經歷問題解決全過程 在課堂中落實深度學習

徐智愚

(崇明中學,上海 202150)

章建躍博士認為,高中數(shù)學學科的題海大,“減負增效”是時代發(fā)展賦予每一位數(shù)學教師的責任和使命[1].深度學習是學習者能動地參與教學的總稱.要改變課堂,必須從改變教師的觀念開始.教學從無趣到有趣,讓學生從被動變?yōu)橹鲃?真正回歸“學生主體”的角色,深度學習就是促進課堂轉型的支點,使得學生從單純的、封閉的、缺乏挑戰(zhàn)性的活動,走向復雜的、開放的、探索性的學習任務的完成,深刻理解數(shù)學問題的隱含內核,掌握并體會數(shù)學問題的思想方法,親身經歷數(shù)學問題的探究過程,能夠綜合運用概念、知識與方法創(chuàng)造性地解決問題,進而落實深度學習.本文試以解析幾何高考題中“點的個數(shù)”問題為例,通過教學實踐,淺談一些體會和思考.

1 滲透問題解決方法,感受深度學習的樂趣

例1點P在直線l:y=x-1上,若存在過點P的直線交拋物線y=x2于點A,B,且|PA|=|AB|,則稱點P為“β”點.下列結論正確的是

( )

A.直線l上所有點都是“β”點

B.直線l上有限點為“β”點

C.直線l上所有點都不是“β”點

D.直線l上有無窮多點是“β”點

(2009年北京市數(shù)學高考理科試題第8題)

師:你為什么選D?

生1:取較多特殊點進行“計算猜想”,發(fā)現(xiàn)直線l上有很多點滿足題設條件,故選D.

師:很好!猜想往往能幫助我們發(fā)現(xiàn)問題的結論、找到解決問題的途徑.其他同學有沒有不同的意見?

生2:生1取較多特殊點進行“猜想”,也有可能“所有點在直線上”.我認為選項A和選項D都有可能性.

師:講得太好了!“猜想”是帶有想象力的預測.生1排除了一種可能性,即“所有點在直線上”,到底選A還是D?

生3:簡單推理后選A.

圖1

整理得

師:生3的思路清晰,推理嚴密,非常好!由生3的解法,我們是否可以用類比的方法改編題目,使得直線上有無窮多點是“β”點?

學生處于“憤”“悱”的境界,教室里非常安靜,只有學生在紙上書寫的“沙沙”聲.師生共同得到了如下的結論:

結論1點P在直線l:y=x-b(其中b>0)上,若存在過點P的直線交拋物線y=x2于點A,B(兩點可以重合),且|PA|=|AB|,則稱點P為“β”點,此時,

證明把y=x-b代入y=x2,整理得

x2-x+b=0,

從而

Δ=1-4b.

因此,結論1成立.

2 調整問題解決方案,優(yōu)化深度學習過程

(2022年上海市數(shù)學春季高考試題第11題)

問題1如何解決例2?

生1:題目的形式結構類似于向量的數(shù)量積,可逆向構造向量的數(shù)量積來解決.

圖2

∠MON≤90°,

亦即

∠MOX≤45°.

故

a≥1.

師:生1是逆向構造向量的數(shù)量積得出∠P1OP3恒為銳角,體現(xiàn)了逆向思維和數(shù)形結合的思想.

學生對上述解法議論紛紛,有學生認為,生1這種解法沒有創(chuàng)新.很自然地,筆者提出了下列問題:

問題2能否發(fā)現(xiàn)其他解法?

師:“三角換元”也是解析幾何中的一種重要的思想方法,而且往往可以使得變量范圍“縮小”.

這時生3“補充”:曲線是否可能存在3個點滿足x1x2x3-y1y2y3>0?

生3的“補充”已經“偏離”了筆者的“軌道”,但通過反思,師生共同發(fā)現(xiàn)并解決了新的問題、新的推廣和新的結論:

問題3類似題設條件,“曲線是否可能存在3個點滿足x1x2x3-y1y2y3>0,求a的取值范圍”,那么有限個點呢?任意多個點呢?可能嗎?

x1x2…xn-y1y2…yn

0

-1

只要an-bnsinθ1sinθ2…sinθn>0恒成立,即

亦即

例2為推廣1的一個特例,只需取b=1,n=2,可得a≥1.

