基于動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)的光晶格超冷原子量子模擬*

譚輝 曹睿 李永強(qiáng)2)?

1) (國(guó)防科技大學(xué)理學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

2) (國(guó)防科技大學(xué),極端條件物理與應(yīng)用湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙 410073)

隨著原子冷卻技術(shù)與光晶格技術(shù)的發(fā)展,光晶格與超冷原子氣體組成的量子系統(tǒng)已經(jīng)成為量子模擬中的有力工具.光晶格純凈和高度可控的性質(zhì)賦予其強(qiáng)大的調(diào)控能力,如今,人們可以模擬更復(fù)雜和有趣的物理現(xiàn)象,從而加深對(duì)量子多體物理的認(rèn)識(shí).本文綜述了近年來(lái)本課題組利用玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論對(duì)強(qiáng)關(guān)聯(lián)區(qū)間的光晶格玻色體系進(jìn)行的一系列研究,包括多組分玻色體系、高軌道玻色體系以及存在長(zhǎng)程相互作用的體系等.通過(guò)玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論的計(jì)算,揭示了從弱相互作用區(qū)間到強(qiáng)相互作用區(qū)間出現(xiàn)的豐富物理現(xiàn)象,包括不同磁序的量子相、多步凝聚、超固體相以及高軌道體系中的自旋-角動(dòng)量耦合和阻挫效應(yīng).

1 引言

量子模擬簡(jiǎn)而言之就是利用其他可控的量子多體系統(tǒng)對(duì)真實(shí)復(fù)雜量子系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或理論研究的一種方法[1].光晶格中的超冷原子氣體由于系統(tǒng)參數(shù)可控和成熟的實(shí)驗(yàn)技術(shù),已經(jīng)成為了一個(gè)完善的量子模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)[2,3].光晶格通常是由相干激光束形成的,通過(guò)控制激光的數(shù)目和角度來(lái)實(shí)現(xiàn)不同維度[4-6]和不同結(jié)構(gòu)[7-11]的周期性晶格結(jié)構(gòu),從而模擬固體中的晶格.在光晶格中,人們可以自由調(diào)節(jié)晶格深度[6],可以研究晶格無(wú)序性,還可以設(shè)計(jì)出有等效磁場(chǎng)的系統(tǒng),其磁場(chǎng)強(qiáng)度可以達(dá)到目前固體物理實(shí)驗(yàn)室中最大磁場(chǎng)的數(shù)百倍[12].除此之外,人們可以精確控制激光的相對(duì)相位,實(shí)現(xiàn)可編程的連續(xù)可調(diào)晶格系統(tǒng),這些實(shí)驗(yàn)技術(shù)大大拓展了光晶格的調(diào)控和模擬能力[13,14].中性原子在激光的交變電場(chǎng)中被極化,從而受到偶極力被陷俘在這樣的周期性光晶格中[15].根據(jù)激光波長(zhǎng)的不同,光晶格中的原子被陷俘在波結(jié)或波腹,這種相干激光束產(chǎn)生的周期性晶格勢(shì)會(huì)產(chǎn)生一系列布洛赫能帶.一般而言,原子在轉(zhuǎn)移到光學(xué)晶格之前就被冷卻到了足夠低的溫度,因此在絕熱地裝載在光晶格后只有最低的布洛赫帶被填充,當(dāng)晶格勢(shì)足夠深時(shí),該體系可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的單能帶緊束縛模型描述[16],該模型主要包含原子在格點(diǎn)上的相互作用以及在格點(diǎn)間的躍遷振幅,通過(guò)調(diào)節(jié)晶格深度或者通過(guò)費(fèi)什巴赫(Feshbach)共振[17-19]改變躍遷振幅與原子間相互作用的比值大小可以觀察到豐富的量子相.

1995 年,玻色-愛(ài)因斯坦凝聚首次在實(shí)驗(yàn)中被觀察到[20,21],六年后Greiner 研究組[6]成功將原子裝載在光晶格中并觀察到了著名的莫特絕緣相,莫特絕緣相是一個(gè)典型的強(qiáng)關(guān)聯(lián)相,由于原子間的相互作用非常強(qiáng),原子局域在各個(gè)格點(diǎn)上,每個(gè)格點(diǎn)上的粒子數(shù)都是整數(shù).這一想法最開(kāi)始來(lái)自Jaksch和他的同事[22],他們提出光晶格中的原子可以模擬固體材料中的電子行為,并模擬哈伯德模型.在Greiner 等的實(shí)驗(yàn)之后,利用光晶格中的超冷原子進(jìn)行量子模擬的實(shí)驗(yàn)和理論研究如雨后春筍般大量涌現(xiàn).基于光晶格中超冷原子的量子模擬也成為了現(xiàn)代物理中不可或缺的一部分[23-31].

隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展,人們開(kāi)始對(duì)自旋玻色體系進(jìn)行研究[32],這里的自旋可以是原子不同的超精細(xì)態(tài),也可以是不同種類(lèi)的原子.在這樣的體系中,自旋關(guān)聯(lián)起著重要作用,并且會(huì)帶來(lái)不同于標(biāo)量玻色子體系的物理現(xiàn)象.在最近的實(shí)驗(yàn)中,旋量超冷玻色體系已經(jīng)被實(shí)現(xiàn)了[33-37],并出現(xiàn)了非常廣泛的研究,如自旋混合[38,39]、自旋波[40,41]、自旋動(dòng)力學(xué)[42-46]、自旋圖案[47-49]以及相變[50-52].這些實(shí)驗(yàn)為研究自旋關(guān)聯(lián)凝聚體中的量子現(xiàn)象提供了新的路徑,也激起了對(duì)光晶格中旋量玻色氣體的進(jìn)一步研究[53-58].此外,研究表明: 在外加磁場(chǎng)下,體系基態(tài)的簡(jiǎn)并被打破,自旋相互作用與原子間短程相互作用的競(jìng)爭(zhēng)會(huì)引起豐富的強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子相[31,32,59,60].

除了原子間的短程相互作用,長(zhǎng)程相互作用也是強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的一個(gè)重要組成部分,具有長(zhǎng)程相互作用的體系傾向于形成新的量子相[61].長(zhǎng)程相互作用通常出現(xiàn)在材料科學(xué)中,并與短程相互作用競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致空間調(diào)制相的出現(xiàn)[62].在光晶格超冷原子體系中有兩種方式可以帶來(lái)長(zhǎng)程相互作用: 一是利用超冷原子間的偶極力[61];二是將原子與高精細(xì)腔耦合,腔場(chǎng)自洽地將所有原子耦合在一起,可以等效地認(rèn)為原子間具有長(zhǎng)程相互作用[63-66].偶極玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體[67]、極性分子[68]和耦合到光學(xué)腔[63,69]的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn),為具有長(zhǎng)程相互作用的量子氣體的研究開(kāi)辟了新的道路,也為研究具有新奇性質(zhì)的量子相提供了更多的途徑.

