基于傅里葉級數(shù)的鋼筋桁架樓承板振動控制方法

陳俊言，姚偉豪，王立歡，符修育，林貴鵬

（1.中建二局第一建筑工程有限公司，北京 100000；2.中國建筑第二工程局有限公司，北京 100000）

1 引言

傅里葉級數(shù)是一種特殊的三角級數(shù)， 其在任意一個數(shù)值周期內(nèi)的函數(shù)關(guān)系都可以表示為正弦或余弦函數(shù)， 且無窮級數(shù)指標之間的基函數(shù)正交關(guān)系也始終不會發(fā)生變化。 根據(jù)歐拉公式推導(dǎo)原則可知， 三角函數(shù)可以被直接轉(zhuǎn)化為指數(shù)表達式，所以，傅里葉級數(shù)也是一種符合數(shù)值變化規(guī)律的指數(shù)級數(shù)條件[1]。 在函數(shù)值附屬區(qū)域內(nèi)，傅里葉級數(shù)指標的求解要求兩個不同向量的內(nèi)積結(jié)果必須等于零， 這就意味著除了空間相交關(guān)系外，這兩個向量參數(shù)之間沒有其他相關(guān)性。

鋼筋桁架樓承板是指由鋼筋桁架和底板組合而成的承重板結(jié)構(gòu)，為保證結(jié)構(gòu)體系的抗壓能力，底板與鋼筋桁架之間主要通過電阻點焊的方式進行連接。 鋼筋部分包括上弦、下弦、腹桿，其中，上弦是指最上端各節(jié)點之間的連接桿件；下弦則是指最下端各節(jié)點之間的連接桿件；腹桿是指存在于上弦、下弦部件之間的過渡桿件結(jié)構(gòu)。 隨著樓層高度的不斷增加，鋼筋桁架樓承板所負擔(dān)的力學(xué)載荷作用也在不斷增大， 這就會導(dǎo)致樓承板出現(xiàn)形變量， 并最終造成樓體坍塌。 為解決上述問題， 本文針對基于傅里葉級數(shù)的鋼筋桁架樓承板振動控制方法展開研究。

2 鋼筋桁架樓承板的載荷模型

對于鋼筋桁架樓承板載荷模型的求解是實現(xiàn)對其振動行為有效控制的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，本文將在傅里葉級數(shù)指標的支持下，建立非齊次波動方程， 再聯(lián)合其他參數(shù)向量確定具體的載荷動力條件。

2.1 傅里葉級數(shù)指標

求解傅里葉級數(shù)指標需要分別定義獲取的數(shù)據(jù)樣本的值域與頻域特征，并根據(jù)數(shù)據(jù)級數(shù)展開條件，判斷當前求解結(jié)果是否符合實際應(yīng)用需求[2]。 對于鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)，傅里葉級數(shù)指標可以作為判別振動特征是否具有可控性特征的基本數(shù)值條件，因此，為實現(xiàn)對其振動行為的有效控制，應(yīng)精準定義傅里葉級數(shù)指標的具體取值范圍。

設(shè)α為一個隨機選取的數(shù)據(jù)樣本參量，且α＞1 的不等式取值條件恒成立；i為級數(shù)展開條件的最小取值結(jié)果；為數(shù)據(jù)樣本的值域特征；為數(shù)據(jù)樣本的頻域特征；β為頻域判別參數(shù)，聯(lián)立上述物理量，可將傅里葉級數(shù)指標計算結(jié)果pα表示為：

若所選擇數(shù)據(jù)樣本參量具有明顯對稱性， 則表示傅里葉級數(shù)指標計算結(jié)果也具有明顯對稱性， 若求解所得參數(shù)只保持單向性特征， 則表示當前求解原則不能適應(yīng)傅里葉級數(shù)指標的構(gòu)建原則。

