在做中深入理解概念的本質(zhì)

李林環(huán)

［摘 要］“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生感知數(shù)學(xué)概念、建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、理解概念本質(zhì)的直接方式，也是新課程改革倡導(dǎo)的有效學(xué)習(xí)方式之一。在“圓的認(rèn)識”教學(xué)中，教師設(shè)計用實(shí)物拓畫圓、用拉繩試畫圓、用圓規(guī)試畫圓、自由選擇畫圓等活動，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷探究的過程，在具體的實(shí)踐操作中深入感悟圓的構(gòu)造、理解圓的本質(zhì)，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿興趣，實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

［關(guān)鍵詞］畫圓；感悟；本質(zhì)；做數(shù)學(xué)

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）24-0042-03

教學(xué)“圓的認(rèn)識”一課，教師圍繞圓設(shè)計一系列的“做數(shù)學(xué)”活動，如看圓、做圓、畫圓、欣賞圓等。通過不同的實(shí)踐活動，可以讓學(xué)生深入地理解圓的構(gòu)成，掌握圓這一知識點(diǎn)，并能較好地理解圓的要義——它是一個完全封閉的曲線圖形，是一個從定點(diǎn)到曲線上任意點(diǎn)同長的圖形。下面，筆者結(jié)合不同的實(shí)踐活動，就如何在活動中引導(dǎo)學(xué)生較好地感悟圓的構(gòu)造、理解圓的本質(zhì)，簡略談?wù)剮c(diǎn)做法。

一、用實(shí)物拓畫圓，感知圓是曲線圖形

圓在小學(xué)階段是一個特殊的知識點(diǎn)，因?yàn)樗袆e于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中早就存在的長方形、正方形、梯形等圖形。盡管在一年級的“認(rèn)識圖形”中，學(xué)生初步認(rèn)識了圓、圓柱和球，但對這些知識點(diǎn)僅僅處于了解層面，并沒有真正觸及知識的內(nèi)核。為此，筆者在教學(xué)中通過具體的實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生更好地感知圓的存在，并通過用實(shí)物拓畫圓的活動，幫助學(xué)生體會圓是“由曲線圍成的圖形”這一知識要點(diǎn)。

師：我們觀察了這么多的圖形，也說出了很多身邊的圓，想不想利用自己準(zhǔn)備好的學(xué)具，創(chuàng)造出一個漂亮的圓？

（學(xué)生對此充滿興趣，迫不及待地想要嘗試）

生1：沿著茶杯蓋子畫一圈，就能得到一個圓。

生2：我用一元的硬幣畫出了一個圓。

生3：我用膠帶中間的那個硬紙板圓圈，也畫出了一個圓。

生4：我用圓形的學(xué)具畫出了一個漂亮的圓。

生5：我可以用一根硬鐵絲拴住一支鉛筆轉(zhuǎn)一圈，畫出一個圓。

師：回憶自己畫圓的過程，思考一下，圓是一個什么樣的圖形？它給你最明顯的感覺是什么？

生6：圓的邊不像長方形、正方形那樣是直直的，而是一條彎彎的線。

生7：圓的邊是彎曲的，但畫出來后感覺蠻圓滑的，整個圖形很漂亮。

生8：畫圓時要仔細(xì)、認(rèn)真，不然就會畫歪曲。

生9：我怎么感覺圓有點(diǎn)怪怪的。你們看，它沒有頂點(diǎn)，也看不到角。

師：經(jīng)過討論交流，結(jié)合自己的思考，誰能比較簡潔地說出自己對圓的理解？

生10：圓是一個曲線圖形。

生11：圓的邊不是直線，而是彎曲的。

師：看來，同學(xué)們對圓的認(rèn)識還是蠻豐富的。大家想不想結(jié)合以前認(rèn)識長方形、三角形、平行四邊形等平面圖形的經(jīng)驗(yàn)，對圓做一個較為合理的解釋或歸納呢？