此外,軌道自由度也是量子材料中重要的組成部分,其與自旋自由度、電荷自由度等一起構(gòu)成了量子材料的物理特性.對(duì)于軌道自由度的研究,極大地豐富了人們對(duì)于基礎(chǔ)物理機(jī)制的認(rèn)知.在冷原子量子模擬中,這種高軌道原子系統(tǒng)具有的空間各向異性,帶來(lái)了豐富的物理現(xiàn)象[70-79].在實(shí)驗(yàn)方面,隨著技術(shù)的不斷提高,高軌道冷原子的相關(guān)實(shí)驗(yàn)也取得了豐碩的成果.最早在實(shí)驗(yàn)室觀測(cè)到p 能帶現(xiàn)象是2007 年由Bloch 研究組[80]實(shí)現(xiàn)的,之后漢堡大學(xué)的Hemmerich 小組[81,82]利用二分晶格(bipartite lattice)實(shí)現(xiàn)了正方晶格的p 軌道玻色凝聚,并觀測(cè)到p 能帶玻色系統(tǒng)中存在px+ipy的手征超流.近年來(lái),隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的不斷提高,三角晶格、六角晶格的p 軌道玻色系統(tǒng)和高軌道費(fèi)米系統(tǒng)[83,84]也已經(jīng)被實(shí)現(xiàn),并觀察到了非常有趣的物理現(xiàn)象[75,85-89].

總的來(lái)說(shuō),光晶格中的超冷原子為量子多體問(wèn)題的模擬提供了理想的平臺(tái),在凝聚態(tài)物理、統(tǒng)計(jì)物理、量子化學(xué)、高能量物理等領(lǐng)域中都起著重要作用[90].第2 部分詳細(xì)介紹玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論,該理論對(duì)于研究高維強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系是非常有效的.第3,4,5 部分分別介紹了我們近幾年在旋量玻色體系、存在長(zhǎng)程相互作用體系、高軌道玻色體系的研究.最后是總結(jié)和展望.

2 玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論

在多體系統(tǒng)中,由于粒子間復(fù)雜的相互作用,整個(gè)體系是密切關(guān)聯(lián)在一起的,因此理論求解是非常困難的.要處理多體系統(tǒng),只能采取近似處理、數(shù)值求解的方法.目前研究多體系統(tǒng)的方法有平均場(chǎng)理論、密度矩陣重整化群、量子蒙特卡羅方法、動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論(dynamical mean-field theory,DMFT)、精確對(duì)角化等.本文主要介紹玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論(Bosonic dynamical mean-field theory,BDMFT).

動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論的研究始于1989 年,Vollhardt 和Metzner[91]研究發(fā)現(xiàn)無(wú)窮維度下Fermion-Hubbard 模型可以進(jìn)行簡(jiǎn)化.同年,Hartmann[92,93]指出在無(wú)窮維下關(guān)聯(lián)將變得局域,動(dòng)量將不再重要,這種局域的關(guān)聯(lián)具有動(dòng)力學(xué)屬性,任何非局域的關(guān)聯(lián)效應(yīng)都可以用一個(gè)靜態(tài)的平均場(chǎng)描述.之后,1991 年,Jani?[94]利用動(dòng)力學(xué)干涉勢(shì)近似理論給出了無(wú)窮維下Hubbard 模型的格林函數(shù)和自能的泛函方程.在此基礎(chǔ)上,Georges 與Kotliar[95]利用Anderson 雜質(zhì)模型將DMFT 的自洽方程推廣到了Hubbard 模型,DMFT 的基本框架構(gòu)建完成.從1989 年開(kāi)始,到1991 年結(jié)束,短短三年的時(shí)間,動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論就建立完成,動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論被廣泛地用于材料計(jì)算、多體系統(tǒng)等,拓展了數(shù)值求解物理問(wèn)題的計(jì)算方法,是處理多體問(wèn)題的一種高效的計(jì)算手段.

動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)的核心思想是無(wú)窮維極限下系統(tǒng)的局域性.在無(wú)窮維度下,自能是嚴(yán)格局域的,系統(tǒng)的空間漲落被凍結(jié),只剩下了局域的量子漲落,此時(shí)就可以將多體系統(tǒng)解耦成單體問(wèn)題,因此動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論是一種考慮了局部量子漲落的數(shù)值方法,如圖1[96]所示.在無(wú)窮維度下自能是嚴(yán)格局域的,因此動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論對(duì)于低維度問(wèn)題的計(jì)算誤差比較大,但隨著研究發(fā)現(xiàn),二維、三維的多體系統(tǒng)中動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論的結(jié)果也令人滿(mǎn)意[97-99].因此,動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論是計(jì)算二維及以上維度強(qiáng)關(guān)聯(lián)、弱耦合區(qū)間的一個(gè)主要方法.

圖1 玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)示意圖.通過(guò)與普通玻色子熱庫(kù)和玻色-愛(ài)因斯坦凝聚熱庫(kù)耦合[96],多體格點(diǎn)問(wèn)題退化為一個(gè)單格點(diǎn)問(wèn)題Fig.1.Schematic picture of BDMFT.In BDMFT,the many-body lattice problem is reduced to a single lattice problem coupling with normal Bosonic reservoir and reservoir of Bose-Einstein condensate (BEC)[96].

考慮一個(gè)一般的Bose-Hubbard 模型,其哈密頓量可寫(xiě)為

式中,τ=it′是根據(jù)時(shí)間t′定義的虛時(shí);H(τ) 為虛時(shí)下的體系哈密頓量;β=1/(kBT) ,其中kB為玻爾茲曼常數(shù),T為體系的溫度.可以將作用量分成3 個(gè)部分S0,?S和S(0),其中,S0是只有格點(diǎn)i=0的有效作用量,即

?S是僅包含了i=0 格點(diǎn)與其周?chē)顸c(diǎn)的躍遷過(guò)程的作用量,

(13)式中引入了Weiss 格林函數(shù),有

其中,σz是泡利矩陣.由于考慮的是高維情況,為了使得此時(shí)動(dòng)能不發(fā)散,需要對(duì)躍遷項(xiàng)做變換是配位數(shù)[96,97,102].其原因是在計(jì)算最近鄰躍遷的過(guò)程中,會(huì)多出一個(gè)配位數(shù)z,因此在無(wú)窮維度下,會(huì)出現(xiàn)動(dòng)能發(fā)散的情況,故需要在此處進(jìn)行一個(gè)修正.上面的這種將雜質(zhì)格點(diǎn)從整個(gè)多體系統(tǒng)中解耦出來(lái),變成一個(gè)雜質(zhì)格點(diǎn)與熱浴耦合的方法,被稱(chēng)為“空腔方法”[96,97,103].

