基于序列二次規(guī)劃法的鋁型材截面優(yōu)化設(shè)計(jì)*

張 衡,凌四營(yíng),張志豪,劉遠(yuǎn)航,凌 明

(大連理工大學(xué)微納米技術(shù)及系統(tǒng)遼寧省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024)

0 引言

工業(yè)快速發(fā)展的同時(shí)也伴隨著嚴(yán)重的能源短缺和環(huán)境惡化問(wèn)題,在機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中,為了保證構(gòu)件使用的安全性,所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)大部分擁有過(guò)多的強(qiáng)度儲(chǔ)備[1],雖然在一定程度上大幅度提高了單個(gè)零件的使用壽命,但卻使得整個(gè)裝置變得笨重,最終在集成化、輕量化技術(shù)快速發(fā)展的過(guò)程中逐步被淘汰。因此節(jié)能和環(huán)保作為工業(yè)發(fā)展的重要方向,新材料、新結(jié)構(gòu)、新工藝等輕量化技術(shù)是實(shí)現(xiàn)節(jié)能和環(huán)保的有效途徑之一,其技術(shù)的廣泛應(yīng)用對(duì)制造業(yè)有著舉足輕重的影響[2]。鋁型材作為一種優(yōu)質(zhì)的鋁合金材料,具有硬度高、耐磨性能好等突出特點(diǎn),其耐腐蝕性能在經(jīng)過(guò)陽(yáng)極氧化處理后也會(huì)大幅度提高,在潮濕環(huán)境中不易生銹,同時(shí)化學(xué)性能穩(wěn)定,可以重復(fù)回收利用,尤其在汽車工業(yè)領(lǐng)域及軌道交通發(fā)展等方面鋁型材有著巨大的需求[3]。為了滿足工業(yè)快速發(fā)展的需求以及提高鋁型材生產(chǎn)的經(jīng)濟(jì)效益,就必須采用輕量化技術(shù)降低新產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)成本。

經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者的不斷努力,智能優(yōu)化算法快速發(fā)展并在輕量化技術(shù)方面得到了極大的應(yīng)用。GRAF等[4]提出采用粒子群優(yōu)化算法、最小二乘法以及基于有限元分析結(jié)果的新的非迭代尺寸匹配和縮放方法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)格子結(jié)構(gòu)輕質(zhì)和高剛性的能力;WEHRLE[5]采用無(wú)源數(shù)字解調(diào)算法得到強(qiáng)度噪聲傳播的統(tǒng)計(jì)模型,進(jìn)行包括耐撞性在內(nèi)的電動(dòng)汽車結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì);楊丁等[6]采用中心引力搜索算法進(jìn)行起重機(jī)箱梁結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì);李佐斌等[7]采用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)方法及變密度法分別對(duì)起重機(jī)的主梁和腹板進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化;申士林等[8]采用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)面法與多目標(biāo)遺傳算法相結(jié)合進(jìn)行吊臂結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì),具有廣闊的應(yīng)用前景和使用價(jià)值。

上述方法優(yōu)化效果不一,同時(shí)也推動(dòng)了智能優(yōu)化算法在輕量化技術(shù)中的應(yīng)用,在一定程度上提升了收斂效率,但對(duì)于一些非線性程度較大的極限狀態(tài)方程仍存在收斂性及計(jì)算精度不足的問(wèn)題。本文采用有限元分析及序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行鋁型材的截面優(yōu)化設(shè)計(jì),在保證可靠性的同時(shí)提高收斂效率,達(dá)到結(jié)構(gòu)輕量化的目的。

1 鋁型材截面結(jié)構(gòu)分析

1.1 性能指標(biāo)

選定的鋁合金型材型號(hào)為YK3984(6063-T5),鋁型材初始截面如圖1所示,截面中部直徑為φ12 mm的圓孔需要攻絲(M14),截面四角使用時(shí)同樣需要攻絲(M6),初始截面面積為967.00 mm2,線密度為2.62 kg/m,且截面的初始慣性矩已知(Ix=63.247 1 cm4,Ix=16.596 7 cm4),該截面圖形為中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

圖1 鋁合金型材截面

由于鋁合金型材在使用過(guò)程中主要受到彎矩及扭矩的作用,需要保證其使用性能,即鋁型材的抗彎及抗扭能力[9],在鋁型材的型號(hào)選定的情況下,由下列抗彎及抗扭式(1)和式(2)可知其抗彎及抗扭性能取決于截面慣性矩。

(1)

(2)

1.2 有限元分析

采用有限元分析的目的是觀察鋁型材截面承受載荷情況下,整體及截面的應(yīng)力及應(yīng)變,便于進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)及截面設(shè)計(jì)參數(shù)的選取。

根據(jù)CAD二維圖紙數(shù)據(jù),首先在UG12.0軟件中繪制草圖,然后建立圖2所示實(shí)體模型,并導(dǎo)入至ANYSYS軟件中,單擊工具欄中指派材料圖標(biāo)為實(shí)體模型選取材料,根據(jù)6063型號(hào)鋁型材的屬性填入相關(guān)的彈性模量、密度、泊松比等參數(shù),如表1所示。

