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    在遷移中探索 在變化中成長

    2023-09-29 07:34:18江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學(xué)成長
    初中生世界 2023年34期
    關(guān)鍵詞:字型垂線過點

    文/江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學(xué) 成長

    經(jīng)過了本章的學(xué)習(xí),我知道了全等三角形是圖形變換的基礎(chǔ)。利用全等三角形,能夠解決大量圖形中線段、角的相關(guān)問題。學(xué)好全等三角形對于發(fā)展我們的邏輯推理能力具有重要的意義。下面,我們來看這道題。

    例題如圖1,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一點,PA=PD,∠APD=90°,AB=3,CD=7。求四邊形ABCD的面積。

    圖1

    題目已經(jīng)給出了∠B=∠C、PA=PD兩個條件,所以我們只需要證另一個邊或角相等即可。而本題明顯無法證明邊的相等關(guān)系,所以我們將目標定為證明角相等??墒窃撊绾巫C明呢?

    我們可以從條件出發(fā),由∠B=90°結(jié)合“直角三角形兩銳角互余”得到∠BAP+∠APB=90°;由∠APD=90°及平角的定義得到∠APB+∠DPC=90°;再根據(jù)“同角的余角相等”,易證∠BAP=∠CPD。從而可證△APB≌△PDC,所以AB=PC,BP=CD,再利用梯形面積公式求得ABCD的面積為50。

    這類全等問題中的圖形猶如字母K,我們不妨稱之為“K”字型全等。這類問題雖然由多條垂線構(gòu)成,看似煩瑣,但只要挖掘出垂線所帶來的條件,尋找“K”字型,即可成功解題。根據(jù)“K”字型全等,我們再一起嘗試解答變式1吧。

    變式1 如圖2,在△ABC和△DBE中,AB=BC,DB=BE,∠ABC=∠DBE=90°,連接AD、CE,過點B的直線分別交AD、CE于點N、M,MN⊥AD。求證:M是CE的中點。

    圖2

    我第一眼見到這個圖形,沒有任何頭緒,但是仔細一看,卻能發(fā)現(xiàn)一絲“K”字型的影子:三角形頂點共直線,有垂直,有邊相等。于是我毫不猶豫,選擇過點C、E分別向直線MN作垂線,垂足為P、Q(如圖3)。

    圖3

    此時,熟悉的“K”字型就被我構(gòu)造出來了。根據(jù)例題所求結(jié)論,易得△ANB≌△BPC、△DNB≌△BQE。但是,如何由兩個全等關(guān)系得到“M是CE中點”這一結(jié)論呢?靜心思考,我又發(fā)現(xiàn)了一絲“端倪”:要證中點,只需證兩條線段相等,即證線段CM、ME分別所在的兩個三角形(△CPM與△EQM)全等,問題迎刃而解!變式2 就留給同學(xué)們自己嘗試一下啦!

    變式2 在△ABC和△DBE中,AB=BC,DB=BE,∠ABC+∠DBE=180°,連接AD、CE,過點B的直線分別交AD、CE于點N、M,∠ANM=∠ABC。試問:M還是CE的中點嗎?請自行畫圖并說明你得到的結(jié)論的正確性。

    全等三角形的應(yīng)用不僅僅停留在幾何問題之中。解決復(fù)雜的全等三角形問題,只要尋找解決基本問題的方法即可。我想,這也是數(shù)學(xué)變化之美的一種體現(xiàn)吧!

    教師點評:

    全等三角形的學(xué)習(xí),需要同學(xué)們在基本圖形的變化中去探索、發(fā)現(xiàn)。圖形變化之繁,思想方法之多,都是對同學(xué)們的考驗。我們要學(xué)習(xí)成長同學(xué)善于思考、遷移、歸納總結(jié)的好習(xí)慣,理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),舉一反三,以不變應(yīng)萬變,積極思考,主動探究,就一定能學(xué)好數(shù)學(xué),用好數(shù)學(xué),將來為祖國做出更大的貢獻。

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