小學(xué)生圖解數(shù)學(xué)在教學(xué)中的應(yīng)用研究

夏洪麗

（西藏民族大學(xué)附屬中學(xué) 陜西 咸陽(yáng) 712082）

1.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展圖解教學(xué)的意義

1.1 理論依據(jù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程準(zhǔn)（2022 版）》指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是研究空間形式的科學(xué)”，所以數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容中包含了大量從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來(lái)的量的關(guān)系和空間形式，這些“關(guān)系”和“形式”往往摒棄了其特定的內(nèi)容和質(zhì)的特征，因此抽象性高是數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著特征。學(xué)生可以利用圖形描述和分析問(wèn)題，在圖文并茂的情況下，借助幾何直觀地將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明扼要，有助于對(duì)解題思路的探究和結(jié)果的預(yù)測(cè)。老師在教學(xué)中也要體會(huì)到“幾何直觀能幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的直觀理解”。

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，“數(shù)”和“形”密不可分。數(shù)與形可以在一定條件下互相轉(zhuǎn)化、互相滲透。因此，在解決問(wèn)題時(shí)，“圖解”策略能有效滲透數(shù)形結(jié)合的基本思想，即在解題過(guò)程中，注意對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查，考慮問(wèn)題的具體情況，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，既要考慮問(wèn)題的具體情況，又要考慮問(wèn)題的具體情況。難易結(jié)合，從而求得解題思路的簡(jiǎn)便易行。

1.2 教學(xué)實(shí)際的需求

雖然教材沒(méi)有設(shè)立專(zhuān)門(mén)的系統(tǒng)教學(xué)“畫(huà)圖”策略的單元，但從整體編排上來(lái)看，教材內(nèi)容中還是有清晰的畫(huà)圖策略的教學(xué)線，即：實(shí)物圖（如一年級(jí)直觀理解加減法）——示意圖（草圖、直條圖、圓圈圖等）——線段圖（或其他較為抽象的圖示），這無(wú)疑是符合小學(xué)生的年齡特點(diǎn)與認(rèn)知規(guī)律的。但解決問(wèn)題的呈現(xiàn)形式從“低段直觀而有趣的教學(xué)情景圖”到“中高年級(jí)純文字的應(yīng)用題”時(shí)，給部分認(rèn)知水平稍微滯后的學(xué)生，帶來(lái)越來(lái)越多的困難，導(dǎo)致他們對(duì)“解決問(wèn)題”這一大板塊的內(nèi)容失去了興趣乃至信心。因此，在教學(xué)時(shí)，著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到表象、再到抽象的完整的認(rèn)知過(guò)程，使學(xué)生的思維從具體形象思維，逐漸過(guò)渡到符號(hào)、圖標(biāo)的抽象思維。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展圖解教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)

2.1 符合小學(xué)生思考的特點(diǎn)

小學(xué)生在應(yīng)用語(yǔ)言文字方面存在很大的劣勢(shì)，其年齡小，對(duì)文字的認(rèn)識(shí)較少，理解能力不足，對(duì)一些抽象的概念或者理論都不能很好地理解和接受，而在教學(xué)的過(guò)程中，教師一直用語(yǔ)言文字進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的講解，學(xué)生很容易就產(chǎn)生思想拋錨，不能理解，從而降低學(xué)習(xí)的興趣，導(dǎo)致課堂效率下降。運(yùn)用畫(huà)圖分析，學(xué)生可以更容易理解數(shù)學(xué)概念，思考的路徑更加清晰，從而更有效地探索出問(wèn)題的答案。