……

“數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，高于生活”，所以數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、已有的知識經(jīng)驗(yàn)。上述教學(xué)，筆者緊扣用實(shí)物拓畫圓這一主旨，一方面，激活學(xué)生對圓的已有認(rèn)知；另一方面，讓學(xué)生在具體的用實(shí)物拓畫圓中，感受圓的邊不是直線構(gòu)成的，而是彎曲的，幫助他們初步形成圓是曲線圖形的感知。通過用實(shí)物拓畫圓的活動，能夠幫助學(xué)生更好地理解圓的構(gòu)造：它不像三角形、梯形、正方形等平面圖形，邊是一條直直的線段，有頂點(diǎn)；圓是沒有直的邊，也沒有頂點(diǎn)的。這樣教學(xué)，能使學(xué)生更好地聯(lián)系舊知進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，體會圓的特殊之處，對幾何初步知識的學(xué)習(xí)更加理智。

二、用拉繩試畫圓，掌握圓的基本要點(diǎn)

圓在中國古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中是這樣描述的：“一中同長。”何為“一中同長”？“一中”就是指一個圓的圓心是唯一的，也是確定圓的位置的根本要素；“同長”就是指圓心到圓上任意點(diǎn)的距離都是相等的。為此，筆者在教學(xué)中設(shè)計了一個體驗(yàn)活動——用拉繩試畫圓，即讓學(xué)生在拉繩、定位等具體翔實(shí)的活動中，初步感知“一中同長”的基本要義。這樣能讓學(xué)生較好地掌握圓的基本要點(diǎn)，為建構(gòu)圓的數(shù)學(xué)模型提供認(rèn)知支持，進(jìn)一步拓展思考空間。

師：剛才是用具體的圓形物品來拓畫圓的，你在生活中還見過這樣的畫圓方法嗎？

課件呈現(xiàn)：體育老師在操場上用一條較長的繩子，畫出了一個大大的圓。

生1：見過，我們體育老師也這樣畫過圓。

生2：園林工人在修剪草坪時，也先用繩子畫出一個圓，再修剪草坪，這樣可以修剪出漂亮的圓形圖案。

師：你認(rèn)為在這樣的畫圓活動中，哪些材料是必備的？

生3：固定繩子用的木樁，還有一定長度的繩子。

師：是不是給這樣的材料，你就能畫出圓來呢？材料袋中就有相關(guān)的材料（有圖釘、棉線等），你們能用這些材料畫出一個圓來嗎？小組合作試一試。

（學(xué)生進(jìn)行畫圓，并把自己的思考和操作過程在小組中交流）

生4：我先用圖釘把棉線的一端固定在小木板上，再在棉線的另一端捆綁好一支紅筆，然后拉動紅筆在木板上轉(zhuǎn)一圈，就得到了一個圓。不過，這個圓不是很漂亮。

師：方法基本正確?？蔀槭裁从械耐瑢W(xué)畫出的圓比較圓潤、光滑，而有的同學(xué)畫出的圓卻是歪歪扭扭的呢？先看一下視頻，再進(jìn)行分析。

（課件播放用圖釘畫圓的具體過程）

生5：我發(fā)現(xiàn)要畫好一個圓，首先要把圖釘固定牢，不能晃動，不然圖釘一晃動，畫出的線就會歪曲；其次，一定要把棉線拉緊、繃直，不然一會兒畫的短些，一會兒畫的長些。

師：你的分析很透徹?？蔀槭裁匆@樣做呢？

生6：將圖釘固定牢，就是保證圓心的位置不會發(fā)生變化。

生7：繩子不能松，就是保證紅筆與圖釘之間的距離是固定不變的，要不然就會時長時短了。

師：你們真是一群愛觀察、愛動腦筋，更會動手實(shí)踐的聰明孩子！那你們知道這些注意點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上又是怎樣表述的嗎？請仔細(xì)觀察視頻，并認(rèn)真閱讀相應(yīng)的解說詞。

