小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)施與分析

林昭巒

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系生活實(shí)際與數(shù)學(xué)學(xué)科的橋梁，學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程既是將生活實(shí)際“數(shù)學(xué)化”的過程，又是學(xué)生的思維得以有效訓(xùn)練的過程。文章認(rèn)為創(chuàng)設(shè)生活情境為建模的基礎(chǔ)，抽象事物本質(zhì)為建模的關(guān)鍵，滲透數(shù)學(xué)思想是建模的靈魂，解決實(shí)際問題是建模的拓展。

［關(guān)鍵詞］ 模型；建模；數(shù)學(xué)思想

學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程既是訓(xùn)練思維的過程，也是“數(shù)學(xué)化”的過程。數(shù)學(xué)建模能有效地幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)、形成解題技巧和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等。在小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師應(yīng)從知識(shí)的本質(zhì)與價(jià)值著手，進(jìn)行深度剖析與思考，力求讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)建模的過程，為形成良好的模型思想奠定基礎(chǔ)。

一、創(chuàng)設(shè)生活情境——建模的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的橋梁，任何模型的獲得都源自對(duì)實(shí)際生活的抽象。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)豐富的生活情境給學(xué)生感知知識(shí)再創(chuàng)造的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在情境，中感知生活與數(shù)學(xué)的自然聯(lián)系，為科學(xué)建模奠定基礎(chǔ)。

建模之前，學(xué)生需要對(duì)模型的原有形態(tài)有一個(gè)大致的了解，只有掌握模型原有形態(tài)的特點(diǎn)，才能從真正意義上通過模型來簡(jiǎn)化問題。但是，小學(xué)生的生活閱歷尚淺，認(rèn)知水平不高，對(duì)生活實(shí)際問題的理解不夠深刻，這些會(huì)導(dǎo)致學(xué)生從實(shí)際問題中抽象模型時(shí)出現(xiàn)障礙。想要在這方面有所突破，教師應(yīng)組織學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生親歷生活實(shí)際，獲得良好的生活體驗(yàn)，讓學(xué)生主動(dòng)獲取相關(guān)的數(shù)學(xué)信息與材料，增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)。

教師在創(chuàng)設(shè)問題背景時(shí)，應(yīng)考慮學(xué)生的認(rèn)知水平，分析學(xué)生是否對(duì)背景材料感興趣。當(dāng)然，創(chuàng)造性地使用教材也是一個(gè)好方法，教材是教學(xué)的主要依據(jù)，是學(xué)生賴以學(xué)習(xí)的根本。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)情境，既可以彌補(bǔ)只依靠教材教學(xué)所帶來的枯燥性與抽象性，又能豐富學(xué)生的認(rèn)知背景，為簡(jiǎn)化問題、建構(gòu)模型的教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

案例1? “平均數(shù)”的教學(xué)

情境：某小學(xué)正在建造花圃，磚塊堆放的位置影響了學(xué)生的正常通行。如圖1，甲、乙兩組學(xué)生準(zhǔn)備將這些磚塊清理掉，并在教師的組織下進(jìn)行了1分鐘的搬磚比賽。

問題：（1）通過讀題審題，大家獲得哪些信息？

（2）哪組搬得快？為什么？（從圖1所提供的信息來看，甲組一共搬了15塊磚，乙組一共搬了12塊磚，顯然是甲組搬的總量多，由此可確定甲組搬得快）

（3）若乙組來1名學(xué)生幫忙，他1分鐘可以搬4塊磚，此時(shí)乙組所搬磚塊的總量就是16塊，由此可判定乙組贏得了比賽，對(duì)嗎？

（4）若你是甲組成員之一，對(duì)這個(gè)比賽有沒有反對(duì)意見？為什么？

（5）比賽必須講究公平，在人數(shù)不相同的情況下，不能用比總數(shù)的方法來確定比賽勝負(fù)。在人數(shù)不同的情況下，有沒有辦法來判斷哪組搬得快呢？