3 創(chuàng)建問題解決活動,挑戰(zhàn)深度學習任務

例3設平面直角坐標系中的點集Ω={(x,y)|(x-k)2+(y-k2)2=4|k|,其中k∈Z}.

①存在直線l,使得Ω中不存在點在l上而存在點在l的兩側;

②存在直線l,使得Ω中存在無數(shù)個點在l上.

則下列判斷正確的是

( )

A.①成立,②成立

B.①成立,②不成立

C.①不成立,②成立

D.①不成立,②不成立

(2022年上海市數(shù)學秋季高考試題第16題)

對于命題①:

活動1請列出任意兩個相鄰圓⊙Ck,⊙Ck+1的位置關系的數(shù)據(jù)分析表,其中這兩個圓的圓心距為|CkCk+1|,半徑和為Rk+Rk+1.生1列出的數(shù)據(jù)分析表如表1所示:

表1 ⊙Ck,⊙Ck+1位置關系的數(shù)據(jù)分析表

活動2從表1中你發(fā)現(xiàn)了什么?你有什么新的結論?

生2:隨著k的增大,有無數(shù)個圓相離,當k≥4時,任意兩個相鄰圓相離.

生4:隨著k的增大,有無數(shù)個圓相離,而且當k≥4時,任意兩個相鄰圓相離,而且這些相鄰圓相離的距離越來越大.

師:我們還知道,點集Ω:(x-k)2+(y-k2)2=4|k|所對應的圖形關于y軸對稱(過程略).

生5:由上述思考可知,可取一個足夠大的數(shù)k,必存在一條直線y=c(其中c≠0),“穿過”y軸左右兩邊、對稱的4個相鄰的且不相交圓的“空檔”,使得命題①成立.

活動3不用表格中的數(shù)據(jù)分析,有沒有其他的方法呢?

生6:易知點集Ω:(x-k)2+(y-k2)2=4|k|所對應的圖形關于y軸對稱.

對于任意k∈Z+,兩個相鄰圓:

⊙Ck:(x-k)2+(y-k2)2=4|k|

和 ⊙Ck+1:[x-(k+1)]2+[y-(k+1)2]2=4|k+1|

師:太好了!生6的解法使得我們從直觀的觀察數(shù)據(jù)分析表上升到嚴密的邏輯推理論證.

對于命題②:

活動4探究第②個命題,并說明你的理由.

生7:⊙Ck:(x-k)2+(y-k2)2=4|k|與直線ax+by+c=0(其中ab≠0)的距離為

生8:生7的推理不嚴密!沒有從直觀上升到邏輯.我是從極限的角度來說明的,即

活動5從生7和生8的推理中,你能判別第②個命題的真?zhèn)螁?說明你的理由.

生9:當k趨向于無窮大時,有無數(shù)個圓和直線ax+by+c=0(其中ab≠0)相離;反過來,即存在一個足夠小的數(shù)k,使得有限個圓和直線ax+by+c=0相交,使得命題②不成立.

活動6是否可以改變題目條件,使得命題“存在直線,使得Ω中存在點(0個、有限個、無數(shù)個或任意一個)在l上”成立?

在師生的共同探究下,回到最基礎的概念,得出了如下的方法:原問題轉化為判定點集Ω中的圓與直線ax+by+c=0(其中ab≠0)是否有公共點,即轉化為判定圓和直線相交(或相切),即判定

的整數(shù)解的個數(shù).

化簡上式,得

f(k)=b2k4+2abk3+(a2+2bc)k2+2ack

-4(a2+b2)|k|+c2≤0.

(1)

1)當b≠0時,b2>0,由代數(shù)基本定理:在復數(shù)范圍內方程f(k)=0有4個根.

如果它有一個虛根,那么必定存在一個對應的共軛虛根,因此方程f(k)=0的實數(shù)根個數(shù)為0,2,4個(不妨假設f(k)=0有4個實根,分別為t1,t2,t3,t4,且t1≤t2≤t3≤t4).