在松原頻率的表象下,Weiss 格林函數(shù)可寫(xiě)成

其中,ωn=2πn/β是松原頻率.Weiss 格林函數(shù)滿(mǎn)足Dyson 方程:

式中,Σimp是雜質(zhì)格點(diǎn)的自能;雜質(zhì)格點(diǎn)的格林函數(shù)滿(mǎn)足

其中,εk是色散關(guān)系.在這里,近似認(rèn)為自能是個(gè)局域的量,即Σ(k,iωn)≈Σimp(iωn) .這個(gè)近似在系統(tǒng)處于無(wú)窮維度時(shí)是嚴(yán)格成立的,在高維下基本符合.但這種近似無(wú)法處理由空間關(guān)聯(lián)所帶來(lái)的物理現(xiàn)象,對(duì)于長(zhǎng)程相互作用、自旋液體等物理問(wèn)題無(wú)法得到很好的結(jié)果.現(xiàn)在,互相包含了對(duì)方,DMFT 的自洽回路已形成.給Weiss格林函數(shù)一個(gè)試探值,就可以求解作用量(13)式,之后就可求出自能Σimp等物理量,利用Dyson 方程(16),可以得到新的,構(gòu)成一個(gè)自洽回路.

在上面的自洽過(guò)程中,求解作用量是非常困難的,因此比較好的方法是將作用量映射到可以求解的模型上.這個(gè)可解的模型要能夠較為完美地描述雜質(zhì)格點(diǎn)與環(huán)境的物理狀態(tài),對(duì)于雜質(zhì)格點(diǎn)不僅要考慮到單格點(diǎn),還需要考慮到其和環(huán)境的關(guān)聯(lián),Georges 和Kotliar[95]提出Anderson 雜質(zhì)模型的映射方法是現(xiàn)在DMFT 廣泛使用的方法.Anderson雜質(zhì)模型哈密頓量可寫(xiě)為[103,104]

(18)式中,相互作用部分和化學(xué)勢(shì)直接從Hubbard 模型中得到.玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的玻色子熱庫(kù)由超流序參量?ν描述,普通玻色子的熱庫(kù)由一定數(shù)目的軌道表示,其中和εl為軌道的產(chǎn)生算符和能量.雜質(zhì)格點(diǎn)通過(guò)正常躍遷振幅Vν,l和反常躍遷振幅Wν,l與軌道耦合起來(lái),因此{(lán)εl,Vl,Wl}也被稱(chēng)為Anderson 參數(shù).哈密頓量(18)的作用量分別有雜質(zhì)部分作用量

因此,可以得到Weiss 格林函數(shù)新的表達(dá)方式如下:

對(duì)于Anderson 雜質(zhì)模型,可以利用數(shù)值的方式求解這個(gè)單體哈密頓量.在動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法中,這種求解Anderson 雜質(zhì)模型所用不同的數(shù)值手段就叫做雜質(zhì)求解器.常用的雜質(zhì)求解器有精確對(duì)角化[105,106]、量子蒙特卡羅方法[107]、數(shù)值重整化群[108]等.對(duì)應(yīng)于不同的物理系統(tǒng),雜質(zhì)求解器的選取非常重要.通過(guò)雜質(zhì)求解器求解Anderson 雜質(zhì)模型,就可以得到哈密頓量的本征態(tài)和本征能量,以及超流序參量等物理量.在Lehmann 表象下,可以用本征態(tài)和本征能量表示局域格林函數(shù)

其中,|m〉為本征態(tài),Em為對(duì)應(yīng)的能量.因此,系統(tǒng)的自能可以寫(xiě)成

此處,考慮了自能近似,即認(rèn)為自能是局域的,因此滿(mǎn)足Σimp(iwn)≈Σlat(iwn) .由Dyson 方程(16),能夠得到格點(diǎn)格林函數(shù)為

現(xiàn)在,利用Anderson 雜質(zhì)模型構(gòu)造的動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法的自洽循環(huán)便完成了.利用Anderson雜質(zhì)模型,成功繞開(kāi)求解作用量來(lái)實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)的自洽過(guò)程.在Anderson 雜質(zhì)模型中,動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)的循環(huán)為: 先給出Anderson 參數(shù)的試探值,利用雜質(zhì)求解器求解Anderson 雜質(zhì)模型哈密頓量,便能夠得到系統(tǒng)的本征態(tài)和本征能量,進(jìn)一步可以求得自能、超流序參量等物理量,然后利用(28)式求得新的格點(diǎn)格林函數(shù).利用新求得的格點(diǎn)格林函數(shù),可以得到新的Anderson 參量,然后再重新循環(huán)上述過(guò)程,直到滿(mǎn)足自洽條件,輸出最終所求系統(tǒng)的物理量,如圖2 所示.

圖2 Anderson 雜質(zhì)模型下動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法的自洽循環(huán)示意圖.給Anderson 參數(shù)初值,利用雜質(zhì)求解器求解Anderson 雜質(zhì)模型,得到物理量和自能,通過(guò)自能得到格點(diǎn)格林函數(shù),利用Dyson 方程得到雜質(zhì)函數(shù),從而得到新的Anderson 參量,構(gòu)成自洽過(guò)程Fig.2.Schematic picture of BDMFT loop in Anderson impurity model.For an initial value of Anderson parameters,physical quantities and self-energy are obtained by solving the Anderson impurity model.After obtain lattice Green function through self-energy,impurity functions are attained.Finally,the loop is complete by fetched new Anderson parameters from impurity functions.

圖3 三維光晶格中自旋-1 超冷玻色子在不同反鐵磁相互作用下的零溫相圖[119],U2/U0分別為0.01,0.04 (23Na),0.3,和2.0.數(shù)據(jù)來(lái)源于BDMFT(黑線),Gutwiller(紅線)以及文獻(xiàn)[117](藍(lán)線)中的計(jì)算.體系中存在4 種不同的相,即超流相(SF)、向列絕緣相(NI)、自旋單態(tài)絕緣相(SSI)和自旋單態(tài)凝聚相(SSC)Fig.3.Zero-temperature phase diagram for spin-1 ultracold bosons in a 3D cubic lattice[119] for different antiferromagnetic interactions U2/U0=0.01,0.04 (23Na),0.3,and 2.0,respectively,obtained via BDMFT (black circle),Gutzwiller (red cross) and in Ref.[117](blue dashed).There are four different phases in these diagrams: superfluid (SF),nematic insulator (NI),spin-singlet insulator (SSI)and spin-singlet condensate (SSC).