（6）既然大家提出利用平均數(shù)來比較，究竟什么是平均數(shù)呢？（要求學(xué)生結(jié)合自身已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解釋）

（7）這里我們涉及兩種（磚塊數(shù)量與平均數(shù)）評(píng)判勝負(fù)的標(biāo)準(zhǔn)，你們覺得這兩種標(biāo)準(zhǔn)在適用范圍上有什么區(qū)別？

豐富的生活情境與平均數(shù)的意義有機(jī)地融合在一起，在激發(fā)學(xué)生探索欲的同時(shí)還將平均數(shù)的本質(zhì)隱含在情境中。這個(gè)情境具有模糊性與開放性特征，學(xué)生不能在短時(shí)間內(nèi)就完全認(rèn)清情境的內(nèi)涵。因此，教師通過分層提問的方式，激發(fā)學(xué)生的思維矛盾，讓學(xué)生自主獲得更好的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，為平均數(shù)的出場(chǎng)做了充足的準(zhǔn)備。隨著問題的有序推進(jìn)，學(xué)生的認(rèn)知也隨之深入。

此過程是幫助學(xué)生從常見的生活比賽場(chǎng)景中抽象平均數(shù)的過程，這不僅反映出甲、乙兩組搬運(yùn)速度的快慢，還讓學(xué)生從中感知平均數(shù)的概念。通過生活情境導(dǎo)入，促使學(xué)生自主建構(gòu)模型，初步認(rèn)識(shí)平均數(shù)的意義。

二、抽象本質(zhì)屬性——建模的關(guān)鍵

讓學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)歷觀察、分析、比較、判斷等過程，抽象出數(shù)學(xué)事物的本質(zhì)屬性是建模的關(guān)鍵，這也是數(shù)學(xué)建模最重要的環(huán)節(jié)。培養(yǎng)學(xué)生的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)，一直以來，能力立意的教學(xué)原則讓教師越來越注重培養(yǎng)學(xué)生的自主概括與抽象能力，期望學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中通過自主探索抽象出數(shù)學(xué)事物的本質(zhì)。

案例2? “分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)

分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是什么呢？這是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。為了引導(dǎo)學(xué)生自主抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，筆者結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)了三個(gè)環(huán)節(jié)來開展教學(xué)。

1. 鋪墊

筆者利用多媒體的直觀演示功能，展示盤子里裝有1塊蛋糕的圖片，提出問題：這里有1塊蛋糕，現(xiàn)在將這塊蛋糕平均分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友能獲得多少蛋糕呢？

生1：每個(gè)小朋友都可以獲得這塊蛋糕的1/4。

師：不錯(cuò)，大家是怎么想到1/4這個(gè)數(shù)的？

生2：結(jié)合我們的生活實(shí)際，將1個(gè)物品平均分成4份，那么每1份應(yīng)該是原來這個(gè)物品的1/4，因此每個(gè)小朋友所獲得的蛋糕為原蛋糕的1/4。

教師肯定了學(xué)生的說法，并用PPT展示具有典型意義的圖片（如圖2），讓學(xué)生從中感知圖形與分蛋糕情境類似的體驗(yàn)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)1/4的理解。

2. 思辨

筆者借助多媒體展示被布遮擋的蛋糕的圖片，要求學(xué)生說一說布下的蛋糕該怎么分。

生3：我們可以將布下的蛋糕平均分成4份，每個(gè)小朋友1份。

師：這塊布下面到底有多少蛋糕呢？我們一起將布揭開看一看（利用多媒體的動(dòng)畫功能，揭開布，展示布下的8塊蛋糕），現(xiàn)在該怎么分呢？

生4：每個(gè)小朋友要得到這些蛋糕的1/4，但是有8塊蛋糕……

生5：剛才圖片展示了1/4的表達(dá)方式，但這里有8塊蛋糕，貌似不能用剛才的圖片來解釋。

生6：其實(shí)我們可以將這8塊蛋糕理解為原來的1大塊蛋糕，現(xiàn)在我們依然把它們平均分為4份，每人獲得其中的1/4。

生7：貌似可以這么理解，原來將1塊蛋糕理解為一個(gè)整體，現(xiàn)在我們將8塊蛋糕理解為一個(gè)整體，那么每個(gè)小朋友都可以獲得這些蛋糕的1/4，同樣也可以用圖2來表示。

