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    解答三角形最值問(wèn)題的幾種措施

    2023-09-25 03:20:02何永安
    關(guān)鍵詞:余弦定理正弦最值

    何永安

    三角形最值問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算以及邏輯推理能力有較高的要求.此類問(wèn)題通常側(cè)重于考查正余弦定理、三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等.本文結(jié)合一道三角形最值問(wèn)題,談一談解答此類問(wèn)題的常用措施.

    該解法主要運(yùn)用了正弦定理,根據(jù)角之間的關(guān)系進(jìn)行三角恒等變換,得到[tanA=3tanB],再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.我們還也可以根據(jù)正切函數(shù)的定義和勾股定理,在[RtΔBDE]中,求得[tanB=DEBE=CF3AF],在[RtΔACF]中,求得[tanA=CFAF],從而得出[tanB=13tanA],再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角形最值問(wèn)題,關(guān)鍵是將目標(biāo)式化為關(guān)于角的三角函數(shù)式,并將其化簡(jiǎn)為只含有一種三角函數(shù)名稱的式子,就能根據(jù)三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性順利求得最值.

    三、構(gòu)建坐標(biāo)系

    運(yùn)用坐標(biāo)法求解三角形最值問(wèn)題,需先根據(jù)三角形的特征,建立合適的平面直角坐標(biāo)系:可以三角形的一條底邊為坐標(biāo)軸,以一個(gè)頂點(diǎn)或底邊的中點(diǎn)為原點(diǎn);也可以三角形底邊為x軸,底邊的中垂線為y軸來(lái)建立坐標(biāo)系.在建立坐標(biāo)系后,求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式、直線的斜率公式和方程、三角函數(shù)的定義來(lái)求得角、邊長(zhǎng)以及目標(biāo)式,最后運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求最值.

    根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),過(guò)點(diǎn)O作[DO⊥AB],以O(shè)為原點(diǎn),AB為x軸,OD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系[xOy],即可快速求得D、C的坐標(biāo).再用角B的三角函數(shù)表示出[tanAcos2B],便可根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得問(wèn)題的答案.

    求解三角形最值問(wèn)題的思路較多,無(wú)論運(yùn)用哪種思路解題,都需靈活運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化,求得目標(biāo)式,然后根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征,選用合適的方法求最值.

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