民族數(shù)學(xué)視域下的平面圖形鑲嵌設(shè)計

程孝麗, 周建萍

(南苑中學(xué),浙江 金華 321017)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(以下統(tǒng)稱《課標》)明確指出,數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分,強調(diào)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的關(guān)系,提出了會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.這要求一線教師切實思考除了數(shù)學(xué)本身的知識體系外的文化范疇,也是目前數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育研究關(guān)注的重要內(nèi)容.由于民族數(shù)學(xué)對社會文化的特別關(guān)注,受到了國內(nèi)外研究者的重視,一些學(xué)者在實證研究中提出民族數(shù)學(xué)的教育意義與價值[1-3].

然而如何在學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透民族數(shù)學(xué)是值得進一步思考與探究的.有學(xué)者以非洲日常用品中的幾何變化為例,探討民族數(shù)學(xué)的教育學(xué)轉(zhuǎn)化問題[4],有學(xué)者以我國少數(shù)民族的民族服飾和民族工藝品等為例,提煉其蘊涵的對稱、變換等數(shù)學(xué)思想[5],也有學(xué)者從藏族文化背景或生活中提煉數(shù)學(xué)資源,提出藏族數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的案例設(shè)計原則與依據(jù)[6].本研究以平面圖形鑲嵌為例,探討如何從民族數(shù)學(xué)的視角解釋數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的關(guān)系,以及真實情境對學(xué)生課堂參與和數(shù)學(xué)情感的影響.

之所以選擇平面圖形鑲嵌,一方面,考慮到這是幾何圖形在生活中的廣泛應(yīng)用,除其悠久的歷史外,從自然界到人類的鑲嵌藝術(shù)無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化在自然界和人類文明中的深刻且深遠的影響,為素材的挖掘提供了豐富的來源;另一方面,平面圖形鑲嵌的學(xué)習(xí)既需要知識層面的研究,即厘清何為平面圖形鑲嵌以及鑲嵌的規(guī)律,也需要操作層面的踐行與探索,即鑲嵌的實際應(yīng)用.在學(xué)生制作平面鑲嵌圖形的過程中,是理論到實踐的跨越,是數(shù)學(xué)美育的真實寫照.作為拓展內(nèi)容的平面圖形鑲嵌不在學(xué)業(yè)水平測試范圍內(nèi)易被忽視,加上教材中的鑲嵌素材不夠豐富,因此,教師挖掘力度不夠,并沒有引起廣大一線教師的重視.基于此,本研究以平面圖形鑲嵌為例,進一步討論如何在學(xué)校教學(xué)中實現(xiàn)民族數(shù)學(xué)的教育學(xué)轉(zhuǎn)化問題.

1 民族數(shù)學(xué)中的平面圖形鑲嵌

民族數(shù)學(xué)(或民俗數(shù)學(xué))是指向特定文化中的數(shù)學(xué)元素、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)實踐,是(多元)文化數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展[7],也是數(shù)學(xué)文化進入學(xué)校數(shù)學(xué)的重要載體.有學(xué)者指出,民族數(shù)學(xué)是社會變化中的實踐產(chǎn)物,旨在調(diào)和數(shù)學(xué)思想、知識體系和社會三者關(guān)系,在數(shù)學(xué)教育教學(xué)的過程中,應(yīng)當(dāng)保持或發(fā)揮民族數(shù)學(xué)特定的文化優(yōu)勢[8].如何挖掘民族數(shù)學(xué)的素材,以及如何將民族數(shù)學(xué)融入學(xué)校教學(xué)是數(shù)學(xué)教育中亟待解決的問題,也是研究民族數(shù)學(xué)的意義和關(guān)鍵所在.借鑒已有學(xué)者的分類方法,筆者從文化傳統(tǒng)和日常生活兩個方面展開素材的挖掘與教育學(xué)轉(zhuǎn)化的研究[9].

