注重體積概念教學(xué)，積累數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)

李屹峰

［摘? 要］ 體積是小學(xué)數(shù)學(xué)幾何板塊的核心內(nèi)容，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，體積概念教學(xué)一直受到廣大教師的關(guān)注。文章認(rèn)為，當(dāng)前體積概念教學(xué)存在的問(wèn)題有：學(xué)生對(duì)面積、體積的認(rèn)識(shí)不夠透徹；學(xué)生對(duì)“等積變形”理解不夠深入等。文章由此提出相應(yīng)的教學(xué)策略有：多層比較，建構(gòu)概念；三維推進(jìn)，內(nèi)化概念；物態(tài)轉(zhuǎn)化，拓展概念。

［關(guān)鍵詞］ 體積概念；教學(xué)經(jīng)驗(yàn)；教學(xué)策略

概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的基本單位，概念教學(xué)的深度對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成效有著直接影響［１］。有些教師受傳統(tǒng)教育理念的影響，仍然存在忽視課標(biāo)要求、教材意圖、學(xué)情與概念本質(zhì)的現(xiàn)象，這種“重結(jié)論，輕概念”的思想，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的理解只能停留在淺表層面，無(wú)法準(zhǔn)確獲得概念的內(nèi)涵與外延。為了消除這種不良現(xiàn)象，教師必須從實(shí)際出發(fā)，注重概念的深度教學(xué)，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的真正價(jià)值與意義。

一、體積概念教學(xué)存在的問(wèn)題

1. 學(xué)生對(duì)面積、體積的認(rèn)識(shí)不夠透徹

體積指物體所占空間的大小。顯然，“空間”一詞是對(duì)體積概念的詮釋。其實(shí)，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，小學(xué)生已經(jīng)明確地認(rèn)識(shí)到哈密瓜比獼猴桃大、洗衣機(jī)比微波爐大等，這些生活經(jīng)驗(yàn)帶給他們對(duì)體積的認(rèn)識(shí)就是“物體的大小”。實(shí)際教學(xué)中，不少教師常常會(huì)注重強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)“空間”這個(gè)詞眼的表面釋義，而忽略了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵進(jìn)行理解與感悟。這就導(dǎo)致了學(xué)生雖然能一字不差地說(shuō)出體積的概念，卻在實(shí)際應(yīng)用時(shí)經(jīng)常與面積混淆。

比如以下問(wèn)題：（1）假設(shè)學(xué)校準(zhǔn)備砌一面長(zhǎng)、寬、高為15米、24米、2米的圍墻，已知每立方米用磚的數(shù)量為520塊，求砌這堵圍墻一共需要用多少塊磚？（2）修建一個(gè)長(zhǎng)、寬、深為50米、25米、2米的游泳池，一共需要貼多少平方米的瓷磚？有些學(xué)生總是搞不清楚以上問(wèn)題是求表面積，還是求體積。究其主要原因就在于學(xué)生對(duì)體積與面積概念的內(nèi)涵理解得不夠透徹。

2. 學(xué)生對(duì)“等積變形”理解不夠深入

在圓柱與圓錐的練習(xí)中出現(xiàn)了計(jì)算不規(guī)則物體體積的問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中，教師一般選擇讓學(xué)生觀察板書的草圖或觀看課件演示進(jìn)行分析與思考，從而獲得不規(guī)則物體的體積計(jì)算方法，即求水上升部分的體積（物體放進(jìn)儲(chǔ)水的圓柱形容器內(nèi)）。

這種教學(xué)方法，學(xué)生在課堂上貌似都能掌握，但遇到實(shí)際應(yīng)用時(shí)，有些學(xué)生的思維會(huì)受到物體形狀的影響。比如，放進(jìn)水中的物體是圓錐形，在計(jì)算體積時(shí)將上升部分水的體積用計(jì)算圓錐體積的公式進(jìn)行計(jì)算。出現(xiàn)這種問(wèn)題的主要原因在于學(xué)生在知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程中，缺乏實(shí)際操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的支持，當(dāng)應(yīng)用概念時(shí)則缺乏一定的想象力，無(wú)法從真正意義上理解物體體積的守恒定律。

二、教學(xué)策略

1. 多層比較，建構(gòu)概念

學(xué)習(xí)體積的概念時(shí)，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)物體的大小有了自己的判斷與理解，這些經(jīng)驗(yàn)作為“前概念”，可以很好地幫助學(xué)生理解體積的概念。因此，結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行體積概念的教學(xué)，效果明顯。