表1 鋁型材材料屬性

圖2 鋁型材三維模型

在工具欄中采用3D四面體網(wǎng)格,選定鋁型材實(shí)體,選擇網(wǎng)格單元大小及其他參數(shù)設(shè)置,施加載荷及約束,考慮到鋁型材在實(shí)際應(yīng)用中[10],大多情況下在兩端處與相同件進(jìn)行連接,中間跨距不大,且適當(dāng)距離由支撐連接,因此約束形式為兩端固定的方式,在中部施加均勻載荷。

點(diǎn)擊求解后會(huì)出現(xiàn)多個(gè)對(duì)話框,等求解完畢后關(guān)閉對(duì)話框即可,求解完成后查看左下角結(jié)果,查看鋁型材的應(yīng)力云圖,如圖3所示。

圖3 應(yīng)力云圖

由圖3可知,鋁型材在使用過(guò)程中受力情況,在中部最大形變截面處,開(kāi)有安裝槽部位受載荷影響較小,型材外圍平面受載荷影響相對(duì)較大,為之后截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供依據(jù)。

1.3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)

設(shè)任意平面圖形的形心為C,面積為A,xc軸和yc軸為圖形的形心軸,y軸平行于yc,兩軸之間的距離為b,x軸平行于xc,兩軸之間的距離為a,由慣性矩的平行移軸公式可知,平面圖形對(duì)于任意軸的慣性矩,等于圖形對(duì)與該軸平行的形心軸的慣性矩加上圖形的面積與兩周距離的平方,可表示為:

Ix=Ixc+a2A

(3)

Iy=Iyc+b2A

(4)

根據(jù)式(3)和式(4)可知,材料集中在離軸線約遠(yuǎn)越好,所以盡量減少離軸線近的材料,增加離軸線遠(yuǎn)的材料,但也要兼顧鋁型材的受力情況,以滿足正常的使用要求。結(jié)合有限元分析情況,將靠近中心軸線且受載荷影響不敏感的截面面積減小,增大離中心軸線距離遠(yuǎn)且受載荷影響較大的區(qū)域面積。選定區(qū)域后,結(jié)合CAD中面域指令,在選定區(qū)域內(nèi)將原圖形截面結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整,初步得到如圖4所示改進(jìn)后的鋁型材截面結(jié)構(gòu)。

圖4 截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化圖

圖4為中心對(duì)稱結(jié)構(gòu),因此只需對(duì)截面的1/4部分進(jìn)行分析。以截面左上角部分為例,選定的截面設(shè)計(jì)變量空間位置如圖5所示,設(shè)計(jì)變量的取值區(qū)間及初始值如表2所示。

表2 設(shè)計(jì)變量及區(qū)間

圖5 設(shè)計(jì)變量

2 鋁型材截面參數(shù)化

2.1 截面面積

設(shè)計(jì)參數(shù)變化引起截面面積發(fā)生變化,因此采取以面積最小時(shí)的圖形為基準(zhǔn),加上與參數(shù)有關(guān)的面積,容易得到截面圖形面積S公式,可表示為:

S=1072.5917-πa2-2πb2-4(cd+gh+ij)

(5)

2.2 截面慣性矩

根據(jù)截面慣性矩的定義[11],任意組合圖形對(duì)某一軸的慣性矩等于組成它的各個(gè)簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸慣性矩之和,所以在計(jì)算截面慣性矩時(shí),采用與計(jì)算面積相同的原理,由初始截面慣性矩和參數(shù)取值范圍得到截面慣性矩的最小值,然后加上含參數(shù)的截面慣性矩。

靜矩作為構(gòu)件的一個(gè)重要的截面特性,表示微元面積與每一個(gè)微元與截面上指定軸線距離乘積的積分,同時(shí)也可表示為截面上某一部分的面積乘以此面積的形心至整個(gè)截面的型心軸線之間的距離[12]。取微面積dA,dA的坐標(biāo)分別為y和x,則ydA和xdA分別稱為微面積dA對(duì)于x軸和y軸的靜矩,它們對(duì)整個(gè)截面圖形面積的積分分別稱為整個(gè)截面圖形對(duì)于x軸和y軸的靜矩(Sx,Sy),可分別表示為:

(6)

(7)

平面圖形對(duì)某軸線的靜矩等于其面積A與形心坐標(biāo)(形心至該軸線的距離)的乘積,平面圖形的形心坐標(biāo)可以表示為:

(8)

(9)

在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和計(jì)算的過(guò)程中,需要計(jì)算構(gòu)件在彎矩作用下分別繞x、y軸的截面抗彎剛度,以滿足構(gòu)件的使用需求。慣性矩Ix、Iy為截面各個(gè)微元面積與各微元至與x、y軸線平行或重合的中心軸距離二次方乘積的積分,可表示為:

(10)

(11)