1.1 素材的挖掘

圖1是日常生活中較為常見的地面鋪磚,為單一的(正)多邊形鑲嵌圖形.圖2是生活用品竹編,相比于前者,它在圖形構(gòu)造上較為復(fù)雜,是兩種正多邊形(正三角形和正六邊形)的組合鑲嵌.圖3是傳統(tǒng)工藝中流行的窗戶花格,是對竹編中的兩個正多邊形鑲嵌一般化的結(jié)果,即兩種多邊形的組合鑲嵌.圖4是云南傣族織錦(又稱“娑羅布”),這些少數(shù)民族的手工織錦圖案豐富多彩、顏色鮮明,特別是織錦上的幾何紋樣是通過實物(如飛禽走獸、花草樹木)抽象而成.大部分織錦是幾何圖案單一或組合鑲嵌形式,亦可通過平移、對稱、相似等幾何變換得到.這既是少數(shù)民族人民智慧的結(jié)晶,也象征著人們對美好生活的向往和追求.

圖1 圖2 圖3 圖4

圖5是荷蘭藝術(shù)家埃舍爾的作品.這位被譽為“錯覺大師”的單體鑲嵌、雙體鑲嵌和漸變鑲嵌等作品,是在規(guī)則多邊形(如正三角形和特殊四邊形)的基礎(chǔ)上,采用了不規(guī)則多邊形平鋪的理論,利用這些具象的基本圖形(魚、鳥、馬和騎士等)進行多次的反射、平滑反射、變換和旋轉(zhuǎn)得到美妙、生動的圖案,是平面鑲嵌藝術(shù)的應(yīng)用和升華.

圖6是西班牙的阿爾汗布拉宮的穆斯林設(shè)計.這個具有600多年歷史的建筑彰顯著無處不在的鑲嵌藝術(shù),其地磚、天花板等各處的裝飾都采用了平面鑲嵌,可圈可點的是這些圖案僅用圓規(guī)和直尺通過平移、對稱、反射和旋轉(zhuǎn)等幾何變換創(chuàng)作出來,可以說整個宮殿就是數(shù)學(xué)幾何圖案的殿堂,這也折射出穆斯林藝術(shù)家對數(shù)學(xué)的狂熱,以及通過幾何學(xué)表達他們對服從數(shù)學(xué)和推理的宇宙的宗教信仰[10]!

1.2 素材的教育學(xué)轉(zhuǎn)化

這些有著不同文化背景的生活用品和藝術(shù)作品作為鑲嵌素材進入學(xué)校教學(xué)還要進行一定的教育學(xué)轉(zhuǎn)化,也就是說將這些樸素的貼近學(xué)生生活的數(shù)學(xué)元素轉(zhuǎn)化為符合學(xué)生認知的邏輯體系.

有學(xué)者提出教育學(xué)轉(zhuǎn)化時需要注意知識序和認知序.筆者結(jié)合鑲嵌的教學(xué)內(nèi)容以及知識結(jié)構(gòu),從學(xué)生認知水平的維度對素材進行了梳理.主線是將素材按照由單一的(正)多邊形鑲嵌到多種(正)多邊形組合鑲嵌的順序進行歸類,讓素材的呈現(xiàn)符合從易到難、由簡單到復(fù)雜的規(guī)律.圖1～4都是學(xué)生耳熟能詳?shù)囊?guī)則的幾何圖形鑲嵌,其中圖1和圖4分別是單一的正六邊形和菱形鑲嵌,學(xué)生從生活經(jīng)驗中容易發(fā)現(xiàn)地磚和織錦在設(shè)計時都滿足不重疊、不留空隙的特點,在此基礎(chǔ)上,呈現(xiàn)更多的單一(正)多邊形鑲嵌圖片.進而分析圖2和圖3,即兩種正多邊形組合鑲嵌.在學(xué)生經(jīng)歷從單一到組合、由特殊到一般的過程中,探索平面圖形鑲嵌的本質(zhì)與規(guī)律.最后再呈現(xiàn)圖5和圖6,由規(guī)則的幾何圖形鑲嵌變化成不規(guī)則的幾何圖形鑲嵌,從圖形抽象又回到圖形具象,提高了對概念理解和實際應(yīng)用(甚至是藝術(shù)創(chuàng)作)的雙重要求,是圖形鑲嵌的進一步理解與運用.

