初中數(shù)學(xué)解題中的“反證法”探析

徐冬平

（臨夏州積石山縣移民初級(jí)中學(xué) 甘肅 臨夏 731799）

引言

反證法的思維模式與正向思維方式截然不同，在使用反證法解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生常會(huì)用到“由果溯因”這一思維模式。初中數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)重視使用相應(yīng)的例題，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，鍛煉學(xué)生對(duì)此種解題方法的應(yīng)用。本文舉例了幾種典型的可以使用“反證法”解決的問題，結(jié)合問題不難看出，反證法的思維方式是十分巧妙、獨(dú)特的，學(xué)生可使用這些思維方式輕松地解決一些難度大的數(shù)學(xué)問題，并在此過程中，得到思維能力、問題解決能力的提升。

總而言之，反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是十分廣泛的，它尤其可被用來解決一些基本性質(zhì)、定理、重要結(jié)論類的問題，故而在教學(xué)過程中，教師必須多為學(xué)生傳授“反證法”。

1.反證法的解題步驟介紹

對(duì)反證法的應(yīng)用一般需要經(jīng)歷“反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論”三步驟，三步驟形成了一個(gè)整體。具體應(yīng)用中，我們首先應(yīng)反設(shè)，這是以反設(shè)法解題的前提，對(duì)解題進(jìn)度、結(jié)果有著明顯影響，反設(shè)時(shí)，可先明確題設(shè)的條件，之后找到對(duì)立的假設(shè)，再否定或肯定結(jié)論，實(shí)現(xiàn)反設(shè)。第二步歸謬是使用反證法解題的重難點(diǎn)，主要指的是使用反設(shè)引發(fā)矛盾，因此在實(shí)際的解題過程中，解題者必須結(jié)合推理的主要方向，反設(shè)后條件部分，對(duì)如何找出題目中包含的矛盾形成初步思路。結(jié)論是反證法的第三步驟，主要指的是得出最終結(jié)果的過程。在上一步中，我們通過歸謬得到的矛盾并非新理論，而是經(jīng)由反設(shè)形成的理論，在此種情況下，命題原先的結(jié)論才得以真正成立，到此為止，全部的解題步驟已經(jīng)完成，使用反證法證題的目的已達(dá)到。

在上述解題過程中，找到矛盾是最關(guān)鍵也最難的一步，通常情況下，在使用反證法的過程中，我們最容易接觸到的矛盾有自相矛盾、與假設(shè)矛盾、與已知條件矛盾、與定理定義公理矛盾等。使用反證法證明問題，有利于幫助解題者越過障礙。在反證法的助力下，有時(shí)我們甚至可以使用小學(xué)知識(shí)解決一些難度較高的數(shù)學(xué)問題，反證法的優(yōu)點(diǎn)也由此彰顯。此外，對(duì)問題實(shí)施反設(shè)，也使得解題條件相較于過去有所增加，這也能夠看出反證法在解題過程中有著極為突出的優(yōu)勢(shì)。

需要注意的是，整體看來，反證法的步驟是較好理解的，但實(shí)際解題中，我們必須高度重視反設(shè)的正確性。在結(jié)論存在多種情況或較為隱晦時(shí)，反證常會(huì)存在一定的困難。下面總結(jié)常用的互為否定形式的詞語，以供參考：

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通常情況下，學(xué)生需要認(rèn)真琢磨的結(jié)論有至少有一個(gè)、至多有n 個(gè)、至多有一個(gè)等等，在教學(xué)過程中，教師可結(jié)合這些結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)悟一個(gè)也沒有、至多有兩個(gè)、至多有n 個(gè)這些命題的含義，確保學(xué)生能夠順利地完成證明過程，使數(shù)學(xué)證明變得更為簡(jiǎn)單且便捷。

2.使用反證法解題的注意事項(xiàng)

2.1 正確否定結(jié)論

如下命題就可使用反證法來解決：“在一個(gè)三角形中，內(nèi)角最多只有一個(gè)是直角。”，它代表兩種情況：沒有一個(gè)或僅有一個(gè)，其反面情況分為兩種：三個(gè)內(nèi)角均為直角、兩個(gè)內(nèi)角為直角。