由標根法可知:f(k)≤0的解是t1≤k≤t2或t3≤k≤t4;ti≤k≤tj(其中i,j=1,2,3,4,且i≤j),k∈φ .因此,整數(shù)解的個數(shù)至多為有限個.

2)當b=0時,a≠0,則a2>0,則式(1)轉化為

a2k2+2ack-4a2|k|+c2≤0,

證明方法同情形1),得整數(shù)解的個數(shù)也至多為有限個.

綜上所述,當k∈Z時,整數(shù)解的個數(shù)為有限個或不存在(至多為有限個).故命題②錯誤,選B.

4 結束語

基于核心素養(yǎng)的深度學習把問題置于重要地位.深度學習將學生的思維過程與教學過程融為一體,在教學中全景呈現(xiàn)問題解決的思維過程.在課堂中落實深度學習,必須讓學生主動參與學習活動,親身經歷問題解決的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展全過程,從而形成學生豐富的內心體驗.通過教師設計的學習主題、挑戰(zhàn)性學習任務或活動以及持續(xù)性的學習評價,吸引學生主動、全身心地投入問題探究活動之中,感受深度學習課堂的樂趣,激發(fā)學生內在的學習動機,不斷生成成就感和效能感.

在課堂中落實深度學習,教師應滲透問題解決的數(shù)學思想方法:觀察、試驗、聯(lián)想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等,師生共同對問題核心進行有深度、有寬度的加工,搭建問題解決的“腳手架”.如在例1中,教師引導學生用類比的方法發(fā)現(xiàn)并解決題目中創(chuàng)新的數(shù)學問題,能讓學生充分感受數(shù)學思想方法的創(chuàng)造性,讓問題探究過程更加新穎有趣、富于創(chuàng)意、生動活潑.

深度學習更強調思維的活躍度和思考的深度.發(fā)現(xiàn)并提出適切性、高質量、有深度的問題,學生在環(huán)環(huán)相扣的問題串的引領下開展深度學習.同時,深度學習課堂要求教師反思教學中存在的問題,及時調整問題解決方案,研究并解決教學中的核心問題,以優(yōu)化深度學習課堂過程.如在例2中,如果沒有對“生1這種解法沒有創(chuàng)新”和生3的“補充”進行反思,就沒有學生的“追根溯源”,就不可能發(fā)現(xiàn)例2中隱含的一系列新的問題、推廣和結論.沒有反思,學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平[2].

深度學習課堂要從學生的立場出發(fā),直指有深度、有意義的學習,又要從教師的角度切入,在對教學做系統(tǒng)思考和相應研究的基礎上進行教學設計.教師應積極探索基于問題導向的啟發(fā)式、探究式、互動式、體驗式的學習活動,形成有個性的、有深度的、有意義的、創(chuàng)新的、多元化的課堂活動方案,通過一系列的活動與問題,為學生搭建深度學習的階梯,幫助學生透過表象去感悟問題背后的原因、意義等,最終促進學生深度學習的發(fā)生.

在課堂中落實深度學習,教師準備及時、合適、富有挑戰(zhàn)性的問題是前提,要敢于提出問題,即使教師在課前還未曾準備過的變式問題,也要敢于提出來.留給學生充足的自主學習時間是關鍵,史寧中教授說過,素養(yǎng)的形成和發(fā)展,在本質上,不是靠教師“教”出來的,而是靠學生“悟”出來的[3].教師要放慢上課的節(jié)奏,給學生充分“悟”的時間和空間,使得那些反應慢但是思考比較深刻的學生的思維火花也能“燃燒成炬”.教師適時串聯(lián)和反芻是重點,在學生最需要的地方搭建合適的“腳手架”,既包括對相關知識內容的講解、拓展,也可能是相關內容的提供或讓學生討論,這些都是讓學習更加深入的好方法.教師的有效設計和鼓勵是根本,把要講的內容轉化為符合學生特點的問題或任務,讓學生在問題解決的過程中形成深度學習的經驗和能力,要不斷給學生的鼓勵,讓學生感受到自己是具有學習能力的.當學生相信自己會學習、會思考、會討論、會探索的時候,他們的學習才可能深入下去.