2.2 非齊次波動方程

非齊次波動方程是以傅里葉級數(shù)指標為基礎(chǔ)建立的方程參考條件。 求解鋼筋桁架樓承板力學(xué)載荷作用時，非齊次波動方程表達式既決定了參與計算指標參量的取值范圍， 也對載荷模型的有效性提出了更高的要求。 所謂非齊次，是指參數(shù)指標的取值可以不屬于同一數(shù)值區(qū)間， 將其對應(yīng)在鋼筋桁架樓承板載荷模型中， 則可以理解為載荷向量可以不屬于同一受力平面， 即相同或不相同平面內(nèi)的載荷系數(shù)只要滿足同一傅里葉級數(shù)指標求解原則， 都可以被同一個非齊次波動方程定義[3]。設(shè)φ為基于傅里葉級數(shù)指標求解原則的力學(xué)載荷向量取值參數(shù)；q＇為非齊次參考項；為所選力學(xué)載荷向量的波動特征。 在上述物理量的支持下，聯(lián)立公式（1），推導(dǎo)基于傅里葉級數(shù)的力學(xué)載荷系數(shù)非齊次波動方程W表達式為：

在實際應(yīng)用過程中， 鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)所承擔(dān)的力學(xué)載荷作用強度不可能為零， 故而非齊次波動方程的求解結(jié)果也就不可能等于零， 這就是樓承板結(jié)構(gòu)在較小壓力形變情況下不會發(fā)生變形的主要原因。

2.3 載荷動力條件

載荷動力條件就是指能夠?qū)е聵浅邪宄霈F(xiàn)形變的壓力作用條件，一般來說，在默認不發(fā)生明顯形變量的情況下，可以認為載荷動力條件的取值越大，表示鋼筋桁架樓承板所承擔(dān)的力學(xué)負載量越大。 對于鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)而言，施加在某一固定位置處的力學(xué)作用具有明顯可傳導(dǎo)的能力， 這就表示隨著力學(xué)負載作用行為發(fā)生變化， 樓承板表面可能會出現(xiàn)載荷分布不均勻的情況， 而載荷動力條件的存在恰好解決了上述問題， 該項應(yīng)用條件規(guī)定一定程度內(nèi)的載荷不均勻分布只會影響力學(xué)負載的作用能力， 并不會造成明顯的樓承板形變問題[4]。因此，在控制由形變作用引起的樓承板振動行為時，只要求力學(xué)負載作用數(shù)值處于可控范圍內(nèi)， 就可以根據(jù)傅里葉級數(shù)指標與非齊次波動方程之間的關(guān)聯(lián)特性， 完成對實際載荷數(shù)值的精準求解。

3 振動行為控制

在傅里葉級數(shù)載荷模型的基礎(chǔ)上， 計算鋼筋桁架樓承板的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）參數(shù)、深度系數(shù)與廣度系數(shù)，就可以實現(xiàn)對樓承板結(jié)構(gòu)振動行為的有效控制。

3.1 TMD參數(shù)

TMD 參數(shù)描述了鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)在外部載荷作用下所表現(xiàn)出的彈性力學(xué)振動能力。 對于彈性力學(xué)作用的理解，可以類比為一個懸掛在固定結(jié)構(gòu)之上的彈簧元件， 隨著力學(xué)作用等級的增大，彈簧元件雖然會出現(xiàn)形變量，但由于其自身具有回彈能力，所以，只要表現(xiàn)時間足夠長，已發(fā)生形變的彈簧會再次恢復(fù)至初始狀態(tài)[5]。鋼筋桁架樓承板的彈性形變能力就是指隨著外部載荷作用強度的增大， 樓承板結(jié)構(gòu)所表現(xiàn)出的形變量雖然會增大， 但這種形變量卻提供了一定的減振作用， 而這種減振效果也可以在一定程度上抵消外部所施加的負載作用， 進而實現(xiàn)減小振動響應(yīng)的目的。 對于TMD 參數(shù)r的求解公式為：

式中，φ為彈性形變參數(shù)；k為抗力行為向量；g為承力行為向量。 鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)所具有的彈性復(fù)原能力有限，所以，TMD 參數(shù)指標的計算結(jié)果也可能無限大。

3.2 深度系數(shù)

