極點(diǎn)極線視角下一類“定點(diǎn)、定線及定值”問題的解法與命制

張宏江 舒華瑛

[摘? 要] 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定線及定值問題都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景——圓錐曲線的極點(diǎn)極線. 文章通過對(duì)圓錐曲線的極點(diǎn)極線的相關(guān)定義及性質(zhì)的介紹與結(jié)論的推導(dǎo)，幫助師生從更高的觀點(diǎn)理解圓錐曲線中一類定點(diǎn)、定線及定值問題的本質(zhì)，快速找到解題方向，拓寬試題命制思路，提升高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線的教學(xué)效率.

[關(guān)鍵詞] 極點(diǎn)極線;調(diào)和共軛;定點(diǎn);定線;定值

從近幾年關(guān)于圓錐曲線的高考題來看，對(duì)定點(diǎn)、定線及定值問題的考查頻次很高. 究其原因，筆者認(rèn)為有以下兩點(diǎn)：

（1）教材中的圓錐曲線的定義就是定點(diǎn)、定線及定值問題：橢圓（或雙曲線）的第一定義是到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離的和（或差的絕對(duì)值）為定值的點(diǎn)的軌跡;圓錐曲線的第二定義是到定點(diǎn)的距離與到定直線（定點(diǎn)不在定直線上）的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡;二次曲線（圓、橢圓、雙曲線）的統(tǒng)一定義是到兩定點(diǎn)的連線的斜率之積為定值（需要補(bǔ)充若干個(gè)點(diǎn)）的點(diǎn)的軌跡.

（2）《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出：教師實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)理解與高中數(shù)學(xué)關(guān)系密切的高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，能夠從更高的觀點(diǎn)理解高中數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì). 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定線及定值問題都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景——圓錐曲線的極點(diǎn)極線. 極點(diǎn)與極線是高等幾何中一個(gè)基本且重要的概念，雖然在中學(xué)教材中沒有具體介紹，但以它為背景命制的高考題卻經(jīng)常出現(xiàn).

思考

圓錐曲線的極點(diǎn)極線是高等幾何中的基本且重要的概念，以它為背景命制的高考題經(jīng)常出現(xiàn). 高中解析幾何中的定點(diǎn)、定線及定值問題一般都是以極點(diǎn)極線為知識(shí)背景，掌握極點(diǎn)極線的相關(guān)概念與基本性質(zhì)，可以從更高的觀點(diǎn)理解定點(diǎn)、定線與定值問題. 應(yīng)用極點(diǎn)極線的相關(guān)結(jié)論不僅可以直接解決定點(diǎn)、定線與定值問題，還可以給常規(guī)法提供解題方向. 學(xué)生解決解析幾何運(yùn)動(dòng)與變化問題時(shí)，常用“動(dòng)中求靜”“變中求定”的思想，圓錐曲線中的這個(gè)“定”往往可以通過極點(diǎn)極線獲得. 命制試題是教師面臨的一大難點(diǎn)，但若教師清楚與高中數(shù)學(xué)關(guān)系密切的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠從更高的觀點(diǎn)理解高中數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，則命制試題能做到游刃有余.