師：非常棒！生7提到“整體”這個(gè)詞，特別有意義。確實(shí)，我們可以先將兩次待分配的蛋糕理解成一個(gè)整體，然后將它們平均分為4份，那么每個(gè)小朋友所獲得的量即為原蛋糕總量的1/4。

3. 提升

師：通過剛才的分析，我們解決了“布下蛋糕的總數(shù)為8塊，將它們平均分給4個(gè)小朋友”的問題。假設(shè)盤子里有12塊蛋糕，我們?cè)撛趺从脠D來表示這些蛋糕的1/4呢？

（學(xué)生畫圖，交流）

生8：通過分析，發(fā)現(xiàn)依然可以用圖2來表達(dá)這12塊蛋糕的1/4。

師：哦，此話怎講？為什么可以通用圖2這幅圖？

生9：我們將這12塊蛋糕理解為大長方形，4個(gè)小朋友每個(gè)人獲得其中的1份，就是獲得該長方形的1/4，因此用圖來表達(dá)的形式是一樣的。

師：綜上，我們發(fā)現(xiàn)不論是1塊蛋糕，還是8塊、12塊蛋糕，都可以用圖2來表示其中的1/4這張圖還能表達(dá)多少塊蛋糕的1/4呢？

（學(xué)生交流）

生10：可以表示16、20、24、28、32……

師：總之，圖2所代表的是一個(gè)整體，也就是說不論這個(gè)大長方形表示的是多少塊蛋糕，若將它平均分為4份，則陰影部分所表示的是這些蛋糕的1/4。

隨著教師循循善誘的引導(dǎo)與學(xué)生的自主探索，學(xué)生的思維經(jīng)歷“猜想—操作”的變化過程。隨著各種觀點(diǎn)的提出、辯論與分析，學(xué)生對(duì)“1塊蛋糕的1/4”和“某些蛋糕的1/4”有了明確的認(rèn)識(shí)。這個(gè)過程不僅凸顯了數(shù)學(xué)中的“整體”的重要性，還讓學(xué)生抽離了“蛋糕數(shù)量”這個(gè)非本質(zhì)屬性特征。隨著認(rèn)識(shí)的逐漸深入，學(xué)生抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，成功地建立了1/4的直觀模型，其思維能力在此過程中得以快速提升。

三、滲透數(shù)學(xué)思想——建模的靈魂

數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性是不言而喻的，它是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓與靈魂。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師應(yīng)立足于學(xué)生的視角，通過各種手段滲透數(shù)學(xué)思想方法，力爭(zhēng)讓學(xué)生的思維在潤物細(xì)無聲的感悟與體驗(yàn)中不斷加寬與加厚，形成各種數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

案例3? ?“簡(jiǎn)單的排列組合”的教學(xué)

本節(jié)課對(duì)于小學(xué)生來說確實(shí)比較抽象，為了讓學(xué)生能明白排列組合的內(nèi)涵，教師可以在本節(jié)課滲透分類討論的思想方法，以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效推理，自主建構(gòu)知識(shí)體系。

問題情境：小明到超市購買冰激凌，看到香草味的冰激凌標(biāo)價(jià)為5元，他手中有1張5元、2張2元、5張1元的紙幣，若購買1個(gè)冰激凌，有多少種付款方式？

（學(xué)生分組交流，將討論結(jié)果填入表格1）

師：只有這幾種方案嗎？有沒有遺漏？

（學(xué)生支支吾吾，無法確定）

師：現(xiàn)在我們假設(shè)小明依次按照5、2、1元的順序付款，若將他手中所擁有的錢幣根據(jù)其面值與張數(shù)排列，可得表2。

師：觀察表2，現(xiàn)在你們覺得找全了沒有？

生（齊聲）：找全了！

師：為什么這么肯定？一定沒有遺漏嗎？

生：因?yàn)槭前凑枕樞蛑鹨粚ふ业?，每種情況都考慮到了，不存在遺漏的可能。

原本雜亂無章的排序方法，隨著教師巧妙引導(dǎo)而理順了，學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)了從無序到有序的轉(zhuǎn)化。分類討論的過程讓學(xué)生充分感知分類討論思想的重要性。