從這一例子不難看出，在使用反證法解題的過程中，我們首先應(yīng)當(dāng)結(jié)合題型結(jié)構(gòu)，使用反證法進(jìn)行否定，從而肯定原有結(jié)論，在否定原始結(jié)論的過程中，我們應(yīng)使用邏輯推理找到矛盾所在的位置，適時(shí)制造矛盾。通過反證法，學(xué)生能夠更好地訓(xùn)練自己的逆向思維，并使用逆向思維完成解題。整體上來看，在現(xiàn)階段的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助反證法解題培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，不僅有利于增強(qiáng)學(xué)生的思維能力，還有利于提升初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，符合課程改革與素質(zhì)教育的要求。

2.2 明確推理特點(diǎn)

反證法的核心內(nèi)容是對(duì)結(jié)論實(shí)施否定，從而推理得出矛盾。但具體應(yīng)用時(shí)，我們一般會(huì)先預(yù)測(cè)矛盾的出現(xiàn)。一般來講，在實(shí)際解題中，我們需要先猜想矛盾出現(xiàn)的相關(guān)領(lǐng)域，通常情況下此領(lǐng)域與命題有關(guān)，舉例而言，學(xué)生在解答平面幾何問題時(shí)，就需要回憶與平面幾何有關(guān)的公理、定義與定理，這是應(yīng)用反證法解題的重要舉措，一般情況下，很難預(yù)測(cè)、規(guī)定矛盾，當(dāng)然這也無必要。在實(shí)際的解題過程中，我們只要能夠證明假設(shè)無誤、推理嚴(yán)謹(jǐn)、有理有據(jù)，就可找到矛盾并進(jìn)行證明。

2.3 辨析矛盾種類

辨析矛盾種類也是使用反證法證明命題的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在實(shí)際操作中，我們是否只能夠?qū)С雒苡陬}設(shè)或部分題設(shè)的結(jié)果呢？答案當(dāng)然不成立。矛盾的結(jié)果是十分復(fù)雜的，或與題設(shè)相矛盾，或與已知命題相矛盾，有時(shí)亦可矛盾于已知定義、公理、定理或性質(zhì)。

3.反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的作用

3.1 反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的魅力

在初中數(shù)學(xué)解題中，反證法屬于典型的間接證法，是一種使用逆向思維進(jìn)行解題的方法。所謂的逆向思維，在實(shí)際應(yīng)用中有著這樣的特點(diǎn)：從命題的題設(shè)切入，找到題目的矛盾，最終確定命題真實(shí)與否。整體上看來，在初中數(shù)學(xué)解題中，反證法有著思想獨(dú)特、手段靈活的特點(diǎn)，學(xué)生若能夠得心應(yīng)手地使用反證法證明題目，一定能夠感受到這種思維方法蘊(yùn)含的無窮魅力。但是，在實(shí)際教學(xué)中，我們常常能夠觀察到，很多初學(xué)者常會(huì)因?yàn)榉醋C法使用的是逆向思維，而不習(xí)慣使用這種證明方法，很多學(xué)生很難把握到這種證明方法的要領(lǐng)，部分學(xué)生甚至?xí)?duì)反證法避而不用。在證題術(shù)中，反證法占據(jù)著極為重要的地位，學(xué)生不僅能夠運(yùn)用它來完成論證，還能夠在論證過程中得到很多全新的發(fā)現(xiàn)，由此可見反證法具有的巨大魅力?？傊?，只要能夠正確理解反證法的規(guī)律，學(xué)生是可以對(duì)這種證明方法運(yùn)用自如的，在不斷運(yùn)用反證法解題的過程中，學(xué)生終究會(huì)培養(yǎng)出清晰、縝密的邏輯思維能力，認(rèn)識(shí)到這是一種使用起來十分便捷、靈活的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)題的高效解答，獲得核心素養(yǎng)的生成與發(fā)展。