雖然用Anderson 雜質(zhì)模型可以很好地求解動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng),但在真實(shí)的實(shí)驗(yàn)中,由于外場(chǎng)或人工規(guī)范場(chǎng),冷原子系統(tǒng)并不是各向同性的.因此,需要對(duì)現(xiàn)在的動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論進(jìn)行進(jìn)一步拓展.類(lèi)似于費(fèi)米系統(tǒng)的實(shí)空間動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論[109,110],我們發(fā)展了實(shí)空間玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論(RBDMFT).在實(shí)空間玻色子動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論中,雖然自能是局域的,但各個(gè)空間位置的自能是不同的,即.因此,利用實(shí)空間動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論,可以求解各向異性的Hubbard 模型,并得到較好的結(jié)果.

3 光晶格中多組分玻色子體系的磁性研究

3.1 三維光晶格中自旋-1 超冷玻色氣體的磁性相變研究

隨著超冷原子氣體在光晶格中的實(shí)現(xiàn),理論研究也變得非常廣泛,量子蒙特卡羅方法和密度重整化群理論可以在一維情形下進(jìn)行研究[53-56],而在三維體系中,對(duì)強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子相的研究一般都是通過(guò)晶格規(guī)范理論預(yù)測(cè)[111],強(qiáng)耦合極限下的有效自旋模型[112,113]以及靜態(tài)平均場(chǎng)理論[114-118]等方法.而超越了靜態(tài)平均場(chǎng)理論,從弱耦合到強(qiáng)耦合極限下的量子多體相圖還幾乎沒(méi)有人研究.因此本課題組利用玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論研究了自旋-1 玻色體系中的量子相變[119].在適當(dāng)?shù)木Ц裆疃认?自旋-1的玻色子體系可以用緊束縛近似下的玻色-哈伯德模型描述:

進(jìn)一步地,研究了溫度對(duì)體系的影響,并觀察到超流體可以通過(guò)一階(二階)相變被加熱成具有偶(奇)填充的莫特絕緣體,類(lèi)似于3He 中的Pomeranchuk 效應(yīng).我們發(fā)現(xiàn)有序態(tài)(如向列絕緣相和自旋單態(tài)絕緣相)的臨界溫度在現(xiàn)有的冷卻方案范圍內(nèi),這表明有機(jī)會(huì)使用現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)技術(shù)直接觀察這些相.

3.2 三維光晶格中磁場(chǎng)下自旋-1 超冷玻色氣體的相變研究

研究多組分超冷原子氣體的磁序和玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體之間的聯(lián)系是一個(gè)有趣的話(huà)題.對(duì)于旋量氣體,理論上已經(jīng)預(yù)測(cè)了多步凝聚[120-125],并在實(shí)驗(yàn)中被觀察到了[50,126,127].例如,對(duì)于較小的塞曼場(chǎng),反鐵磁相互作用定性地改變了相圖并導(dǎo)致在超精細(xì)態(tài)mF=±1 態(tài)下的凝聚[128],然而對(duì)光晶格中自旋玻色氣體的多步凝聚目前還沒(méi)有人進(jìn)行研究.因此緊接著上面的工作,本課題組基于玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論,系統(tǒng)地研究了該自旋-1 玻色子體系在存在外部塞曼相互作用時(shí)的性質(zhì)[129].體系的哈密頓量與無(wú)磁場(chǎng)的自旋-1 玻色子體系相比,多了線性塞曼能量p和二次塞曼能量q這兩項(xiàng):

這是由于外加磁場(chǎng)導(dǎo)致超精細(xì)態(tài)(mF=1,0,-1)退簡(jiǎn)并的塞曼效應(yīng),其中p=(E-1-E1)/2 ,q=(E1+E-1-2E0)/2,U0為原子間的相互作用,U2為自旋相互作用.在這一體系中,塞曼相互作用與自旋相互作用的競(jìng)爭(zhēng)會(huì)出現(xiàn)非常多有趣的相.對(duì)于反鐵磁自旋相互作用,以23Na (U2/U0≈0.037[52])為例,計(jì)算該體系的多體相圖,體系存在向列絕緣相、鐵磁相、自旋單態(tài)絕緣相和不同類(lèi)型的超流相.計(jì)算表明二次塞曼項(xiàng)使得粒子數(shù)為偶數(shù)的區(qū)域出現(xiàn)了向列絕緣相,在塞曼能量非常大時(shí),體系的莫特絕緣區(qū)完全處于向列莫特絕緣相.對(duì)于鐵磁自旋相互作用的情況,以7Li(U2/U0≈-0.7[112])和87Rb(U2/U0≈-0.005[20])為例,繪制了鐵磁和向列絕緣相、超流體相等相圖,計(jì)算結(jié)果表明隨著塞曼能量的增強(qiáng),鐵磁絕緣相的區(qū)域逐漸由向列絕緣相取代.此外,我們還研究了這些量子相對(duì)熱漲落的穩(wěn)定性,得到了有限溫度下的相圖.

同時(shí),對(duì)超流體的分步凝聚進(jìn)行了研究,給出了各個(gè)塞曼組分的臨界凝聚溫度Tc與縱向磁化強(qiáng)度的關(guān)系.有趣的是,在反鐵磁相互作用下我們觀察到了超精細(xì)態(tài)mF=-1 組分的臨界溫度隨著縱向磁化強(qiáng)度的非連續(xù)變化: 隨著縱向磁化強(qiáng)度的增加,臨界溫度首先降低至0,然后逐漸增長(zhǎng)到某一最大值后再逐漸降為0;而對(duì)于鐵磁相互作用,超精細(xì)態(tài)mF=0 的臨界凝聚溫度Tc會(huì)首先減小到某一極小值點(diǎn),然后增長(zhǎng)到某一極大值,最后減小到0.這反映了強(qiáng)關(guān)聯(lián)超冷玻色氣體的獨(dú)特性質(zhì).