深度參數(shù)是指鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)受力作用在縱深方向上的表現(xiàn)能力，其取值越大，表示力學(xué)載荷在縱深方向上的作用能力越強。 從宏觀角度來看，縱深方向上力學(xué)作用會導(dǎo)致鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)出現(xiàn)橫向斷裂行為， 由于外部負載力的作用強度會隨著樓承板厚度的增加而不斷減小，所以，確保深度系數(shù)指標的取值足夠小， 才有可能對鋼筋桁架樓承板的振動表現(xiàn)行為進行有效控制[6]。設(shè)γ為鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)的橫向斷裂系數(shù)，f為力學(xué)負載作用在縱深方向上的物理分量。 在上述物理量的支持下，聯(lián)立公式（3），推導(dǎo)深度參數(shù)d計算式為：

如果鋼筋桁架樓承板的縱深斷裂行為在到達某一深度水平后不再向下延伸， 則表示當前情況下外部載荷的力學(xué)作用得到完全發(fā)揮。

3.3 廣度系數(shù)

廣度系數(shù)是指鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)受力作用在水平方向上的表現(xiàn)能力，其取值越大，表示力學(xué)載荷在水平方向上的作用能力越強。 水平方向上的力學(xué)作用可以同時導(dǎo)致鋼筋桁架樓承板的縱向與橫向斷裂行為，但前者的表現(xiàn)能力更強。 與縱深方向上的外部負載力作用不同， 水平負載力作用能力不會隨著樓承板直徑的增大而減小，所以，只要保持廣度系數(shù)處于既定數(shù)值范圍之內(nèi)， 就有可能實現(xiàn)對鋼筋桁架樓承板振動表現(xiàn)行為的有效控制。 求解廣度系數(shù)l的公式如下：

式中，h為力學(xué)負載作用在水平方向上的物理分量；X為樓承板受力面的寬度數(shù)值。 為解決因力學(xué)載荷作用過大造成的樓承板振動問題，應(yīng)同時參考TMD 參數(shù)、深度參數(shù)與廣度系數(shù)。

4 實例分析

單位面積上的力學(xué)載荷作用會導(dǎo)致樓承板出現(xiàn)物理形變， 而這種形變量就是造成鋼筋桁架樓承板出現(xiàn)振動行為的主要原因。 本次實驗以屈服強度在330～380 MPa 的樓承板作為實驗材料，在材料密度較為均勻的區(qū)域內(nèi)，截取一塊面積為1 m2的板材結(jié)構(gòu)作為實驗對象，分別施加1.0×109N、2.0×109N、3.0×109N、4.0×109N、5.0×109N 五種不同的作用力，記錄在不同作用力情況下樓承板的具體形變量（規(guī)定形變量不超過5×10-5mm，力學(xué)載荷作用都不會導(dǎo)致樓承板結(jié)構(gòu)出現(xiàn)明顯振動行為），如圖1 所示。

圖1 鋼筋桁架樓承板形變量

分析圖1 可知，隨著力學(xué)載荷作用強度的增大，鋼筋桁架樓承板形變量均值會出現(xiàn)不斷增大的變化態(tài)勢， 但其最大值始終沒有達到5×10-5mm，表示本次實驗所選擇的力學(xué)載荷作用強度不會導(dǎo)致樓承板結(jié)構(gòu)出現(xiàn)明顯振動行為。

5 結(jié)語

基于傅里葉級數(shù)的鋼筋桁架樓承板振動控制方法利用非齊次波動方程，推導(dǎo)載荷動力條件，又根據(jù)TMD 參數(shù)、深度參數(shù)、廣度系數(shù)的取值范圍，對樓承板結(jié)構(gòu)在力學(xué)載荷作用下表現(xiàn)出來的振動行為進行有限控制。 隨著這種新型控制方法的應(yīng)用，樓承板結(jié)構(gòu)在力學(xué)載荷作用達到5.0×109N 的情況下也不會出現(xiàn)明顯形變， 能夠較好地解決因力學(xué)載荷作用過大造成的樓承板振動問題，符合實際應(yīng)用需求。 未來相關(guān)組織機構(gòu)可以針對傅里葉級數(shù)指標進行繼續(xù)改進， 在提升鋼筋桁架樓承板結(jié)構(gòu)承力穩(wěn)定性的同時，避免板材振動的出現(xiàn)，從而最大化提升樓承板的應(yīng)用安全性。