采用上述公式,截面圖形的慣性矩可表示為:

(12)

(13)

3 優(yōu)化方法

3.1 優(yōu)化問(wèn)題

優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使鋁型材截面面積S最小化,限制條件為設(shè)計(jì)變量的取值范圍及截面慣性矩不減的要求。

3.2 優(yōu)化過(guò)程

非線性約束最優(yōu)化問(wèn)題:

minf(X)
s.t.gu(X)≤0 (u=1,2,…,p)
hv(X)=0 (v=1,2,…,m)

(14)

式中:f(X)為優(yōu)化目標(biāo),gu(X)、hv(X)分別為不等式、等式的約束條件。

利用泰勒展開(kāi)把非線性約束問(wèn)題式(14)的目標(biāo)函數(shù)在迭代點(diǎn)X簡(jiǎn)化成二次函數(shù),把約束函數(shù)簡(jiǎn)化成線性函數(shù)后得到的就是如下的二次規(guī)劃問(wèn)題:

(15)

為了解決近似原約束最優(yōu)化問(wèn)題的解不一定是原問(wèn)題可行點(diǎn)的情況,所以令:

S=X-Xk

(16)

將上述二次規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)變成關(guān)于變量的S的問(wèn)題,可表示為:

(17)

令:

H=2f(Xk)
C=f(Xk)
Aeq=[h1(X),h2(X),…,hm(X)]T
A=[g1(Xk),g2(Xk),…,gp(Xk)]T
Beq=[h1(X),h2(X),…,hm(X)]T
B=[g1(Xk),g2(Xk),…,gp(Xk)]T

式(17)所述的二次規(guī)劃問(wèn)題的一般形式可表示為:

(18)

利用變尺度法中的DFP公式或BFGS公式進(jìn)行二階導(dǎo)數(shù)矩陣的近似計(jì)算,可分別表示為:

(19)

(20)

為解決上述二次規(guī)劃問(wèn)題,在迭代點(diǎn)Xk上先進(jìn)行矩陣Hk的變更,構(gòu)造和求解相應(yīng)的二次規(guī)劃子問(wèn)題,并將該問(wèn)題最優(yōu)解S*作為下一次迭代的搜索方向Sk。然后在該方向上對(duì)原非線性最優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行約束一維搜索,就可以得到下一個(gè)迭代點(diǎn)Xk+1,同時(shí)判斷收斂精度是否滿足要求,重復(fù)上述過(guò)程直至達(dá)到迭代點(diǎn)Xk+1滿足終止準(zhǔn)則,即可得到原非線性最約束問(wèn)題的最優(yōu)解Xk。

綜上所述,序列二次規(guī)劃算法的迭代步驟[14]為:

步驟1:首先給定初始點(diǎn)X0、設(shè)定收斂精度,令H0=1(單位矩陣),設(shè)置k=0;

步驟2:在點(diǎn)Xk將原問(wèn)題簡(jiǎn)化為一般二次規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解;

步驟3:求解一般二次規(guī)劃問(wèn)題,并令Sk=S*;

步驟4:在方向Sk上對(duì)原問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行約束一維搜索,得到點(diǎn)Xk+1;

步驟5:如果Xk+1滿足給定精度的終止準(zhǔn)則,那么令X*=Xk+1,f*=(Xk+1),輸出約束問(wèn)題的最優(yōu)解,終止計(jì)算,否則進(jìn)行下一步;

步驟6:按式(19)或式(20)修正Hk+1,令k=k+1,轉(zhuǎn)到步驟2繼續(xù)進(jìn)行迭代。

3.3 優(yōu)化結(jié)果

將設(shè)計(jì)變量及截面參數(shù)模型代入優(yōu)化算法得到設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)解如表3所示。

表3 設(shè)計(jì)變量最優(yōu)解 (mm)

經(jīng)過(guò)序列二次規(guī)劃算法得出滿足要求的最優(yōu)解,將其分別代入式(5)、式(12)和式(13)可以得到優(yōu)化后的截面面積及慣性矩。

由表4可知,通過(guò)對(duì)比優(yōu)化前后的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后的截面慣性矩不減,截面面積優(yōu)化后相比優(yōu)化前減少了10%。

表4 優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)論

通過(guò)分析鋁型材的抗彎及抗扭性能,得到其性能指標(biāo),采用有限元分析軟件對(duì)鋁型材截面結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn),選用合適的設(shè)計(jì)變量并建立了截面面積及慣性矩的參數(shù)化模型,與CAD輔助計(jì)算結(jié)果相比誤差不大于0.5%,基于序列二次規(guī)劃算法完成了鋁型材的截面優(yōu)化設(shè)計(jì),在保持鋁型材截面慣性矩不減的情況下,通過(guò)優(yōu)化減小其截面面積以達(dá)到鋁型材輕量化的目的,優(yōu)化后截面面積減少了10%,實(shí)現(xiàn)了鋁型材截面優(yōu)化設(shè)計(jì)及輕量化的目標(biāo)。