3.3 自旋堿金屬與堿土金屬混合體系的磁性研究

量子磁性在固態(tài)系統(tǒng)中起著重要作用,揭示量子多體系統(tǒng)磁序背后的機(jī)制一直是理論研究和實(shí)驗(yàn)研究的熱點(diǎn).最近,超冷旋量玻色子的異核混合物已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上被實(shí)現(xiàn),如旋量堿金屬原子的異核混合物[130]、旋量堿金屬和堿土金屬原子的混合物[131,132],然而在光晶格中還沒(méi)有對(duì)旋量堿金屬和堿土金屬原子混合體系的研究.在3.1 節(jié)和3.2 節(jié)中研究了自旋-1 玻色子體系的基態(tài)相圖,以及該體系存在磁場(chǎng)時(shí)的性質(zhì).本節(jié)主要研究三維光晶格中自旋-1 堿金屬原子與自旋-0 堿土金屬原子混合體系的基態(tài)相圖[133].體系的哈密頓量由緊束縛近似下的玻色-哈伯德模型描述:

首先研究種間相互作用U12對(duì)相圖的影響.對(duì)于較小的種間相互作用,兩種原子是互相混合的.但是對(duì)于較大的種間相互作用,體系會(huì)出現(xiàn)相分離.當(dāng)種間相互作用減小時(shí),n=1 的區(qū)域會(huì)減小,而n=2 的區(qū)域會(huì)增大.這是因?yàn)樵赨12?U1,2的條件下,n=2 的區(qū)域更容易形成自旋單重態(tài).對(duì)于較大的種間相互作用U12/U1=2,我們觀察到體系出現(xiàn)了相分離.這里只得到了自旋-187Rb 原子的相圖.作為比較,也用Gutzwiller 平均場(chǎng)理論計(jì)算了自旋-1 和自旋-0混合體系的基態(tài)相圖,如圖4[133]中的紅線所示.Gutzwiller 的計(jì)算結(jié)果是小于BDMFT 的計(jì)算結(jié)果的,這正是由于BDMFT 包含了量子漲落.

為了更好地描述87Rb 和84Sr 的混合體系,我們把87Rb 當(dāng)作自旋↓,把84Sr 當(dāng)作自旋↓.計(jì)算表明,系統(tǒng)在填充數(shù)n≡nRb+nSr=1 (nRb=nSr=0.5)時(shí)具有非零的磁性,Mtot≠0 ,而在填充數(shù)n=2時(shí)磁性為零,Mtot=0 ,這里nSr(nRb) 表示84Sr87Rb在格點(diǎn)上的填充數(shù).也就是說(shuō)整個(gè)體系在格點(diǎn)上粒子數(shù)為1 時(shí)處于鐵磁絕緣相,在粒子填充數(shù)為2 時(shí)處于無(wú)序絕緣相.這其中的物理規(guī)律可以通過(guò)在強(qiáng)相互作用下推導(dǎo)的玻色-玻色混合體系的有效自旋模型來(lái)理解.當(dāng)格點(diǎn)上粒子填充數(shù)為1 時(shí),由于幾乎相同的隧穿振幅,鐵磁自旋耦合占據(jù)主導(dǎo),因此體系表現(xiàn)為鐵磁序.而當(dāng)格點(diǎn)上粒子數(shù)為2時(shí),由于種間相互作用U12?U1,2,自旋漲落被抑制,于是體系表現(xiàn)為無(wú)序絕緣相.在遠(yuǎn)離莫特絕緣區(qū)時(shí),隨著隧穿振幅的增大,密度漲落成為主導(dǎo),系統(tǒng)經(jīng)歷量子相變進(jìn)入超流相.并且由于質(zhì)量的不平衡,質(zhì)量較大的 Rb 會(huì)先解除局域化( MISr+SFRb),之 后隨著隧穿振幅的繼續(xù)增大,兩種原子都會(huì)處于非局域化的狀態(tài)(2SF).

此外還研究了在三維光晶格中具有反鐵磁相互作用的23Na和84Sr 原子的混合體系.對(duì)于23Na 和84Sr 原子的混合體系,在填充數(shù)為1 的區(qū)域是鐵磁相(FM),在填充數(shù)為2 的區(qū)域是無(wú)序相(UI).有趣的是自旋-123Na 原子在填充數(shù)為1 和2 的情形都展示了從向列絕緣相到極化超流相的相變,這與單獨(dú)將23Na 原子放在光晶格中偶數(shù)填充的情形是不一樣的.

4 具有長(zhǎng)程相互作用的光晶格體系的研究

4.1 偶極玻色氣體中的超固態(tài)相研究

為了實(shí)現(xiàn)由兩體相互作用誘導(dǎo)的超固體相(supersolid,SS),人們?cè)跇O性分子[68,134-140]、磁性[16,67,141]和里德伯原子[142-150]上付出了巨大的努力,然而理論上提出的方案通常在實(shí)驗(yàn)上都難以實(shí)現(xiàn).本課題組提出一種可行的方案,研究了二維光晶格中雙組分玻色混合體系的超固態(tài)相[151],其中一個(gè)組分通過(guò)非共振激光被耦合到了里德伯態(tài),因此在這一組分之間存在長(zhǎng)程相互作用,如圖5[151]所示.

圖5 (a)考慮兩個(gè)電子基態(tài) |b〉 (藍(lán)色),|d〉 (紅色)和一個(gè)里德伯態(tài) |r〉 .一束非共振激光(拉比頻率為Ω,失諧量為Δ)將態(tài) |d〉 與 |r〉 耦合.(b)里德伯態(tài) |d〉 間的軟核型相互作用勢(shì) Vij (紅線).軟核 半徑 Rc 可以大于 晶格 間距a,圖中展 示的是 Rc=2a 的情形.(c)被修飾原子處于有序密度波(DW)時(shí)的裸態(tài)處于SS.(d)裸態(tài)的Roton 不穩(wěn)定性.聲子的Bogoliubov 色散關(guān)系(沿 kx 軸)被種間相互作用顯著地改變.當(dāng)種間相互作用 Ubd 增 加時(shí),會(huì) 出現(xiàn)類(lèi)Roton 不穩(wěn)定性,表明基態(tài)相由均勻的超流體轉(zhuǎn)變?yōu)槌腆w.圖中Ubd/U=0 (點(diǎn)線),Ubd/U=0.45 (虛線),Ubd/U=1 (實(shí)線),其他參數(shù) 為 ky=0,V/U=0.4 ,和 t/U=0.04 [151]Fig.5.(a) Two electronic ground states |b〉 (blue) and|d〉(red) and a Rydberg state |r〉 are considered.An off-resonant laser (with Rabi frequency Ω and detuning Δ) weakly couples the state |d〉 to |r〉 .(b) The soft-core shape interaction potential Vij (red) between atoms in the Rydberg dressed state |d〉 .The soft-core radius Rc can be larger than the lattice spacing a.Here,Rc=2a is shown.(c) SS of the bare state when dressed atoms are in an ordered density wave (DW).(d) Roton instability of the bare species.The Bogoliubov dispersion relation (along the kx axis) of phonons is significantly modified by the interspecies interaction.A rotonlike instability emerges when the interspecies interaction Ubd is increased,indicating that the groundstate phase changes from a homogeneous superfluid to supersolid.We show Ubd/U=0 (dotted line),Ubd/U=0.45 (dashed line),and Ubd/U=1 (solid line).Other parameters are ky=0,V/U=0.4 ,and t/U=0.04 [151].