2.2 畫(huà)圖分析有助于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，畫(huà)圖是一種較為普遍的解決方法，運(yùn)用廣泛。畫(huà)圖可以幫助學(xué)生將一些比較抽象的問(wèn)題或者理論直觀形象地表現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中更好地對(duì)題意進(jìn)行梳理和理解，明白其中的數(shù)量關(guān)系，從而探索出解題的思路，提高學(xué)習(xí)效率。數(shù)學(xué)中有很多題目?jī)H靠單純地閱讀文字是很難理解的，所以這個(gè)時(shí)候就需要試著將文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為圖案，將抽象的題目用圖案直觀地表現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生在構(gòu)圖的過(guò)程中可以對(duì)題目進(jìn)行深入的思考，把握題目的基本結(jié)構(gòu)，從而對(duì)問(wèn)題有明確的認(rèn)知。畫(huà)圖分析的過(guò)程其實(shí)就是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的另一種重現(xiàn)，只是將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系單獨(dú)提了出來(lái)，然后以畫(huà)圖的方式重新展示了出來(lái)，使數(shù)學(xué)問(wèn)題更加簡(jiǎn)單易懂。

2.3 畫(huà)圖分析有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的拓展

數(shù)學(xué)思維是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，它是人按照思維規(guī)律對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律進(jìn)行認(rèn)知的交互思維活動(dòng)，也是學(xué)生培養(yǎng)綜合能力的重要基礎(chǔ)。學(xué)生的思維是教師課堂教學(xué)中最難把控的東西，因?yàn)樗菍W(xué)生在腦海中進(jìn)行的一種內(nèi)在的活動(dòng)過(guò)程。因而，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師很難確定發(fā)展到了何種狀態(tài)。為了更好地對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力進(jìn)行了解和培養(yǎng)，教師需要借助畫(huà)圖這種方式，教師可以根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平對(duì)教學(xué)計(jì)劃進(jìn)行合適的改善，讓教學(xué)質(zhì)量更高。

3.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展圖解教學(xué)的策略

3.1 梳理教材中關(guān)于“畫(huà)圖”策略的相關(guān)知識(shí)

由于小學(xué)階段的教材對(duì)“畫(huà)圖學(xué)習(xí)的教學(xué)安排”是比較分散的，它作為一種解決問(wèn)題的策略被安排在各個(gè)學(xué)段、各個(gè)板塊之中，因此我們有必要讓學(xué)生回顧以往學(xué)過(guò)的有關(guān)“畫(huà)圖”解決問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)。

在數(shù)學(xué)學(xué)科中“圖”是千姿百態(tài)的，沒(méi)有固定的格式。

①實(shí)物圖。一二年級(jí)的學(xué)生要注重讀圖訓(xùn)練，教學(xué)中重視對(duì)“實(shí)物與數(shù)量一一對(duì)應(yīng)”意識(shí)的正確滲透和引導(dǎo)，借助直觀的實(shí)物圖進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生理解四則運(yùn)算的算理和規(guī)則，便于計(jì)算與解決問(wèn)題；

②示意圖說(shuō)明。中高段的學(xué)生可以借助較抽象一點(diǎn)的示意圖進(jìn)行教學(xué)，這樣有助于學(xué)生對(duì)題目的理解，對(duì)解題有一定的幫助。如利用點(diǎn)子圖理解“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算理”、利用直條圖理解整數(shù)四則混合運(yùn)算，利用直觀面積模型圖理解小數(shù)的基本性質(zhì)。搭配中的學(xué)問(wèn)、聯(lián)絡(luò)方式圖點(diǎn)陣中的規(guī)律等系列問(wèn)題。

③線段示意圖。在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，能幫助學(xué)生對(duì)比較抽象、和復(fù)雜的問(wèn)題有教好的理解。如各類(lèi)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。

④集合圖。利用各種形式的集合圖，把集合思想滲透進(jìn)去，如正方形與長(zhǎng)方體的關(guān)系圖、找50 以?xún)?nèi)4 和6 的公倍數(shù)。

⑤數(shù)軸圖（或數(shù)線圖）。如低年級(jí)利用數(shù)線圖理解“湊十法”的策略、利用數(shù)線圖感知分?jǐn)?shù)的大小。

⑥思維導(dǎo)圖（或樹(shù)圖、結(jié)構(gòu)圖）。在梳理、整合一個(gè)已學(xué)單元的知識(shí)時(shí)，利用思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，這樣有利于知識(shí)的理解，也有利于知識(shí)之間的聯(lián)系。如平面圖形面積公式的梳理、圓的知識(shí)點(diǎn)梳理等。