（1）鏈接生活經(jīng)驗(yàn)，初探體積概念

課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可選擇學(xué)生所感興趣的小游戲來(lái)激發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的探究興趣。比如，教師用手勢(shì)比畫教室里物品的大小，讓學(xué)生來(lái)猜想教師所比畫的是什么物品。

隨著教師用手勢(shì)比畫出物品的長(zhǎng)、寬、高，有學(xué)生猜出是空調(diào)、講臺(tái)、課桌等。猜想過(guò)程中也存在爭(zhēng)議，有的學(xué)生認(rèn)為教師所比畫的并不是某個(gè)物品，因?yàn)閷挾炔粚?duì)等。在學(xué)生激烈的猜想與討論中，師生再互換角色，讓一個(gè)學(xué)生來(lái)比畫，其他學(xué)生和教師一起猜想他比畫的是什么。

整個(gè)游戲過(guò)程，氛圍和諧，學(xué)生情緒高漲。通過(guò)游戲的開(kāi)展，學(xué)生自主提取出自己在生活中對(duì)物品大小經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)，基本能結(jié)合別人用手勢(shì)所比畫的物體大小而辨別出相應(yīng)的物品，這種生活經(jīng)驗(yàn)為學(xué)生初步建立體積的概念奠定了基礎(chǔ)。在學(xué)生對(duì)體積有了初步感知后，自然就會(huì)對(duì)物體體積的大小在頭腦中形成一個(gè)初步的認(rèn)知。

（2）通過(guò)比較經(jīng)驗(yàn)，理解體積概念

師：剛才“比畫猜想”的游戲，大家參與的積極性都很高，對(duì)于這些物品的大小，你們是怎么判斷的呢？

生1：不需要判斷呀，一眼就能看出來(lái)，比如課桌比椅子大。

師：這些一眼就能判斷出大小的方式，稱為“目測(cè)法”?，F(xiàn)在大家看我手中的字典和練習(xí)冊(cè)，你們能用“目測(cè)法”直接判斷出它們誰(shuí)的體積大嗎？

生2：肯定是字典的體積大，因?yàn)樗瘛?/p>

生3：我不這么認(rèn)為，練習(xí)冊(cè)肯定比字典的體積大，你看它的封面比字典大那么多。

生2：但是練習(xí)冊(cè)薄呀。

師：我們究竟該怎樣一眼就能判斷出這兩者的體積大小呢？

生4：我們可以用“折疊法”，將練習(xí)冊(cè)折疊成字典的模樣，然后再比較。

教師用課件展示出兩個(gè)大小接近、但厚度卻不一樣的長(zhǎng)方體，讓學(xué)生來(lái)判斷哪個(gè)長(zhǎng)方體的體積更大一些。學(xué)生一致認(rèn)為，這與比較字典和練習(xí)冊(cè)一樣，無(wú)法直接用肉眼目測(cè)出來(lái)。有學(xué)生提出：將這兩個(gè)長(zhǎng)方體切割成一個(gè)個(gè)大小一樣的小正方體，再將小正方體進(jìn)行重組，而后再判斷這兩個(gè)圖形的大小，此時(shí)誰(shuí)大誰(shuí)小就水落石出了。

隨著問(wèn)題的深入，教師將這種利用小正方體來(lái)判斷長(zhǎng)方體大小的方法板書為“測(cè)量法”。同時(shí)又取出一個(gè)圍棋子和一個(gè)小玻璃球，讓大家思考：這兩個(gè)物品無(wú)法折疊，也無(wú)法分割，我們?cè)撛趺磁袛喑鏊鼈兊拇笮∧?？這樣，“排水法”在教師循循善誘的引導(dǎo)下，自然而然地形成了。

學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)在具體實(shí)物體積的比較中，得以有效提取。面對(duì)字典與練習(xí)冊(cè)大小的比較，學(xué)生結(jié)合自身的生活經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為將練習(xí)冊(cè)進(jìn)行折疊，或許能進(jìn)行比較；面對(duì)大小不一的長(zhǎng)方體，則考慮轉(zhuǎn)化成單位體積一樣的小正方體進(jìn)行切割、拼接，從而判斷出大小。此過(guò)程讓學(xué)生成功地將“標(biāo)準(zhǔn)量”這個(gè)信息提了出來(lái)，這也為后面的體積單位教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