（課件播放拉繩畫圓的視頻，呈現(xiàn)圓的基本要素）

……

用拉繩法畫圓，遠(yuǎn)比用實(shí)物拓畫圓要復(fù)雜得多，能讓學(xué)生體會到圖釘?shù)木唧w作用，發(fā)現(xiàn)圖釘?shù)奈恢脹Q定了整個圓的位置。同時，學(xué)生感悟到筆與圖釘之間的距離越大，畫出的圓就會越大；反之，就會變小。這樣的活動還能幫助學(xué)生較好地感知圓的圓心、半徑等基本要素，明白這些要素與拉繩畫圓之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過具體的操作、反思與交流等活動，讓圓的定點(diǎn)、定長變得不再神秘，而是清清楚楚地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，使學(xué)生獲得最為真切的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

三、用圓規(guī)試畫圓，感悟圓的本質(zhì)屬性

用圓規(guī)畫圓是一種最直觀，也是最有效的畫圓方法。這樣既能呈現(xiàn)拓畫圓的圓潤與完美，又能呈現(xiàn)拉繩畫圓的基本原理，更好地展現(xiàn)圓的基本屬性，從而最大限度地豐富學(xué)生對圓的認(rèn)識。同時，還能在具體的畫圓活動中孕伏圓的諸多屬性，對學(xué)生建構(gòu)圓的數(shù)學(xué)模型大有裨益。

師：如何克服拓畫圓、拉繩畫圓等方法中的不足呢？該如何選擇畫圓的工具呢？

生1：用圓規(guī)，它能更好地畫出圓來。

師：是嗎？你會使用圓規(guī)畫圓嗎？自己試試，并把畫圓的過程和想法告訴你的同伴。

（學(xué)生用圓規(guī)試著畫出不同的圓）

生2：先把圓規(guī)的釘腳固定在一點(diǎn)，再叉開另一只鉛筆腳，將它在紙上旋轉(zhuǎn)一周，就能畫出一個圓。

師：你的描述很精彩。圓規(guī)有兩只腳，分工不同，作用也不一樣。

生3：是的。圓規(guī)的釘腳是固定用的，鉛筆腳是畫圓用的。

生4：圓規(guī)的釘腳是不動的，鉛筆腳會走路。

生5：圓規(guī)兩腳之間的距離決定了圓的大小，這也是圓的半徑。

師：不錯！圓的半徑在哪里？有幾條？它們的長度關(guān)系又是怎樣的？

生6：圓心到曲線上的連接線段，就是圓的半徑；一個圓中，半徑有無數(shù)條，它們都是圓規(guī)兩腳之間的距離，是一樣長的。

師：你能畫出一個半徑是2厘米的圓嗎？

（學(xué)生嘗試用圓規(guī)畫圓）

生7：先把圓規(guī)兩只腳的距離調(diào)整為2厘米，再畫圓，這樣就能畫出半徑是2厘米的圓了。

生8：我明白了。圓規(guī)兩腳之間是幾厘米，畫出的圓的半徑就是幾厘米。

……

指導(dǎo)學(xué)生用圓規(guī)畫圓，不只是為了完成教學(xué)任務(wù)，還要幫助學(xué)生掌握重要的數(shù)學(xué)技能，豐富他們的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。為此，在教學(xué)中，筆者首先組織學(xué)生開展自主使用圓規(guī)的活動，讓學(xué)生在練習(xí)紙上用圓規(guī)畫出自己認(rèn)可的圓。通過觀察圓規(guī)、使用圓規(guī)畫圓的活動，幫助學(xué)生更加直觀地認(rèn)識圓，學(xué)會用自己的方式去解讀圓的構(gòu)成。其次，組織畫圓的交流活動，讓學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)、活動經(jīng)驗(yàn)得以豐富，較好地幫助學(xué)生理解圓的本質(zhì)。最后，引導(dǎo)學(xué)生畫出指定的圓，讓整個學(xué)習(xí)活動躍升為學(xué)以致用的境界，顯得自然、高效，富含智慧。