通過(guò)對(duì)教材的梳理，我們明白了每一個(gè)學(xué)段對(duì)“圖式”有不同的要求形式，解決不同類(lèi)型的題可以使用不同的“圖式”，關(guān)鍵之處就是需要學(xué)生親自經(jīng)歷“畫(huà)圖”的全過(guò)程，這樣有利于積累相應(yīng)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有所積累，才會(huì)“厚積薄發(fā)”。

3.2 選擇合適的教學(xué)情境

怎樣讓學(xué)生“水到渠成”地產(chǎn)生“畫(huà)圖意識(shí)”？我想選擇合適的教學(xué)情境尤為重要。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起源于自身的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)學(xué)生面對(duì)題意不清、數(shù)量關(guān)系不明確、文字?jǐn)⑹鲚^多、復(fù)雜的探索規(guī)律的問(wèn)題、圖形與幾何的變式等類(lèi)型題時(shí)，老師可以建議學(xué)生使用“畫(huà)圖”策略，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題借助實(shí)物圖、草圖（示意圖）或線段圖具體化，還原問(wèn)題的本來(lái)的樣子，使學(xué)生讀懂題意、理解題意。如學(xué)習(xí)了《長(zhǎng)方形周長(zhǎng)》后會(huì)碰到這樣一道題目“張伯伯想圍一塊長(zhǎng)方形的菜地，長(zhǎng)9 米，寬5 米，長(zhǎng)方形的一條邊靠院墻，剩下的三邊用柵欄圍上，柵欄長(zhǎng)多少米？”初次碰到這道題目的學(xué)生，由于缺乏生活經(jīng)驗(yàn)常常對(duì)“靠院墻”、“ 三邊圍上柵欄”不理解，以至于無(wú)法解題或只想到一種可能。此時(shí)，畫(huà)出示意圖，就最合適不過(guò)了。

3.3 循序漸進(jìn)地傳授“畫(huà)圖”解題技能

循序漸進(jìn)地傳授“畫(huà)圖”技能是值得嘗試的手段?！爱?huà)圖”解題能力的初步形成，大概會(huì)經(jīng)歷以下三個(gè)階段：

讀圖練習(xí)：看圖說(shuō)圖意，從“兩個(gè)條件、一個(gè)問(wèn)題”的單一性的應(yīng)用題入手，然后自主編一道符合算式的情境性應(yīng)用題（看圖列式）。

自主畫(huà)圖：圖的形式不限，但要講清楚圖意，并讓其他同學(xué)做好補(bǔ)充，并學(xué)會(huì)參照書(shū)上或老師的示意圖進(jìn)行模仿。

創(chuàng)作畫(huà)圖：有意識(shí)地規(guī)范畫(huà)出圖形，并用語(yǔ)言描述畫(huà)圖的過(guò)程，直到建立解決一般性問(wèn)題的模型。

這三個(gè)階段大致與小學(xué)低、中、高三個(gè)階段相對(duì)應(yīng)，每一階段都有相應(yīng)的畫(huà)圖技能需要學(xué)生去掌握。

3.4 小學(xué)生“畫(huà)圖”解題能力的提升

（1）“畫(huà)圖”教學(xué)的一般流程

教學(xué)中當(dāng)遇到合適的畫(huà)圖教學(xué)情境時(shí)，首先通過(guò)問(wèn)題的提出，促進(jìn)學(xué)生思考，鼓勵(lì)先自主畫(huà)圖尋找解決問(wèn)題的辦法。教學(xué)時(shí)，參照下列流程展開(kāi)：自主畫(huà)圖、觀察并補(bǔ)充完善、找數(shù)量關(guān)系、定解題思路、列式計(jì)算。

