調(diào)諧負(fù)剛度阻尼器的H2優(yōu)化及減震性能評估

郜輝, 邢晨曦, 王浩, 梁瑞軍

(1.東南大學(xué) 混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室, 江蘇 南京 211189; 2.東南大學(xué) 法學(xué)院, 江蘇 南京 211189)

結(jié)構(gòu)控制技術(shù)是提升結(jié)構(gòu)抗震性能的重要手段之一[1]。根據(jù)控制方式,結(jié)構(gòu)控制技術(shù)可分為被動控制、主動控制、半主動控制和混合控制。其中,在結(jié)構(gòu)中附設(shè)隔震裝置、耗能減震裝置、吸能減震裝置的被動控制在實際工程中應(yīng)用最為廣泛[2]。為提升被動控制裝置的減震性能,國內(nèi)外學(xué)者利用連桿機(jī)構(gòu)、齒輪機(jī)構(gòu)、杠桿機(jī)構(gòu)、跨層支撐、變平動為高速轉(zhuǎn)動等多種方式放大阻尼器的位移以提升其耗能效率[3]。

近年來,負(fù)剛度裝置為放大阻尼器位移提供了新的技術(shù)手段。研究表明,并聯(lián)負(fù)剛度彈簧的負(fù)剛度阻尼器(NSD)可以顯著提升傳統(tǒng)阻尼器對結(jié)構(gòu)的減震效果[4]?；陬A(yù)壓彈簧式負(fù)剛度產(chǎn)生機(jī)制,Pasala等[5]研發(fā)了自適應(yīng)NSD,基于仿真分析和振動臺試驗闡明了其在降低結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)方面的優(yōu)勢;孫彤等[6]研發(fā)了一種軌道式NSD,發(fā)現(xiàn)其對結(jié)構(gòu)位移的控制效果與LQR半主動控制相當(dāng),對加速度控制效果優(yōu)于LQR半主動控制;楊巧榮等[7]研究了NSD對隔震建筑上部結(jié)構(gòu)地震加速度和隔震層位移的控制效果;孫天威等[8]研發(fā)了一種基于氮氣彈簧的負(fù)剛度摩擦阻尼裝置以提升結(jié)構(gòu)的抗震性能;Shi等[9]研發(fā)了基于永磁體作用力的NSD,驗證了其對隔震結(jié)構(gòu)的減震優(yōu)勢?；谧枘崞鞯膽T性質(zhì)量負(fù)剛度效應(yīng),Nakamura等[10]和Shen等[11]研發(fā)了適用于結(jié)構(gòu)減震控制電磁式慣性質(zhì)量NSD;黃智文等[12]和汪志昊等[13]研發(fā)了電渦流慣性質(zhì)量NSD,并闡明了其對結(jié)構(gòu)減震控制的阻尼增效機(jī)理。盡管上述負(fù)剛度減震裝置顯著提升了傳統(tǒng)阻尼器對結(jié)構(gòu)的減震效果,但其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)減震控制往往需要較大負(fù)剛度和阻尼系數(shù),增加NSD的設(shè)計成本。

為進(jìn)一步提升NSD的減震效果,受調(diào)諧慣性質(zhì)量阻尼器卓越減震性能的啟發(fā)[14-16],Wang等[17]提出了一種調(diào)諧式NSD(TNSD),并采用固定點法推導(dǎo)了TNSD對結(jié)構(gòu)減震控制設(shè)計公式,并闡明了TNSD對近場脈沖型地震作用下的減震優(yōu)勢。然而在地震等隨機(jī)荷載作用下,更宜采用結(jié)構(gòu)H2性能指標(biāo)對阻尼器進(jìn)行設(shè)計。為此,本文開展了TNSD對結(jié)構(gòu)減震控制的H2優(yōu)化設(shè)計,從TNSD的剛度和阻尼特性、TNSD對結(jié)構(gòu)的阻尼增效、TNSD的耗能增效等角度闡明了TNSD相對于NSD的結(jié)構(gòu)減震控制的優(yōu)勢,最后,評估了TNSD對結(jié)構(gòu)地震作用下的減震效果。

1 TNSD對結(jié)構(gòu)減震控制H2優(yōu)化設(shè)計

圖1 單自由度結(jié)構(gòu)-TNSD耦合系統(tǒng)分析模型

(1)