在適當(dāng)深的光晶格中,體系由一個(gè)單帶雙組分哈伯德模型描述:這里算符下標(biāo)σ=d表示處于里德伯態(tài)的原子,下標(biāo)σ=b表示另一組分的原子,tσ表示σ組分原子的躍遷振幅,Vij表示不同格點(diǎn)間原子的相互作用,Uσσ′為同一格點(diǎn)上同種或不同種原子間的相互作用.

基于實(shí)空間玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論,計(jì)算了該體系的完整相圖.在強(qiáng)耦合極限下(即原子間的短程相互作用遠(yuǎn)大于動(dòng)能)體系傾向于形成莫特絕緣相或密度波相(density wave phase).有趣的是我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)原子總密度分布不均勻的密度波相(ni,b=1,ni,d=2),它打破了晶格平移對(duì)稱(chēng)性.在遠(yuǎn)離莫特區(qū)的地方,如中間區(qū)域,觀察到兩種從莫特絕緣相到超固體相的量子相變,即未耦合的基態(tài)從莫特絕緣態(tài)到裸態(tài)形成的超固體(SS1)的相變,而被修飾的原子仍然處于莫特絕緣態(tài).進(jìn)一步增加隧穿振幅t,兩種原子都進(jìn)入了超固體相(SS2).有趣的是,在模擬中觀察到一個(gè)明顯的超固體區(qū)域,這是兩種原子間相互作用的結(jié)果,表明與單組分情況[152]相比,在現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)中直接觀察到這些相變過(guò)程的概率更高.事實(shí)上,還觀察到SS1 和SS2 的寬度隨種間相互作用的減小而縮小,對(duì)于較小的種間相互作用Ubd,SS1 相消失了.此外還發(fā)現(xiàn),雖然裸態(tài)原子只具有短程相互作用,但是另外一種原子間的長(zhǎng)程相互作用依舊移動(dòng)了MI 和SS1 之間的相變.

最后在t?Uσσ′的弱相互作用區(qū)間,體系形成原子總密度分布均勻的超流態(tài),并且兩種原子的密度分布也是均勻的.這是由于劇烈的密度漲落破壞了晶體序,因此體系只能形成密度分布均勻的超流態(tài).

4.2 光腔中的超輻射相研究

2010 年,Baumann 等[63]實(shí)現(xiàn)了玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體與光腔耦合的開(kāi)放系統(tǒng)中的Dicke 量子相變,并觀察到了自組織相的出現(xiàn).該相變是由凝聚體原子之間的無(wú)限長(zhǎng)程相互作用驅(qū)動(dòng)的,由涉及腔模和泵浦光場(chǎng)的雙光子過(guò)程引起.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),均勻原子密度中的量子漲落使得所應(yīng)用的橫向駐波激光中的光子被集體散射到腔模中.反過(guò)來(lái),散射到腔中的光子又非線性地作用于原子,并放大了BEC 密度的漲落.當(dāng)泵浦光功率小于臨界泵浦光功率時(shí),腔模中的光子數(shù)為0,原子凝聚在低動(dòng)量態(tài)上.在橫向激光的臨界泵浦功率以上,低動(dòng)量態(tài)的原子被散射到高動(dòng)量態(tài),系統(tǒng)經(jīng)歷可逆的零溫量子相變成為完美和有序的晶體.近年來(lái)在這一領(lǐng)域出現(xiàn)了非常多的研究,包括對(duì)多模光腔[153-155]、極限環(huán)[156]、時(shí)間晶體[157]、拓?fù)湎嘧僛158]以及對(duì)非厄米趨膚效應(yīng)[159]的研究.理論上,通過(guò)改變激光頻率與腔共振的關(guān)系,可以將腔誘導(dǎo)的原子間相互作用從吸引調(diào)到排斥,在藍(lán)失諧驅(qū)動(dòng)的高精細(xì)腔中也出現(xiàn)了非常多有趣的研究,如對(duì)Su-Schrieffer-Heeger 模型[160]、時(shí)間晶體[161-164]、p-軌道自組織相[165]以及結(jié)構(gòu)相變的研究[166].

本課題組研究了超冷玻色氣體與藍(lán)失諧激光驅(qū)動(dòng)的高精細(xì)腔的耦合體系,探索該體系在弱相互作用與強(qiáng)相互作用區(qū)間可能出現(xiàn)的量子相[167].實(shí)驗(yàn)裝置如圖6[167]所示.

圖6 原子在光腔中耦合高軌道態(tài)示意圖[167] (a)原子被陷俘在光腔中,由一束不平衡因子 η=E-/E+ 的橫向泵浦光驅(qū)動(dòng);(b)四方晶格的布里淵區(qū)示意圖,原子從動(dòng)量態(tài)k=(0,0) 被散射到 (π,π),右側(cè)上下兩幅圖分別為p-軌道和d-軌道能帶原子的動(dòng)量分布圖;(c),(d)腔模和泵浦光之間的主要散射過(guò)程,其引起了高軌道激發(fā).通過(guò)控制參數(shù)η=1(c),原子可以選擇性地被散射到偶宇稱(chēng)的d-軌道態(tài),當(dāng)η <1 (d),原子被散射到奇宇稱(chēng)的p-軌道態(tài).此處 ,和 分別表示s-軌道和dxy -軌道,px -軌道和 py -軌道,s-軌道和 px -軌道,py -軌道和 dxy -軌道在格點(diǎn)i 和格點(diǎn)j 間由散射引起的軌道反轉(zhuǎn)躍遷Fig.6.Populating higher-orbital states with ultracold atoms in an optical cavity[167]: (a) Atoms are prepared in an opticalcavity,pumped by a blue-detuned laser in the transverse direction with an imbalance parameter η=E-/E+ .(b) Brillouin zone of the square lattice,where atoms are scattered from the quasimomentum state k=(0,0) to the excite state (π,π),with quasimomentum distributions for the p-and d-orbital bands shown in right upper and lower panels,respectively;(c),(d) dominating scattering processes of atoms induced by cavity,leading to higher-orbital excitations.By controlling η,atoms can be selectively scattered into the even-parity dxy -orbital state with a single node in both x and y directions for η=1 (c),or into the odd-parity p-orbital state with a single node only in one direction for η <1 (d).Here, ,anddenote cavity induced orbital-flip hoppings between sites i and j for the s-and dxy -orbitals,px -and py -orbitals,s-and px -orbitals,and py -and dxy -orbitals,respectively.