暗線是根據(jù)素材的用途(如欣賞、典例剖析)決定是否需要把實物轉(zhuǎn)換成教學(xué)所需的形態(tài),即實物抽象與提煉成幾何圖形.圖2作為研究兩種正多邊形鑲嵌的基本圖形,在教學(xué)中要將其幾何化,讓學(xué)生對兩種多邊形鑲嵌有更直觀的感受.圖5是在規(guī)則的多邊形基礎(chǔ)上通過裁剪、平移和對稱等方式轉(zhuǎn)化為更復(fù)雜的優(yōu)美的具象基本圖形,一般此類型的鑲嵌作品多以正三角形、矩形或菱形等作為基本圖形.

像這樣進行轉(zhuǎn)化后的民族數(shù)學(xué)不僅具有教學(xué)形態(tài),使學(xué)習(xí)內(nèi)容更貼近學(xué)生的生活與文化背景,而且體現(xiàn)了多元的民族文化,展示了數(shù)學(xué)之美.

2 教學(xué)實踐與成效

2.1 實施過程

筆者以所在學(xué)校的九年級學(xué)生為授課對象,開展了“美麗的鑲嵌”的教學(xué)活動.具體而言,筆者以問題為導(dǎo)向設(shè)計了4個環(huán)節(jié)和3項探究活動.

環(huán)節(jié)1尋找生活中的鑲嵌.

呈現(xiàn)大量生活中的鑲嵌圖形(如圖1～4),讓學(xué)生對鑲嵌有一個初步、直觀的感知.在學(xué)生欣賞圖片的過程中適當(dāng)介紹作品的文化背景,讓學(xué)生感受不同時代、不同文化背景下的鑲嵌藝術(shù).筆者選擇簡單的圖1引導(dǎo)學(xué)生思考在鋪設(shè)地磚時應(yīng)該滿足的條件,從而再觀察這些圖片是否都符合要求.在引出鑲嵌概念后,進一步指出圖1中鑲嵌的基本圖形,追問以下兩個問題:只有邊長相等的正三角形能形成平面鑲嵌圖形嗎?正五邊形、正七邊形、正八邊形呢?由此展開下面的探究活動.

環(huán)節(jié)2探索平面鑲嵌的本質(zhì).

在第一環(huán)節(jié)呈現(xiàn)的圖1～4中有單一的(正)多邊形鑲嵌也有組合的(正)多邊形鑲嵌,因此學(xué)生知道這個結(jié)論,但具體到哪一種正多邊形或者哪兩種正多邊形組合是不明確的,需要學(xué)生在問題引導(dǎo)下進行實驗操作,在探索中發(fā)現(xiàn)平面鑲嵌的規(guī)則.

活動1探究用一種正多邊形進行平面鑲嵌.

問題1僅用一種正多邊形進行平面鑲嵌,哪些正多邊形符合鑲嵌的條件?

問題2用正n邊形進行平面鑲嵌的條件是什么?

問題3除了正三角形,能用任意一個三角形鑲嵌成平面圖案嗎?任意的四邊形呢?

評注通過活動1,教師幫助學(xué)生梳理探究的方法與思路,從形的角度通過實驗操作發(fā)現(xiàn)結(jié)論,再結(jié)合數(shù)的角度分析正多邊形的周角和內(nèi)角之間的關(guān)系(如表1所示),為活動2提供研究方向.在活動1后充分發(fā)揮心理學(xué)中正向遷移的積極作用,緊接著開展探究活動2,通過類比、遷移讓學(xué)生合作探究兩種正多邊形的組合鑲嵌的規(guī)則以及組合的可能性.

表1 正多邊形的周角和內(nèi)角之間的關(guān)系

活動2探究用兩種正多邊形進行組合鑲嵌.

問題4如果用兩種正多邊形組合鑲嵌,哪兩種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案?這兩種正多邊形需滿足什么要求?

評注在活動2中,有的小組首先用方程思想解決二元一次方程的不定解問題,再用作圖或剪拼的實驗方式驗證;有的小組則先實驗操作,再歸納分析,總結(jié)規(guī)律.在合作探究中,學(xué)生較好地沿用了活動1的方法,從幾何操作和方程模型兩個維度進行類比探究.

環(huán)節(jié)3了解平面鑲嵌文化.