（2）提供班級(jí)展示的機(jī)會(huì)，加強(qiáng)學(xué)生思維碰撞。鼓勵(lì)學(xué)生自主選擇與自己的表達(dá)習(xí)慣相適應(yīng)的圖式來(lái)進(jìn)行表達(dá)，通過(guò)課堂上的展示交流活動(dòng)，讓不同層次的學(xué)生互相學(xué)習(xí)，提升畫(huà)圖解題能力。如不同的學(xué)生對(duì)“雞兔同籠”的理解和做法就有所區(qū)別，有的同學(xué)選擇假設(shè)法、方程法，有的同學(xué)會(huì)直接選擇畫(huà)圖法。

4.讓學(xué)生喜歡畫(huà)圖解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

4.1 趣味畫(huà)圖，激發(fā)畫(huà)圖興趣

興趣是最好的老師，一些學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)題比較難，存在“讀完題目不能理解，不能正確提取數(shù)學(xué)信息，不能找出數(shù)量之間的關(guān)系”的情況，時(shí)間一長(zhǎng)，甚至可能會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼感。其實(shí)我們可以用一幅幅生動(dòng)有趣的圖畫(huà)把看似枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)題呈現(xiàn)出來(lái)。

例如，“解決問(wèn)題的策略”教學(xué)中，教師可以出一道例題：小紅和小明每人有一根相同的繩子，小紅用去了這根繩子的2/7，小明用去了2/7 米，他倆誰(shuí)剩下的繩子長(zhǎng)？應(yīng)該怎么想？對(duì)于這道題，老師先畫(huà)出線段圖，并加以說(shuō)明，講述自己的思考過(guò)程。結(jié)合線段圖講述如下：兩根繩子的長(zhǎng)度，分三種情況，如果繩子的長(zhǎng)度是1 米，用去2/7，就是用去2/7 米，兩個(gè)人用去的一樣多，剩下的也是一樣多；如果繩子的長(zhǎng)度小于1 米，小紅用去2/7，用去的小于2/7 米，所以小紅剩下的長(zhǎng)；如果繩子的長(zhǎng)度大于1 米，小紅用去2/7，用去的大于2/7 米，所以小明剩下的多。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生對(duì)這種問(wèn)題的有了深入的理解。學(xué)生體驗(yàn)到了“圖解”數(shù)學(xué)的優(yōu)越性，以后再遇到類(lèi)似問(wèn)題，他們首先會(huì)想到“圖解”。

4.2 設(shè)置懸念，培養(yǎng)畫(huà)圖意識(shí)

很多小學(xué)生的畫(huà)圖意識(shí)不強(qiáng)，在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果不能第一時(shí)間解決，一般會(huì)選擇死磕或詢(xún)問(wèn)其他同學(xué)，不會(huì)聯(lián)系到圖形上去，不能借助圖形對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化。也就是說(shuō)利用圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)不強(qiáng)。在教學(xué)中教師首先要認(rèn)可“圖解法”對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的價(jià)值。常常使用畫(huà)圖來(lái)教學(xué)，當(dāng)學(xué)生不知道怎么畫(huà)圖或畫(huà)出的圖不正確，教師可以利用多媒體技術(shù)，展現(xiàn)圖畫(huà)、視頻等，讓學(xué)生掌握數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，更加直觀的掌握畫(huà)圖方法，增強(qiáng)畫(huà)圖意識(shí)。

例如，在學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問(wèn)題的過(guò)程中，雞兔同籠，有8 個(gè)頭，26 條腿，雞有幾只？兔有幾只？學(xué)生對(duì)于相關(guān)概念的了解不夠透徹，教師可以利用圖形讓學(xué)生更加深刻地了解其意義。比如可以先畫(huà)8 個(gè)圓圈表示這8 只動(dòng)物，然后給每只動(dòng)物先畫(huà)上2 條腿（也就是都看成雞），這樣一共用16 條腿，還剩下10 條腿。一次增加2 條腿，一只雞就變成了一只兔，要把10 條畫(huà)完，要把5 只雞變成兔，畫(huà)完圖后，答案一目了然。教師在相應(yīng)的基礎(chǔ)上，還可以將問(wèn)題加深導(dǎo)入，從而幫助學(xué)生更好地理解與運(yùn)用。在這樣的引導(dǎo)下，通過(guò)圖形關(guān)系，輕輕松松解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題。

