解答三角形最值問(wèn)題的幾種措施

何永安

三角形最值問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算以及邏輯推理能力有較高的要求.此類問(wèn)題通常側(cè)重于考查正余弦定理、三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等.本文結(jié)合一道三角形最值問(wèn)題，談一談解答此類問(wèn)題的常用措施.

該解法主要運(yùn)用了正弦定理，根據(jù)角之間的關(guān)系進(jìn)行三角恒等變換，得到[tanA=3tanB]，再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.我們還也可以根據(jù)正切函數(shù)的定義和勾股定理，在[RtΔBDE]中，求得[tanB=DEBE=CF3AF]，在[RtΔACF]中，求得[tanA=CFAF]，從而得出[tanB=13tanA]，再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角形最值問(wèn)題，關(guān)鍵是將目標(biāo)式化為關(guān)于角的三角函數(shù)式，并將其化簡(jiǎn)為只含有一種三角函數(shù)名稱的式子，就能根據(jù)三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性順利求得最值.

三、構(gòu)建坐標(biāo)系

運(yùn)用坐標(biāo)法求解三角形最值問(wèn)題，需先根據(jù)三角形的特征，建立合適的平面直角坐標(biāo)系：可以三角形的一條底邊為坐標(biāo)軸，以一個(gè)頂點(diǎn)或底邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)；也可以三角形底邊為x軸，底邊的中垂線為y軸來(lái)建立坐標(biāo)系.在建立坐標(biāo)系后，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式、直線的斜率公式和方程、三角函數(shù)的定義來(lái)求得角、邊長(zhǎng)以及目標(biāo)式，最后運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求最值.

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)O作[DO⊥AB]，以O(shè)為原點(diǎn)，AB為x軸，OD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系[xOy]，即可快速求得D、C的坐標(biāo).再用角B的三角函數(shù)表示出[tanAcos2B]，便可根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得問(wèn)題的答案.

求解三角形最值問(wèn)題的思路較多，無(wú)論運(yùn)用哪種思路解題，都需靈活運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，求得目標(biāo)式，然后根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，選用合適的方法求最值.