 軟件中ODE45 函數求解2.7 節(jié)建立的運動模型，得到浮子和振子垂蕩位移、速度與時間的關系圖像，如圖3所示。

圖3 常數PTO阻尼系數垂蕩運動Fig.3 Constant PTO damping coefficient vertical motion

由圖3 可知，當直線阻尼器采用常數阻尼系數時，浮子和振子的位移、速度趨勢線吻合度較高，但位移和速度峰值均出現忽大忽小的情況，變化幅度較大；約60 s 后，整個系統處于穩(wěn)定狀態(tài)，位移和速度均呈周期性變化且振幅近似不變，可近似為簡諧運動。系統穩(wěn)定后，浮子和振子的位移、速度趨勢線相似性較高。

3.3 線性PTO阻尼系數

當直線阻尼器采用線性PTO 阻尼系數時，取比例系數為10 000，冪指數為0.5，由此得到阻尼系數的表達式為

將式（11）代入式（9），利用ODE45 函數進行求解，得到此阻尼系數下浮子和振子垂蕩位移、速度與時間的關系如圖4 所示。

由圖4 可知，當直線阻尼器采用線性阻尼系數時，浮子和振子的運動曲線幾乎重合。浮子系統開始運動時浮子與振子的位移和速度振幅不穩(wěn)定且無固定周期；約60 s 后，浮子和振子的運動近似呈現為簡諧振動，有固定的振幅和周期。

3.4 阻尼系數對發(fā)電穩(wěn)定性的影響

對比3.2 節(jié)和3.3 節(jié)計算結果可知，采用線性PTO 阻尼時，浮子和振子的垂蕩運動在前60 s 內更不穩(wěn)定，位移和速度幅值變化范圍更大。經過60 s，系統穩(wěn)定后，兩種阻尼系數下，浮子和振子均近似為簡諧運動狀態(tài)。但當采用線性阻尼系數時，浮子與振子運動周期更短，運動頻率更高，且幅值更大。波浪能轉換裝置的發(fā)電穩(wěn)定性是指裝置預熱后的發(fā)電穩(wěn)定性［21］，系統開啟后的前60 s 可看作裝置的預熱時間。綜合對比可知，當直線阻尼器采用線性阻尼系數時，系統的發(fā)電穩(wěn)定性更好。

3.5 阻尼系數對功率的影響

在波浪的作用下，浮子與振子的相對運動會驅動阻尼器做功，并能將所做的功作為能量輸出。功率的表達式為

由3.2節(jié)和3.3節(jié)分析可知，系統穩(wěn)定后，浮子和振子的運動可以近似看作是簡諧振動。則系統平均輸出功率為

3.5.1 常數PTO阻尼對功率的影響

直線阻尼器采用常數阻尼時，聯立運動模型以及平均輸出功率表達式，利用變步長搜索法，繪制出平均輸出功率隨阻尼系數變化曲線，如圖5所示。

圖5 常數PTO阻尼下平均輸出功率曲線Fig.5 Average output power curve at constant PTO damping

由圖5 可知，隨著阻尼系數的增加，平均輸出功率呈現出上升趨勢且增長速度較快；當阻尼系數達到2.93×104N·s/m 時，增長較為緩慢且圖像斜率近似為零；而在阻尼系數達到3.79×104N·s/m時，平均輸出功率呈現下降趨勢，但下降的速度較為緩慢。平均輸出功率最大時對應的阻尼系數范圍為30 000～40 000 N·s/m。縮小阻尼系數區(qū)間后，利用變步長搜索法進行精確求解，最終求得最大平均輸出功率為124.20 W，對應的阻尼系數為37 940 N·s/m。

將該阻尼系數代入式（13），繪制出每時刻對應的輸出功率如圖6所示。

圖6 最優(yōu)常數阻尼系數下的輸出功率Fig.6 Output power at optimal constant damping coefficient

3.5.2 線性PTO阻尼對功率的影響

直線阻尼器采用線性阻尼時，得到阻尼系數的表達式為

式中：a為比例系數，a∈［0，100 000］；b為冪指數，b∈［0，1］。

將式（14）代入式（9）與式（13），利用變步長搜索法繪制出平均輸出功率隨a與b的變化曲線，如圖7所示。

圖7 線性PTO阻尼下平均輸出功率曲線Fig.7 Average output power curve at linear PTO damping

由圖7 可知，隨著兩個參數的增加，平均輸出功率呈現出大幅度上升，而后上升速度減慢并逐漸趨于0，最后緩慢下降的趨勢。縮小兩個參數取值區(qū)間后，利用變步長搜索法進行精確求解，最終求得最大平均輸出功率為124.22 W，對應的比例系數a和冪指數b分別為97 000和0.4。

將這兩個參數代入式（13），求解最優(yōu)阻尼系數為46 025 N·s/m，并繪制出每時刻對應的輸出功率如圖8所示。

4 結束語

建立波浪能發(fā)電裝置模型，采用ODE45 函數求解數值解，研究了該裝置在海洋中做垂蕩運動的發(fā)電性能。在此基礎上，進一步求解該裝置的最優(yōu)阻尼系數和最大發(fā)電功率，研究了該波浪能裝置的最優(yōu)工作參數，并采用變步長搜索法進行積分。通過代入實際數值對模型進行驗證發(fā)現，該模型與實際情況擬合較好。因此，所建立的模型具有一定的可行性和研究價值。