四、解決實(shí)際問題——建模的拓展

小學(xué)生受認(rèn)知水平與生活經(jīng)驗(yàn)的限制，對(duì)生活事物的認(rèn)識(shí)還比較膚淺。將課堂上所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型用來分析生活實(shí)際中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，不僅能有效地激發(fā)學(xué)生的探索欲，還能拓展模型的應(yīng)用范圍，深化學(xué)生對(duì)模型的理解，為他們靈活應(yīng)用模型奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，學(xué)生在感知學(xué)以致用的過程中，還能充分體悟到數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力。

案例4? “抽屜原理”的教學(xué)

抽屜原理是有些學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱之處，其實(shí)只要學(xué)生在掌握模型的基礎(chǔ)上，弄清知識(shí)的本質(zhì)，這些問題并不難解決。

師：抽屜原理由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷于1834年提出。我們以鴿子飛回籠子為例，有6只鴿子進(jìn)入5個(gè)籠子，至少有幾只鴿子會(huì)飛入同一個(gè)籠子？

生1：列式為6÷5=1…1，1+1=2，由此可確定至少有2只鴿子會(huì)飛入同一個(gè)籠子。

師：這個(gè)問題中的鴿子與籠子分別對(duì)應(yīng)抽屜原理中的什么？

生2：鴿子與之前我們研究的小球相對(duì)應(yīng)，而鴿籠則與抽屜相對(duì)應(yīng)。

師：很好，這也是人們將“抽屜原理”稱為“鴿籠原理”的原因。既然存在鴿籠原理、抽屜原理，那么我們將筆袋理解為抽屜，是否有筆袋原理呢？比如，講臺(tái)上有4個(gè)筆袋，5支鉛筆，至少有幾支鉛筆在同一個(gè)筆袋中？

生3：至少有2支鉛筆在同一個(gè)筆袋中。

師：若有4個(gè)零錢包，5張紙幣，不論怎么分配，至少有幾張紙幣在同一個(gè)零錢包內(nèi)？

生4：不論如何分配，至少有2張紙幣在同一個(gè)零錢包內(nèi)。

師：這是不是很有意思？抽屜原理可以有如此豐富的應(yīng)用，它在我們生活實(shí)際中隨處可見。其實(shí)，遇到此類問題，我們只要辨別出誰是“抽屜”，誰是“物品”，即可解決問題。比如，咱們班30個(gè)學(xué)生中至少有8名學(xué)生的生日在同一個(gè)季節(jié)，聰明的你們能否應(yīng)用抽屜原理進(jìn)行解釋？

生5：綜上所述，我們可將30名學(xué)生的生日視為“物品”，將四季視為“抽屜”，列式為：30÷4=7…2，7+1=8，因此30名學(xué)生中至少有8人的生日在同一個(gè)季節(jié)內(nèi)。

師：非常好！在宋代的《梁溪漫志》中，曾運(yùn)用抽屜原理來批駁“算命”。由此可見，數(shù)學(xué)模型由生活抽象而來，最終又應(yīng)用到生活中去。這些模型應(yīng)用在實(shí)際生活中時(shí)，顯得更具生命力。

總之，在新課標(biāo)的指導(dǎo)下，現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重對(duì)學(xué)生模型思想與實(shí)踐能力的培養(yǎng)，尤其是建模教學(xué)貫穿所有教育階段。教師應(yīng)高度重視建模教學(xué)的價(jià)值與意義，以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，尋找合適的素材協(xié)助學(xué)生建構(gòu)模型，讓學(xué)生獲得可持續(xù)性發(fā)展的能力。