式中:m、c和k分別表示單自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和剛度系數(shù);kp、kns和c2分別表示TNSD的調(diào)諧彈簧剛度系數(shù)、負(fù)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù);x和xc分別表示結(jié)構(gòu)和TNSD阻尼元件的位移。

對式(1)進(jìn)行Laplace變換,結(jié)構(gòu)位移的傳遞函數(shù)H(s)和TNSD阻尼元件的位移傳遞函數(shù)Hc(s)可分別表示為:

(2)

式中:

(3)

為保證結(jié)構(gòu)-TNSD耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性,根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性準(zhǔn)則,TNSD的負(fù)剛度系數(shù)應(yīng)滿足不等式:

(4)

求解不等式(4),TNSD負(fù)剛度系數(shù)應(yīng)滿足:

α>-γ/(1+γ)

(5)

參照文獻(xiàn)[18-19],結(jié)構(gòu)位移的H2性能指標(biāo)JH2可計算為:

(6)

式中:S0表示外激勵的譜強(qiáng)度;Γ和R可表示為:

(7)

將式(7)代入式(6),JH2可進(jìn)一步計算為:

(8)

為使JH2最小,TNSD的負(fù)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)應(yīng)滿足:

(9)

求解式(9),忽略結(jié)構(gòu)較小的阻尼比,TNSD最優(yōu)無量綱負(fù)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)可分別為:

(10)

將式(10)代入式(8),TNSD最優(yōu)設(shè)計時結(jié)構(gòu)位移的H2性能指標(biāo)JH2為:

(11)

基于式(10)給出的TNSD設(shè)計公式和式(8)給出的結(jié)構(gòu)位移性能指標(biāo),圖2(a)給出了不同結(jié)構(gòu)阻尼比下結(jié)構(gòu)位移性能指標(biāo)隨TNSD調(diào)諧剛度的變化曲線,由圖2可知,忽略結(jié)構(gòu)固有阻尼計算的結(jié)構(gòu)位移偏大,因此,基于式(11)的性能指標(biāo)設(shè)計TNSD時可以得到偏保守的結(jié)果。采用數(shù)值優(yōu)化方法,圖2(b)和(c)分別分析了結(jié)構(gòu)固有阻尼對TNSD最優(yōu)負(fù)剛度系數(shù)和最優(yōu)阻尼系數(shù)的影響,可以看出結(jié)構(gòu)阻尼對TNSD最優(yōu)參數(shù)影響較小,表明了采用式(10)對TNSD進(jìn)行設(shè)計的可行性。

2 TNSD對結(jié)構(gòu)減振增效機(jī)理研究

2.1 TNSD阻尼與剛度特性

TNSD對結(jié)構(gòu)的作用力Ft可表示為:

(12)

式(12)表明TNSD可以等效為一個NSD,其中,等效負(fù)剛度kns,eq和等效阻尼系數(shù)cns,eq分別表示為:

(13)

(14)

式中φk和φc分別為TNSD等效負(fù)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的放大系數(shù)。

當(dāng)α和ξt取最優(yōu)值時,φk和φc可進(jìn)一步表示為:

(15)

(16)

根據(jù)式(2)和式(15)、(16),圖3給出了結(jié)構(gòu)位移、TNSD等效負(fù)剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)隨激勵頻率比的變化曲線。由圖3可知,在TNSD的有效控制頻帶內(nèi),TNSD的調(diào)諧彈簧放大了其等效阻尼系數(shù),同時減小了負(fù)剛度系數(shù)。由于放大阻尼系數(shù)和減小負(fù)剛度均有利于結(jié)構(gòu)的位移控制。因此,TNSD對結(jié)構(gòu)的位移控制效果優(yōu)于相同設(shè)計參數(shù)的NSD。

圖3 結(jié)構(gòu)位移、TNSD等效負(fù)剛度和阻尼系數(shù)隨激勵頻率比變化關(guān)系

2.2 TNSD對結(jié)構(gòu)阻尼增效

(17)

參照式(6),其計算結(jié)果可表示為:

(18)

根據(jù)式(18),結(jié)構(gòu)-TNSD耦合系統(tǒng)的阻尼增效方程可表示為:

(19)

(20)

式中:γx=σx/σx,0表示TNSD控制時和無控時結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)比;ψxc=σxc/σx表示TNSD內(nèi)部阻尼元件的位移放大系數(shù)。

結(jié)構(gòu)的等效阻尼比為:

(21)

將TNSD的最優(yōu)負(fù)剛度系數(shù)和最優(yōu)阻尼系數(shù)代入式(21),可得:

(22)

式(21)和(22)表明,平穩(wěn)隨機(jī)荷載激勵下,結(jié)構(gòu)的等效阻尼比與結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)比的平方呈反比,與TNSD阻尼元件的位移放大系數(shù)和TNSD調(diào)諧剛度系數(shù)呈正比。因此,TNSD位移放大系數(shù)和調(diào)諧剛度系數(shù)越大,結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)比越小,結(jié)構(gòu)的等效阻尼比越大,TNSD的控制效果越好。

圖4進(jìn)一步給出了TNSD內(nèi)部阻尼元件位移放大系數(shù)和結(jié)構(gòu)等效阻尼比隨TNSD調(diào)諧剛度系數(shù)的變化關(guān)系。由圖4可知:TNSD內(nèi)部阻尼元件位移放大系數(shù)均大于1,表明TNSD可以放大其內(nèi)部阻尼元件的位移,進(jìn)而提升TNSD的耗能效率,并提升其對結(jié)構(gòu)的減震效果;結(jié)構(gòu)的等效阻尼比與TNSD的調(diào)諧剛度近似呈線性關(guān)系,即TNSD的調(diào)諧剛度系數(shù)越大,結(jié)構(gòu)的等效阻尼比越大;結(jié)構(gòu)固有阻尼比也會增加結(jié)構(gòu)的等效阻尼比,有利于減小結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。

圖4 TNSD內(nèi)部阻尼元件位移放大系數(shù)和結(jié)構(gòu)等效阻尼比

2.3 TNSD耦合系統(tǒng)耗能機(jī)理

根據(jù)式(1),單自由度結(jié)構(gòu)-TNSD耦合系統(tǒng)能量平衡方程可表示為:

(23)

式中:

(24)

方程(23)兩邊同時對時間t求導(dǎo)并求期望,可得:

(25)

對平穩(wěn)隨機(jī)激勵,式(25)可以簡化為:

(26)

(27)

其計算結(jié)果可表示為:

(28)

將式(28)代入式(26),結(jié)構(gòu)-TNSD耦合系統(tǒng)的輸入功率可進(jìn)一步表示為:

(29)

式(29)表明,TNSD并不改變耦合系統(tǒng)總的輸入能量。因此,TNSD耗散的能量越多,結(jié)構(gòu)耗散的能量越少。TNSD的能量耗散系數(shù)Θ定義為:

(30)

基于式(27)和式(30),圖5給出了TNSD耗能系數(shù)隨調(diào)諧剛度系數(shù)的變化關(guān)系。由圖5可知,當(dāng)TNSD的負(fù)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)最優(yōu)時,TNSD的耗能系數(shù)基本僅與結(jié)構(gòu)的固有阻尼比有關(guān),當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比越小時,TNSD耗散的地震能量越多,結(jié)構(gòu)耗散的地震能量越少。

圖5 TNSD耗能系數(shù)隨調(diào)諧剛度系數(shù)的變化關(guān)系

3 TNSD對結(jié)構(gòu)減震控制的地震響應(yīng)分析

為進(jìn)一步闡明TNSD對結(jié)構(gòu)減震控制的優(yōu)勢,本節(jié)開展了TNSD對單自由度結(jié)構(gòu)減震控制的地震響應(yīng)分析。選取ATC-63在FEMA-P695中推薦的100條地震動,包括44條遠(yuǎn)場地震動、28條近場無脈沖地震動和28條近場脈沖型地震動[20]。為了便于評估TNSD對結(jié)構(gòu)的減震效果,地震動幅值調(diào)整為0.3 g,TNSD的無量綱調(diào)諧剛度系數(shù)γ=0.2,NSD的負(fù)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)與TNSD相同。

當(dāng)單自由度結(jié)構(gòu)阻尼比ξ1=0.02時,圖6對比了NSD和TNSD控制時不同類型地震動作用下結(jié)構(gòu)平均最大位移和絕對加速度。圖7、8分別給出了結(jié)構(gòu)周期等于0.5 s和2.0 s時結(jié)構(gòu)最大位移、結(jié)構(gòu)最大絕對加速度、TNSD耗能系數(shù)的變化范圍。由圖7、8可知,TNSD進(jìn)一步提升NSD對結(jié)構(gòu)位移和絕對加速度的控制效果,尤其是短周期結(jié)構(gòu)的絕對加速度響應(yīng)控制和長周期結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)控制;此外,TNSD可以顯著提升NSD耗散的地震能量。