“排水法”是建立在更深層次的認(rèn)知水平或生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上而形成的，不少學(xué)生提出自己是結(jié)合了《烏鴉喝水》的故事，想到了這種方法。不論哪種判斷方法的應(yīng)用，都與學(xué)生原有的認(rèn)知水平與生活經(jīng)驗(yàn)有著密不可分的聯(lián)系，此教學(xué)過(guò)程進(jìn)一步加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)體積概念的理解［２］。

2. 三維推進(jìn)，內(nèi)化概念

培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何的教學(xué)目標(biāo)之一，其實(shí)質(zhì)借助于一定的教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。空間想象力是指學(xué)生對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)中事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析與創(chuàng)新的一種能力。受身心發(fā)展規(guī)律影響，小學(xué)生對(duì)物體的第一感覺(jué)以平面認(rèn)識(shí)為主，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生從這些物品的形狀、位置上去分析。

空間想象出來(lái)的物品與實(shí)際物品是否一致呢？比如在一張白紙上畫一個(gè)立體圖形，有些空間想象力豐富的學(xué)生很快就能感知到這是一件什么形狀的物品，這就是空間想象力高的體現(xiàn)。作為三維測(cè)度的體積，是學(xué)生對(duì)立體幾何的初步接觸，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力具有舉足輕重的影響。

為了充分幫助學(xué)生理解什么是體積，教師可利用一些教學(xué)手段充分激活學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一維、二維與三維的變化與比較，通過(guò)豐富的想象來(lái)抽象出體積的概念，達(dá)到三維測(cè)度的理解。

教學(xué)片段（1）：點(diǎn)線面體逐層推進(jìn)

師：大家思考一下，將一個(gè)點(diǎn)向上平移一段距離，能得到一個(gè)什么圖形？

生1：可以得到一根線段。（畫圖板演）

師：對(duì)于線段ab與cd，是否可以比較它們的大??？

生2：可以，就是ab>cd或ab<cd。

師：很好！現(xiàn)在發(fā)揮你們的想象，將線段ab與cd分別往右側(cè)平移，此時(shí)會(huì)形成一個(gè)怎樣的圖形呢？

生3：應(yīng)該可以形成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：大家還有不同意見(jiàn)嗎？

生4：也有可能形成正方形。

師（PPT演示，兩個(gè)圖形分別用不同顏色表示）：以上圖形，我們可以比較大小嗎？

生5：可以。

師：若將以上長(zhǎng)方形再往后平移一段，此時(shí)獲得了什么圖形呢？

生6：長(zhǎng)方形應(yīng)該變成了長(zhǎng)方體。

生7：也有可能變成正方體吧？

生8：不可能，因?yàn)橛幸粋€(gè)面已經(jīng)是長(zhǎng)方形了，怎么會(huì)變成正方體呢？

師：非常好！那么，正方形往后平移一段，會(huì)獲得什么圖形呢？

生9：可能形成一個(gè)正方體或長(zhǎng)方體。

師（PPT演示）：非常好，考慮得很周全。此時(shí)所獲得的各個(gè)立體圖形還能用“＞”或“＜”比較大小嗎？

生10：可以的。

師：綜上，三次比大小，分別比的是誰(shuí)的大小？

生11：第一次比的是線段大小，第二次比的是面積大小，第三次比的是體積大小。

……

此過(guò)程，由點(diǎn)移動(dòng)成線，線又移動(dòng)成面，面再次移動(dòng)形成了體，學(xué)生的思維經(jīng)歷了點(diǎn)線面體的想象。結(jié)合PPT的演示，學(xué)生明確了平時(shí)所認(rèn)識(shí)到的物體大小和長(zhǎng)度、面積有著質(zhì)的區(qū)別，卻又與這些條件有著密不可分的聯(lián)系，由此對(duì)容易混淆的面積與體積形成了更加直觀、形象、深刻的認(rèn)識(shí)。

在視覺(jué)直接刺激與直觀想象雙重作用下，學(xué)生的思維經(jīng)歷了碰撞，不再將目光停留在書面文字上，而是從意識(shí)形態(tài)上對(duì)體積形成了一個(gè)深刻認(rèn)識(shí)，有效地避免了平面概念與立體概念混淆不清的狀態(tài)，體積概念也在思維的碰撞中水到渠成。