87Rb 原子被裝載在耗散κ=40ωr的高精細(xì)單模光腔中,ωr是反沖頻率.原子由垂直于腔模方向,即y方向的兩束對(duì)向傳播的波長(zhǎng)為 780.1 nm 的藍(lán)失諧激光驅(qū)動(dòng),這可以通過(guò)一束激光和反射鏡實(shí)現(xiàn).這兩束對(duì)向傳播激光強(qiáng)度的不平衡由鏡子的反射率控制η≡E-/E+,這里E+和E-分別為入射光和反射光的振幅.在第3 個(gè)方向,也就是z方向,用一束非常強(qiáng)的激光來(lái)凍結(jié)原子的運(yùn)動(dòng)自由度.體系由下面的玻色-哈伯德模型描述:

通常來(lái)說(shuō)在光腔系統(tǒng)中,主要過(guò)程為泵浦光和腔模通過(guò)原子而發(fā)生的散射過(guò)程,散射項(xiàng)的宇稱(chēng)和系統(tǒng)的維度起著重要作用.在紅失諧光的條件下,由于散射項(xiàng)是偶宇稱(chēng)的,原子處在s-軌道.然而在藍(lán)失諧體系中,由于散射項(xiàng)為奇宇稱(chēng),原子可以從s-軌道散射到更高的軌道.在我們考慮的二維藍(lán)失諧體系中,原子可以被散射到奇宇稱(chēng)的p-軌道和偶宇稱(chēng)的d-軌道,形成穩(wěn)定的強(qiáng)關(guān)聯(lián)高軌道相.如圖6(c)[167]所示,由于在x和y方向都是奇宇稱(chēng)的,因此它會(huì)改變軌道在x和y方向的宇稱(chēng),從而將原子從s-軌道散射到d-軌道以及從 px-軌道散射到 py-軌道.如圖6(d)[167]所示,V?2在x方向是奇宇稱(chēng),在y方向是偶宇稱(chēng),因此它只改變軌道在x方向的宇稱(chēng),從而將原子從s-軌道散射到 px-軌道以及從 py-軌道散射到d-軌道.有趣的是,與紅失諧泵浦光體系超輻射相伴隨著電荷-密度波的出現(xiàn)不同,在藍(lán)失諧的腔中,由于散射導(dǎo)致的軌道-翻轉(zhuǎn)隧穿,自組織相的形成伴隨著軌道-密度波的出現(xiàn).

總的來(lái)說(shuō)我們發(fā)現(xiàn)在二維光晶格中,通過(guò)改變泵浦光的反射率,原子可以被散射到偶宇稱(chēng)的d-軌道能帶和奇宇稱(chēng)的p-軌道能帶,形成穩(wěn)定的高軌道自組織超流相和莫特-絕緣相,這提供了一種新的調(diào)控高軌道現(xiàn)象的機(jī)制.

5 光晶格中的高軌道玻色子體系研究

5.1 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性增強(qiáng)的p 軌道玻色子自旋和角動(dòng)量的耦合

p 軌道冷原子系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)給研究軌道自由度提供了一個(gè)有利的工具.在軌道物理中,一個(gè)有趣的方向是自旋-軌道耦合.在之前的冷原子實(shí)驗(yàn)中,人們借助激光構(gòu)建人工規(guī)范場(chǎng),從而實(shí)現(xiàn)了冷原子系統(tǒng)中的自旋-軌道耦合[168-191].自然而然地,對(duì)于高軌道玻色系統(tǒng),其中的自旋自由度和軌道自由度的相互作用會(huì)不會(huì)帶來(lái)有趣的物理效應(yīng)[192,193]? 本課題組首先研究了正方晶格中的兩組分p 能帶玻色系統(tǒng),相較于之前的相關(guān)研究[71,72,77],引入了自旋自由度,希望研究自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量的相互作用[194].表示格點(diǎn)r位置的湮滅算符,ν=x,y表示 px和 py軌道自由度,σ=↑,↓表示不同的組分(贗自旋).為了簡(jiǎn)便,引入旋量,哈密頓量可以寫(xiě)成

此時(shí)態(tài) |χc〉仍是守恒量,而 |χs〉則不再守恒.由于相互作用的調(diào)制,系統(tǒng)的基態(tài)變成了 |χs〉.此時(shí),系統(tǒng)的基態(tài)便出現(xiàn)了自發(fā)的自旋角動(dòng)量耦合±ρ,稱(chēng)之為SAI 相(spin angular-momentum interwined superfluid).在這種相中,原子的軌道角動(dòng)量與自旋角動(dòng)量鎖定在了一起,即自旋向上的原子的軌道角動(dòng)量為px+ipy,自旋向下的原子的軌道角動(dòng)量鎖定為px-ipy,如圖7(a)[194]所示.

圖7 (a) SAI 相的示意圖,在SAI 相中,由于自發(fā)的自旋-軌道耦合,粒子的自旋自由度和軌道自由度相互鎖定;(b)在不同相互作用強(qiáng)度下,SAI 相的穩(wěn)定性;(c)在不同的溫度下,SAI 相的穩(wěn)定性;(d)粒子數(shù)填充 〈n〉=2 時(shí),玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法得到的兩組分p 軌道玻色系統(tǒng)基態(tài)相圖,相互作用強(qiáng)度設(shè)置為 U//=U⊥ ;(e)表為不同相之間序參量的表征,下左圖和右圖分別為t///t⊥=1 和10 時(shí),不同填充數(shù)情況下基態(tài)相圖,下左圖的插圖為相變時(shí)序參量的變化.相互作用強(qiáng)度設(shè)置為 U//=U⊥ [194]Fig.7.(a) Pictorial illustration of SAI order.In presence of spontaneous spin angular-momentum coupling,the phase of spatial wave-function is entangled with the internal degrees of freedom of an atom in each optical lattice site.(b) Stability of SAI order against interaction quantum fluctuations.(c) Stability of SAI order against thermal fluctuations.(d) Phase diagram of the spinful porbital system with an even integer filling.The phase diagram is obtained via BDMFT.The atomic filling is fixed at 〈n〉=2,we set U//=U⊥ .(e) Table is the characterization of different quantum phase.Left and right picture are phase diagrams of spinful porbital bosons at generic fillings for t///t⊥=1 and 10 .The inset in left shows the evolution of the order parameters.We use interaction strengths U//=U⊥ [194].