4.3 立足探究，提升畫(huà)圖技能

新課標(biāo)要求通過(guò)教學(xué)，讓學(xué)生能綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。因此教師要關(guān)注提升學(xué)生的圖形意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握畫(huà)圖技能。學(xué)生需要在教師的指導(dǎo)下，掌握“圖解法”的應(yīng)用技巧，能夠借助畫(huà)圖表示題目的意思。教師通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)控和指導(dǎo)，提升學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖分析題目意思的能力，進(jìn)而提升分析和解決問(wèn)題的能力。

有一道這樣的題：希望小學(xué)有一塊正方形花圃,原來(lái)長(zhǎng)10 米,在修建校園時(shí),把花圃的邊長(zhǎng)長(zhǎng)增加3 米,這樣花圃的面積增加了多少平方米？

給學(xué)生出示了這道題目后，開(kāi)始時(shí)他們眉頭緊鎖，無(wú)從下手，老師啟發(fā)學(xué)生嘗試畫(huà)圖，并循序漸進(jìn)地帶領(lǐng)學(xué)生畫(huà)出示意圖，繼而引領(lǐng)學(xué)生一步步分析題意，從圖中明確數(shù)量關(guān)系，確定解題方法。同學(xué)們從圖中直觀找出了等量關(guān)系，求出了原來(lái)的長(zhǎng)，求出了現(xiàn)在的寬，快速有效地解決了問(wèn)題。通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)畫(huà)圖產(chǎn)生了感情，他們喜歡上了畫(huà)圖，不是把畫(huà)圖當(dāng)成一種累贅、一種麻煩，而是把畫(huà)圖當(dāng)成了一種需要，一種策略。

4.4 加強(qiáng)引導(dǎo)，豐富畫(huà)圖實(shí)踐

對(duì)于學(xué)生經(jīng)常搞不清楚的和倍問(wèn)題、差倍問(wèn)題，我讓他們用畫(huà)“線段圖”的方法解決，首先找標(biāo)準(zhǔn)量，用一定長(zhǎng)度的線段表示，在用另一條線段表示另一個(gè)量，線段的長(zhǎng)短體現(xiàn)出倍數(shù)關(guān)系及多少關(guān)系，最后標(biāo)上數(shù)據(jù)和問(wèn)號(hào)，在觀察線段圖的基礎(chǔ)上，分析兩條線段的關(guān)系，從而分析它們的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而選用合適的方法進(jìn)行計(jì)算。比如這道題：淘氣有3 本書(shū)，笑笑的書(shū)是淘氣的2 倍多2 本，兩個(gè)人一共17 本書(shū)，淘氣有多少本書(shū)？笑笑有多少本書(shū)？在本題中，讓學(xué)生分析題意，畫(huà)一格表示淘氣的書(shū)，畫(huà)二格還多了不到一格表示笑笑的書(shū)，兩條線段的和就表示笑笑和淘氣一共17 本書(shū)。線段圖直觀地表示出重要的關(guān)鍵信息，給解題帶來(lái)了靈感。

結(jié)語(yǔ)

“圖解”的方法可以使問(wèn)題變得更直觀，促進(jìn)學(xué)生的理解，畫(huà)圖將抽象問(wèn)題具體化、直觀化，讓學(xué)生很快就能找到解題思路，提高解題能力。畫(huà)圖能幫助學(xué)生驗(yàn)證答案的正確性，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生借助圖分析理解數(shù)量關(guān)系，當(dāng)學(xué)生做完題后，可以畫(huà)圖驗(yàn)證答案的正確性。

畫(huà)圖解決數(shù)學(xué)問(wèn)題滲透了數(shù)形結(jié)合思想、對(duì)應(yīng)思想、轉(zhuǎn)化思想等，在分析問(wèn)題的過(guò)程中注意數(shù)形結(jié)合考查，問(wèn)題與數(shù)量關(guān)系根據(jù)問(wèn)題的具體情況相互轉(zhuǎn)化，做到復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化、難易結(jié)合。在提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，也有效地提高了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，在畫(huà)圖策略中引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。