3. 物態(tài)轉(zhuǎn)化，拓展概念

當(dāng)學(xué)生對(duì)體積的概念有所了解后，就會(huì)涉及概念的應(yīng)用，有些問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)比較生疏。比如砂石鋪路、鐵塊熔鑄、水倒入不同容器中或物體浸泡在水中等問(wèn)題，學(xué)生因缺乏相關(guān)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)這些現(xiàn)象難以形成直觀的認(rèn)識(shí)，解題時(shí)容易漏洞百出。

以上這些問(wèn)題都涉及體積的守恒性特征，也就是物體的體積不因物體的形狀、位置的變化而發(fā)生改變。這種守恒性，一般有三類情形：①固態(tài)→固態(tài)，如鋪沙、熔鑄等；②固態(tài)→液態(tài)，如物體沉入水中，水面上升；③液態(tài)→液態(tài)，不同容器之間互相倒水的問(wèn)題。其中，對(duì)于第②種情形，讓學(xué)生觀察、體驗(yàn)物體沉沒(méi)到水中，感悟水面上升部分的體積就等于物體本身的體積，此過(guò)程非常重要，能使學(xué)生對(duì)“等積變形”產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)靈活解題奠定基礎(chǔ)。

教學(xué)片段（2）：體積守恒的實(shí)驗(yàn)

將圍棋子與小玻璃球分別放進(jìn)有水的量筒內(nèi)，比較兩者的體積大小。

師：當(dāng)我們將物品放進(jìn)量筒時(shí)，水并沒(méi)有增加，但水位卻上升了，這是為什么呢？

生1：因?yàn)槲锲愤M(jìn)入水中占據(jù)了水原本的位置，就將多余的水?dāng)D上來(lái)了。

師：也就是說(shuō)物品的體積就相當(dāng)于上升水的體積，對(duì)嗎？

生2：對(duì)的。

師：通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)，我們都知道將2顆圍棋子放進(jìn)量筒，水位上升了1格，如果我們想讓水位上升4格，需要放進(jìn)幾顆圍棋子呢？

生3：想讓水位上升4格，需要放2×4=8（顆）圍棋子。

師（出示一塊橡皮泥大薄片）：大家預(yù)測(cè)一下，這塊橡皮泥估計(jì)會(huì)讓水位上升多少？（教師演示，發(fā)現(xiàn)放不進(jìn)量筒）

生4：我們可以將這塊橡皮泥捏成一團(tuán)，或分成幾份，然后再投入量筒。

師：橡皮泥的形狀改變了，體積會(huì)變化嗎？

學(xué)生操作，并獲得結(jié)論：只要將橡皮泥都捏成實(shí)心的，體積就不會(huì)發(fā)生變化。教師板書：形狀改變，體積不變。

師：大家能列舉一些與“橡皮泥的形狀發(fā)生變化，但體積不變”類似的實(shí)例嗎？

（學(xué)生舉例略）

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家一起判斷，以下幾種情形，物體的體積是否發(fā)生了變化？

①將1塊橡皮泥切成3塊，總的體積是否發(fā)生了變化？

②將原本摞在一起的10枚硬幣，擺成比薩斜塔形狀，硬幣的體積是否發(fā)生了改變？

③將1L水從水壺倒進(jìn)水桶內(nèi)，體積是否發(fā)生了變化？

④將10個(gè)正方體拼搭成各種圖樣，總體積是否發(fā)生了變化？

要求學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上逐個(gè)判斷。以上現(xiàn)象對(duì)于生活經(jīng)驗(yàn)豐富的成人而言毫無(wú)問(wèn)題，但小學(xué)生認(rèn)知尚淺，在有些問(wèn)題的理解上確實(shí)比較困難。因此，教師應(yīng)俯下身子，從學(xué)生的視角去審視問(wèn)題，設(shè)計(jì)活動(dòng)過(guò)程，以幫助學(xué)生形成豐富的感知表象［３］。

總之，體積的概念作為小學(xué)階段圖形與幾何板塊的重要內(nèi)容之一，教師絕不可滿足于學(xué)生對(duì)體積概念的記憶，而應(yīng)設(shè)計(jì)豐富的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生深入體會(huì)體積的內(nèi)涵，充分感知體積的本質(zhì)，為建構(gòu)完善的知識(shí)系統(tǒng)奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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［３］ 李善良.現(xiàn)代認(rèn)知觀下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)［Ｍ］. 南京：江蘇教育出版社，２００５.