四、自主選擇畫圓，促進(jìn)圓的認(rèn)知構(gòu)建

教師需要深入鉆研數(shù)學(xué)教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，精心打磨教學(xué)細(xì)節(jié)，創(chuàng)設(shè)具有探究性的問題情境，促使學(xué)生積極開動腦筋，在思維碰撞中迸發(fā)出靈感，在獲得解決問題方法的同時，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)的構(gòu)建。如在本課的畫圓活動中，筆者開展自主選擇畫圓活動，讓學(xué)生在具體的操作中感悟圓的本質(zhì)，建立圓的表象。

師：學(xué)習(xí)了這么多的畫圓方法，你最喜歡哪一種，或是你還有什么不一樣的畫圓方法？

生1：我有一種新的方法。就是用一條細(xì)細(xì)的小木條，將它的一端用圖釘固定在紙上，另一端綁好一支鉛筆，這樣旋轉(zhuǎn)一圈，也可以畫出一個圓。

師：是有這樣的方法。那你能根據(jù)自己的畫法，以及工具的使用，解釋一下有關(guān)圓的知識點(diǎn)嗎？

生2：那個圖釘固定的點(diǎn)就是圓的圓心，圖釘與鉛筆之間的距離就是圓的半徑，一圈的曲線就是圓的周長。

生3：看來，使用圓規(guī)畫圓最方便，要大要小都可以，比用木條畫圓方便。

生4：是的，圓規(guī)是畫圓的最好工具。當(dāng)圓規(guī)的釘腳確定下來，圓心也就定下來了，把鉛筆腳調(diào)整一下，就可以畫出大小不一樣的圓了。

生5：圓規(guī)兩腳之間的距離就是圓的半徑。

生6：從圓心開始畫一條線段，另一個端點(diǎn)在圓上，它就是圓的半徑。

生7：這樣的線段有無數(shù)條，所以圓的半徑有無數(shù)條，且它們的長度都是相等的。

生8：如果把這條線段向另一邊延長，也把端點(diǎn)落在圓上，就變成了圓的直徑。同樣，這樣的線段也有很多條，長度也是相等的。

生9：我們在折疊的過程中發(fā)現(xiàn)，圓的直徑就是圓的對稱軸，這說明圓是軸對稱圖形。

生10：圓有無數(shù)條對稱軸，它們都是圓的直徑。

……

有效的認(rèn)知建構(gòu)需要豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來支持，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是智慧的、富有生機(jī)的。結(jié)合上述教學(xué)可以看出，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究不一樣的畫圓方法，并給予學(xué)生自由探究的空間，他們就能夠迸發(fā)出個性化的思維火花，讓整個教學(xué)活動變得有靈性、厚實(shí)。同時，這也為學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)，使學(xué)生對圓的認(rèn)知更加清晰，相應(yīng)的認(rèn)知表象建立也愈發(fā)牢固。

綜上所述，基于不同畫圓活動的開展，以及學(xué)生的自主探究活動，不僅能幫助學(xué)生更有效地感知圓、感悟圓的構(gòu)成元素以及圓的本質(zhì)屬性，還有利于學(xué)生把畫圓的活動體驗(yàn)與圓的學(xué)習(xí)緊密聯(lián)系起來，使得整個教學(xué)活動層層遞進(jìn)，不斷深化學(xué)生的感悟。特別是不同的畫圓活動，能夠幫助學(xué)生借助可視的、可觸摸的實(shí)物，提煉出有價值的數(shù)學(xué)信息，并在交流討論中促進(jìn)思考的深入，最終讓學(xué)生積累更加有意義的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 周麗.抓系統(tǒng)設(shè)計? 促智慧生成：《圓的認(rèn)識》和《認(rèn)識平年和閏年》兩份網(wǎng)絡(luò)教研團(tuán)隊作品評析[J].中國信息技術(shù)教育，2019（Z1）：23-25.

[2] 方芳.重視活動經(jīng)驗(yàn)，凸顯概念本質(zhì)：《圓的認(rèn)識》教學(xué)與思考[J].教育視界， 2018（12）：49-52.

[3] 王茜. 在文化的脈絡(luò)中理解概念：《圓的認(rèn)識》教學(xué)設(shè)計與思考[J]. 教育視界， 2018（12）：55-58.

（責(zé)編 杜 華）