在兩個探究活動之后,學(xué)生對平面鑲嵌有了更深刻、具體的理解,進而介紹鑲嵌問題的歷史背景,從整體上讓學(xué)生對鑲嵌的認識更加豐富.從自然界中的有序結(jié)構(gòu)(如蜂巢),到阿爾汗布拉宮奇妙的穆斯林設(shè)計(圖6),到埃舍爾出神入化的鑲嵌圖案(圖5),到世界上第一個正多邊形組合設(shè)計的丟勒鑲嵌,再到簡潔的彭羅斯拼磚,鑲嵌的基本圖形由簡單的幾何形狀演化為具象的不規(guī)則圖形,由單一和組合鑲嵌演化為單體鑲嵌、雙體鑲嵌和漸變鑲嵌等,鑲嵌圖形不僅經(jīng)歷了漫長的世紀,更演繹了不同的文化.

由貼近生活的簡單用品,逐步演化到豐富精美的藝術(shù)創(chuàng)作,讓學(xué)生體會鑲嵌自古以來在生活中的廣泛應(yīng)用.看似簡單的具象圖形鑲嵌,其實是復(fù)雜的思維過程,除了對規(guī)則的基本圖形進行圖形變換處理,還要整體把握鑲嵌的條件,這非常考驗該階段學(xué)生的圖形思維能力,初步讓學(xué)生感受鑲嵌藝術(shù)的復(fù)雜性.這一環(huán)節(jié)的設(shè)計也為下一環(huán)節(jié)的微項目化活動埋下了伏筆.

環(huán)節(jié)4制作平面鑲嵌作品.

這一環(huán)節(jié)分為兩個任務(wù):1)尋找日常生活、建筑等中的鑲嵌圖形;2)根據(jù)活動2的探究結(jié)果,設(shè)計兩種正多邊形鑲嵌的圖形,主要面向接受程度較低的學(xué)生;類比埃舍爾的鑲嵌藝術(shù)作品,自由創(chuàng)作鑲嵌圖形,主要面向綜合能力還不錯的學(xué)生.第二個任務(wù)學(xué)生可以獨立完成,也可以4人一組合作完成,但需要學(xué)生自主研究該類型鑲嵌的設(shè)計方法與思路.最后進行成果展示,分享設(shè)計思路與方法,以及在設(shè)計過程中遇到的困難和解決問題的方式方法.

4個環(huán)節(jié)在具體實施時共用了2.5課時:環(huán)節(jié)1～3用了1課時,通過兩個合作活動探索平面鑲嵌的本質(zhì)與規(guī)律,加深對平面鑲嵌的認識;通過兩個欣賞活動豐富對鑲嵌圖形的認識,加深對平面鑲嵌的應(yīng)用意識.環(huán)節(jié)4用了1.5課時,其中上網(wǎng)查資料明確設(shè)計方法和確定鑲嵌基本圖形用了0.5課時,設(shè)計作品和作品展示1課時.在整個環(huán)節(jié)中,內(nèi)容與環(huán)節(jié)的設(shè)計始終遵循從簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的規(guī)律,讓學(xué)生有梯度地開展實踐活動,在實驗中收獲知識與方法,感受鑲嵌的神奇與美妙.特別是最后的制作環(huán)節(jié),學(xué)生體驗了數(shù)學(xué)家的思維、欣賞了創(chuàng)作藝術(shù)家的作品.

2.2 實踐成效

根據(jù)課堂教學(xué)的實際情況以及學(xué)生和聽課教師的反饋,筆者將課堂教學(xué)效果進行簡要地分析.

一是教學(xué)目標的落實情況.從探究活動的過程與成果可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生基本掌握了平面鑲嵌的概念,且能夠通過實驗、觀察、猜想和分析發(fā)現(xiàn)一種或者兩種正多邊形形成鑲嵌的條件和原理.從學(xué)生整體的課堂參與度和課后的評價可以感受到學(xué)生十分喜歡這樣的數(shù)學(xué)課堂,他們發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)源于生活用于生活”原來不是一句標語;這些生活用品居然蘊涵了這么多數(shù)學(xué)知識;少數(shù)民族的人們太厲害了,看似簡單的幾何圖形竟然可以制成如此復(fù)雜的織錦;仿佛打開了一扇通向無限可能的大門……不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識在轉(zhuǎn)變.從學(xué)生設(shè)計的作品(如圖7)可以看出學(xué)生對鑲嵌的學(xué)習(xí)達到了較好的效果,其精心的設(shè)計成果與巧妙的設(shè)計方法(綜合平移、旋轉(zhuǎn)和對稱等方式)說明這些學(xué)生對鑲嵌的認識遠超于其他學(xué)生,他們的抽象思維和具象思維也是難能可貴的.