3.2 結(jié)合生活實(shí)際，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解題

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師必須重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力尤其是邏輯思維能力，多引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合過去做過的題目，不斷思考、歸納解題技巧，在一次次的復(fù)盤中，習(xí)得良好的數(shù)學(xué)解題能力。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生在遇到困難時(shí)，不輕易說放棄，增強(qiáng)自己的自信心，學(xué)會(huì)使用反證法等巧妙的解題方法應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)。目前看來，反證法在學(xué)生的生活中也有著極為重要的作用，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師常常會(huì)思考如下這一問題：如何使用反證法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。結(jié)合課程改革理念可知，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力必須做到“以學(xué)生為主體”，必須做到“從學(xué)生的真實(shí)狀況出發(fā)”，基于這一理念，在日常教學(xué)中，教師必須引導(dǎo)學(xué)生將反證法使用到現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，學(xué)會(huì)結(jié)合實(shí)際生活解答數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)解題過程變得更為有趣、精彩。在具體的課堂教學(xué)中，教師必須注意不要“照本宣科”，要學(xué)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生的探索興趣，多調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，將數(shù)學(xué)思維真正滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)視作一件趣味無比的事情去做，使學(xué)生真正愛上數(shù)學(xué)這門學(xué)科，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)與學(xué)習(xí)能力的均衡發(fā)展。

4.初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用反證法示例

目前看來，初中數(shù)學(xué)中，能夠使用反證法進(jìn)行證明的命題，大體可被分為五種：定理性命題、無限性命題、唯一性命題、肯定性命題、否定性命題。本文主要例談了對(duì)無限性命題與否定性命題的證明，如下：

4.1 對(duì)無限性命題的證明

“無限”、“無窮”等概念，常出現(xiàn)在求證命題當(dāng)中，學(xué)生使用正面思維去證明此類命題，常會(huì)感到缺乏頭緒，此時(shí)使用反證法就顯得十分必要了。

[案例1]求證：0 與1 之間存在無窮個(gè)有理數(shù)。

證明：假設(shè)有無窮個(gè)有理數(shù)在0 與1 之間，分別為a1、a2、a3...an。將這些有理數(shù)相乘可得b=a1·a2·a3·...·an。依照“有理數(shù)的積仍是有理數(shù)”，我們可以得出，b 必然是位于0 到1之間的有理數(shù)，在此基礎(chǔ)上，我們能夠推導(dǎo)出，0～1 之間的有理數(shù)有n+1 個(gè)，這與題設(shè)必然是矛盾的，故而我們可以推出在0 到1 之間的確有著無窮個(gè)有理數(shù)。

4.2 對(duì)否定性命題的證明

否定性命題的反設(shè)必然就是肯定性命題。實(shí)際解題中，我們只要能夠找出否定性命題中的“特殊”，就能夠?qū)γ}實(shí)施否定，達(dá)到順利解題的目的。

[案例2]求證：已知n 為自然數(shù)，求證n2+n+2 不能被15整除。

證明：若n2+n+2 能夠被15 整除，可以確定這一式必然也能夠被3 或者5 整除。若該數(shù)為5 的倍數(shù)，其尾數(shù)必然為5，可對(duì)式實(shí)施分解：n2+n+2=n（n+1）+2，當(dāng)尾數(shù)為5 時(shí)，該數(shù)必然為奇數(shù)，但從上式可看出，該數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，存在矛盾，故而能夠證明原命題成立。當(dāng)該數(shù)的尾數(shù)為0 時(shí)，我們可知n2+n 的尾數(shù)是8，對(duì)于任意自然數(shù)，n（n+1）的結(jié)果都不會(huì)為8，存在矛盾，故而能夠推出原命題成立。綜合上述兩點(diǎn)結(jié)論，我們最終可推出n2+n+2 不能夠被15 整除。

結(jié)語

目前看來，反證法在初中數(shù)學(xué)解題中，有著一定的地位，涉及反證法的初中數(shù)學(xué)題，通常有著較深的內(nèi)涵與較廣的外延，在使用正向思維解決此類問題的過程中，學(xué)生常會(huì)遇到各種各樣的問題，為幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，教師應(yīng)積極為學(xué)生傳授反證法，引導(dǎo)學(xué)生使用反證法解決問題。但目前看來，很多學(xué)生在遇到難題時(shí)，往往不會(huì)第一時(shí)間想到用反證法來解決，或在解題過程中，遲遲難以找到與原命題矛盾的反設(shè)，這說明學(xué)生掌握反證法存在一定的缺憾。針對(duì)此類問題，建議教師強(qiáng)化對(duì)反證法的講解，引導(dǎo)學(xué)生看透反證法的本質(zhì)，并把握反證法的解題規(guī)律，最終思路清晰地解答問題，這能夠顯著提升學(xué)生的解題能力。