為了證明上述的理論預(yù)測(cè),采用玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論來(lái)計(jì)算系統(tǒng)基態(tài),得到的基態(tài)相圖如圖7(d)和圖7(e)[194]所示.可以看出,SAI 相是系統(tǒng)處于超流態(tài)時(shí)的基態(tài),而在強(qiáng)相互作用區(qū)間的基態(tài)分別是無(wú)序絕緣態(tài)(UI)和有序絕緣態(tài)(OI).為了證明SAI 態(tài)的魯棒性,分別計(jì)算了不同相互作用比例U⊥/U//和不同的熱漲落下,SAI 相的相變曲線,如圖7(b)和圖7(c)[194]所示.同時(shí)計(jì)算了不同的躍遷比例下,整個(gè)系統(tǒng)的基態(tài)相圖,也證明了SAI 相的穩(wěn)定性.

5.2 六角光晶格中自旋誘導(dǎo)的軌道阻挫效應(yīng)研究

其 中,Jx<0 ,是與鍵的方向em相關(guān)的.自旋-↑的有效自旋模型說(shuō)明,在缺少自旋自由度的時(shí)候,強(qiáng)關(guān)聯(lián)區(qū)間Mott 相應(yīng)是一個(gè)反鐵磁性,而自旋自由度將會(huì)誘導(dǎo)出平面內(nèi)的軌道阻挫相,如圖8(b)[202]所示.在躍遷振幅為零時(shí),系統(tǒng)是無(wú)軌道極化的自旋單態(tài),而在強(qiáng)關(guān)聯(lián)區(qū)間的量子相是軌道阻挫相,說(shuō)明在Mott 絕緣態(tài)時(shí)也存在一個(gè)相變.

圖8 (a)左圖為二維六角晶格的幾何結(jié)構(gòu),晶格的格矢為 em ,右圖為晶格的第一布里淵區(qū).(b)強(qiáng)關(guān)聯(lián)區(qū)間軌道極化矢量 P 在實(shí)空間的分布圖.左圖為無(wú)自旋玻色子的Ising 型結(jié)構(gòu),中間和右圖分別為自旋向上、自旋向下玻色子的平面內(nèi)軌道渦旋結(jié)構(gòu).(c)粒子填充數(shù) 〈n〉=2 時(shí),實(shí)空間玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)得到的兩組分六角晶格p 軌道玻色系統(tǒng)多體基態(tài)相圖.左圖和右圖的相互作用分別為 U↑=U↓=U↑↓ 和 U↑=U↓=2U↑↓ .右圖的插圖為右圖灰色垂直線路徑下,序參量的相應(yīng)變化.(d)不同自旋組分在動(dòng)量空間下密度的分布[202]Fig.8.(a) Geometry of two-dimensional hexagonal lattice with lattice vector em (left),and the first Brillouin zone (right).(b) Cartoons of real-space orbital polarization P for strongly interacting many-body phases in p-orbital bands of the two-dimensional (2D)hexagonal lattice,where left picture is spinless bosons demonstrate out-of-plane Ising-type orbital order,middle and right are spinful case in-plane orbital textures.(c) Hopping-dependent phase diagrams of spinful bosonic gases in p-orbital bans of a 2D hexagonal lattice for fixed filling 〈n〉=2,obtained via real-space bosonic dynamical mean-field theory.The left and right are set U↑=U↓=U↑↓ and U↑=U↓=2U↑↓ .Inset picture is the evolution of order parameter along the gray vertical line.(d) Momentum-space distributions of density nσ,k [202].

為了驗(yàn)證上述結(jié)果,采用實(shí)空間玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,得到的結(jié)果如圖8(c)[202]所示.在Mott 絕緣區(qū),當(dāng)t//≈t⊥時(shí),Mott 相表征為P2≠0 的sMI 相(spin-orbital interwined Mottinsulating),對(duì)應(yīng)的動(dòng)量空間密度凝結(jié)在Q±=,見(jiàn)圖8(d)[202].系統(tǒng)還存在兩個(gè)量子相,一個(gè)是Mott 區(qū)的無(wú)軌道極化P2=0 的uMI相(unordered Mott-insulating),另一個(gè)是P2≠0和ρc≠0 的sSF 相(spin-orbital intertwined superfluid).

6 結(jié)論與展望

本文主要回顧了本課題組利用玻色動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論對(duì)光晶格中強(qiáng)關(guān)聯(lián)玻色體系進(jìn)行的一系列研究.主要結(jié)果可以概括為: 基于BDMFT 計(jì)算了三維光晶格中自旋-1 超冷玻色氣體在零溫和有限溫下的相圖,發(fā)現(xiàn)了自旋單態(tài)凝聚相的存在,并觀察到超流體可以通過(guò)一階(二階)相變被加熱成具有偶(奇)填充的莫特絕緣體.在存在磁場(chǎng)時(shí),基態(tài)簡(jiǎn)并被打破,體系中存在非常豐富的量子相,如向列相、鐵磁相、自旋單態(tài)絕緣相、極化超流以及軸對(duì)稱(chēng)破缺超流,此外還觀察到了多步凝聚.進(jìn)一步計(jì)算了自旋-1 堿金屬原子與自旋-0 堿土金屬原子混合體系的零溫相圖,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)表現(xiàn)出非零磁性長(zhǎng)程序,當(dāng)填充數(shù)n=1 時(shí)表現(xiàn)為二階莫特絕緣-超流體相變,當(dāng)填充數(shù)n=2 時(shí),表現(xiàn)為一階莫特絕緣-超流體相變,還觀察到了由于質(zhì)量不平衡帶來(lái)的兩步莫特絕緣-超流體相變.在對(duì)長(zhǎng)程相互作用的研究中,首先利用里德伯原子進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)了兩種不同的超固體相,隨后在原子與高精細(xì)腔耦合的體系中通過(guò)控制泵浦光的反射,實(shí)現(xiàn)了耦合到不同軌道的超輻射相.最后對(duì)高軌道玻色體系進(jìn)行了研究,首先在正方晶格中提出了一種基于多體關(guān)聯(lián)和自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺的自旋-軌道角動(dòng)量耦合的新機(jī)制,然后在六角晶格中研究了阻挫效應(yīng),基于對(duì)稱(chēng)分類(lèi),發(fā)現(xiàn)軌道阻挫和強(qiáng)相互作用之間的相互作用導(dǎo)致了奇異的莫特絕緣相和自旋軌道交織的超流體相.

總的來(lái)說(shuō),基于BDMFT 對(duì)光晶格中超冷玻色體系的自旋自由度、軌道自由度和長(zhǎng)程相互作用進(jìn)行了研究,這些體系中存在豐富的量子相,以及自旋-軌道角動(dòng)量耦合效應(yīng)、阻挫效應(yīng)等,揭示了豐富的量子多體物理現(xiàn)象.目前我們的研究還只是對(duì)穩(wěn)態(tài)的研究,在未來(lái)的研究中,將發(fā)展非平衡動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論,對(duì)光晶格中的強(qiáng)關(guān)聯(lián)非平衡體系進(jìn)行研究.