圖7 單自由結(jié)構(gòu)最大地震響應(yīng)和阻尼器耗能系數(shù)(T=0.5 s)

圖6、7表明,當(dāng)結(jié)構(gòu)周期等于0.5 s時,遠(yuǎn)場地震作用下結(jié)構(gòu)平均最大位移響應(yīng)由55.09 mm(無控)降低為41.69 mm(NSD控制),進(jìn)一步降低為24.87 mm(TNSD控制);結(jié)構(gòu)的平均最大絕對加速度響應(yīng)由8.70 m/s2(無控)降低為5.64 m/s2(NSD控制),進(jìn)一步降低為3.83 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均較NSD提升了35.8%。近場無脈沖地震作用下結(jié)構(gòu)平均最大位移響應(yīng)由45.03 mm(無控)降低為38.15 mm(NSD控制),進(jìn)一步降低為24.19 mm(TNSD控制);結(jié)構(gòu)的平均最大絕對加速度響應(yīng)由7.12 m/s2(無控)降低為5.16 m/s2(NSD控制),進(jìn)一步降低為3.64 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均較NSD提升了36.3%。近場脈沖地震作用下結(jié)構(gòu)平均最大位移響應(yīng)由47.12 mm(無控)降低為36.77 mm(NSD控制),進(jìn)一步降低為25.23 mm(TNSD控制);結(jié)構(gòu)的平均最大加速度響應(yīng)由6.59 m/s2(無控)降低為4.97 m/s2(NSD控制),進(jìn)一步降低為3.59 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均較NSD提升了36.7%。

圖6和圖8表明,當(dāng)結(jié)構(gòu)周期等于2.0 s時,遠(yuǎn)場地震作用下結(jié)構(gòu)平均最大位移響應(yīng)由0.20 m(無控)降低為0.16 m(NSD控制),進(jìn)一步降低為0.11 mm(TNSD控制);結(jié)構(gòu)的平均最大絕對加速度響應(yīng)由1.99 m/s2(無控)降低為1.39 m/s2(NSD控制),進(jìn)一步降低為1.12 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均較NSD提升了30.3%。近場無脈沖地震作用下結(jié)構(gòu)平均最大位移響應(yīng)由0.19 m(無控)降低為0.15 m(NSD控制),進(jìn)一步降低為0.10 m(TNSD控制);結(jié)構(gòu)的平均最大絕對加速度響應(yīng)由1.93 m/s2(無控)降低為1.39 m/s2(NSD控制),進(jìn)一步降低為1.13 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均較NSD提升了28.9%。近場脈沖地震作用下結(jié)構(gòu)平均最大位移響應(yīng)由0.30 m(無控)降低為0.28 m(NSD控制),進(jìn)一步降低為0.17 m(TNSD控制);結(jié)構(gòu)的平均最大絕對加速度響應(yīng)由3.01 m/s2(無控)降低為2.35 m/s2(NSD控制),進(jìn)一步降低為1.76 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均較NSD提升了33.6%。

4 結(jié)論

1)TNSD的最優(yōu)負(fù)剛度系數(shù)與最優(yōu)阻尼系數(shù)與其調(diào)諧剛度系數(shù)有關(guān),調(diào)諧剛度系數(shù)越大,TNSD的最優(yōu)負(fù)剛度系數(shù)和最優(yōu)阻尼系數(shù)越大,TNSD減振性能越好;結(jié)構(gòu)固有阻尼比也會增加結(jié)構(gòu)的等效阻尼比,有利于減小結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。

2)TNSD可以放大其內(nèi)部阻尼元件的位移,實現(xiàn)TNSD等效阻尼系數(shù)放大和單自由度結(jié)構(gòu)等效阻尼比增效,但TNSD不能改變耦合系統(tǒng)的總能量,TNSD耗散的能量越多,結(jié)構(gòu)耗散的能量越少。

3)與相同負(fù)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的負(fù)剛度阻尼器相比,TNSD可以耗散更多的地震能量,并能進(jìn)一步降低地震作用下的單自由度結(jié)構(gòu)的最大位移和最大絕對加速度響應(yīng)。