圖7

二是學(xué)生課堂參與情況.這里的課堂參與主要是指情感參與、行為參與和認知參與.通過觀察和統(tǒng)計學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的時間、提問和討論問題的次數(shù)來評價學(xué)生的課堂參與度.第1課時主要有兩個數(shù)學(xué)探究活動,活動以問題為導(dǎo)向,在同一個活動中從特殊的正多邊形鑲嵌探究到一般形式的三角形、四邊形鑲嵌,在活動之間從單一鑲嵌過渡到組合鑲嵌,兩個活動都差不多用了8分鐘時間,讓學(xué)生充分經(jīng)歷動手操作、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程.除了探究活動外,學(xué)生在環(huán)節(jié)1和環(huán)節(jié)3也給予了積極的回應(yīng),這些不同文化背景下的鑲嵌物品和藝術(shù)引發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)認識“狹隘”的共鳴,在情感上獲得支持后學(xué)生的課堂參與度顯著提高,更愿意融入討論和實驗環(huán)節(jié)等.無獨有偶,也有學(xué)者提出將學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境和文化背景相結(jié)合,學(xué)生的認知水平、學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力都會得到提升[11].

總的來說,學(xué)生在情境體驗中豐富了對數(shù)學(xué)的認識,夯實了數(shù)學(xué)文化的厚重感,在活動探究中鍛煉了抽象能力、幾何直觀和推理能力,在作品制作中培養(yǎng)了創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識.

3 結(jié)論與展望

在這樣的基礎(chǔ)上,應(yīng)該切實把握民族數(shù)學(xué)的教育價值,這是回答“為什么要讓民族數(shù)學(xué)進入學(xué)?！钡膯栴},也是本研究的目的和意義.

首先,民族數(shù)學(xué)的融入確實能較好地解決數(shù)學(xué)教學(xué)中文化相關(guān)性的問題.民族數(shù)學(xué)是多元文化數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展,其蘊涵的文化背景、價值觀念會帶給學(xué)生多元文化的體驗,感受不同民族、不同生活方式以及別樣的傳統(tǒng)文化,圖2和圖4分別體現(xiàn)了不同民族的鑲嵌物品,使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)除了發(fā)生在課堂還可以存在并廣泛應(yīng)用于不同種族的生活中,學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識和方法的唯一來源,學(xué)校以外貼近學(xué)生生活的日?；顒雍臀幕瘋鹘y(tǒng)也是數(shù)學(xué)知識和方法的礦藏.在潛移默化中讓學(xué)生能夠體會“數(shù)學(xué)是源于生活的有趣現(xiàn)象和延伸”,希望學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)的引領(lǐng)下去探索更神秘、更深邃、更美麗的世界.圖5和圖6分別體現(xiàn)了藝術(shù)、建筑等不同領(lǐng)域中鑲嵌的應(yīng)用,雖是不同文化背景的鑲嵌作品但都是圖形鑲嵌的衍生,蘊涵了平移、旋轉(zhuǎn)和對稱等幾何變換的思想.因此,在關(guān)注民族數(shù)學(xué)的文化多樣性的同時不能忽視各個民族的文化中也會存在相同的數(shù)學(xué)知識.

其次,民族數(shù)學(xué)的教學(xué)可以發(fā)展數(shù)學(xué)教育的價值標準.數(shù)學(xué)是一個相對開放的動態(tài)的文化系統(tǒng),不能脫離社會、脫離其文化系統(tǒng)存在.民族數(shù)學(xué)通過對不同文化中的數(shù)學(xué)元素、數(shù)學(xué)思想方法乃至歷史發(fā)展進行教學(xué)展現(xiàn),幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)有一個全面、動態(tài)的理解[12].