平拋運動問題全解讀

■江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué) 白利燕 李更磊

將物體沿水平方向以一定的初速度(不為零)拋出,在忽略空氣阻力的理想狀況下,物體僅受自身重力作用,做平拋運動。平拋運動是初速度沿水平方向,加速度等于重力加速度g的勻變速曲線運動。深入研究平拋運動的運動規(guī)律和重要推論,掌握平拋運動常見題型的分析與求解方法是同學(xué)們在高三一輪復(fù)習(xí)過程中應(yīng)該完成的主要任務(wù)。

一、平拋運動的特點

利用頻閃照相、錄制視頻、傳感器和計算機測繪等方法得到的做平拋運動的物體的軌跡如圖1 所示,其運動軌跡是拋物線的一部分。根據(jù)研究平拋運動水平分運動和豎直分運動特點的實驗可知,平拋運動可以分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動。做平拋運動的物體到達(dá)任意位置時,水平分位移x=v0t,豎直分位移,水平分速度vx=v0,豎直分速度vy=gt,合位移的大小s=x2+y2,合位移與水平方向間的夾角φ的正切值,合速度的大小,合速度與水平方向間的夾角α的正切值。

圖1

二、平拋運動的推論

推論一：設(shè)做平拋運動的物體到達(dá)任意位置時的末速度與水平方向間的夾角為α,位移與水平方向間的夾角為φ,則總有tanα=2tanφ。

證明：做平拋運動的物體到達(dá)任意位置時,有,因此tanα=2tanφ。

推論二：做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。

證明：做平拋運動的物體到達(dá)任意位置時,末速度與水平方向間的夾角α的正切值,其中x'是末速度的反向延長線與x軸的交點到坐標(biāo)原點的距離,即,解得,即。

推論三：做平拋運動的物體在任意相等的時間間隔Δt內(nèi)的速度變化量Δv=gΔt大小相等,方向恒為豎直向下。

證明：因為做平拋運動的物體在任意時刻的水平分速度vx=v0,豎直分速度vy=gt,經(jīng)過時間Δt,物體的水平分速度vx'=v0,豎直分速度vy'=g(t+Δt),所以物體的水平分速度變化量Δvx=0,豎直分速度變化量Δvy=gΔt,即物體在任意相等的時間間隔Δt內(nèi)的速度變化量Δv=gΔt大小相等,方向恒為豎直向下。

推論四：在某一固定斜面上,將物體沿水平方向拋出,當(dāng)其再次落到斜面上時,物體在空中運動的時間只與初速度大小有關(guān),且初速度越大,運動時間越長。

證明：如圖2所示,設(shè)將物體從傾角為θ的斜面頂端以初速度v0水平拋出,在不計空氣阻力的情況下,物體經(jīng)過時間t落回到斜面上時的水平分位移與豎直分位移分別為x、y,根據(jù)幾何關(guān)系得,解得,因為斜面傾角θ和重力加速度g保持不變,所以物體在空中運動的時間t只與初速度v0的大小有關(guān),且初速度v0越大,運動時間t越長。

圖2

三、平拋運動的常見題型歸類剖析

題型一：求平拋運動的初速度v0。

若已知平拋運動軌跡上某點的位置坐標(biāo)(非原點),則根據(jù)平拋運動軌跡方程得;若已知平拋運動軌跡上某點位移s的大小和方向,則根據(jù)x=scosφ,y=ssinφ得。

例1如圖3所示,將一支飛鏢從傾角θ=45°的斜面底端正上方高H=1.6 m 處以一定的初速度水平拋出,取重力加速度g=10 m/s2,若飛鏢打到斜面上發(fā)生的位移最小,則下列說法中正確的是( )。

圖3

A.飛鏢打到斜面上發(fā)生的位移與斜面成45°角

B.飛鏢打到斜面上發(fā)生的位移與斜面垂直

C.飛鏢的初速度大小為2 m/s

D.飛鏢的初速度大小為4 m/s

解析：要使飛鏢打到斜面上發(fā)生的位移最小,飛鏢的位移應(yīng)與斜面垂直,選項A 錯誤,B正確。設(shè)飛鏢打到斜面上發(fā)生的水平分位移為x、豎直分位移為y,根據(jù)幾何關(guān)系得,根據(jù)平拋運動軌跡方程得,解得v0=2 m/s,選項C 正確,D 錯誤。

答案：BC

題型二：求平拋運動的運動時間t。

若已知拋出點的高度h,則根據(jù)得;若已知平拋運動軌跡上某點速度v的大小和方向,則根據(jù)得;若已知平拋運動軌跡上某點位移s的大小和方向,則根據(jù)得。

例2如圖4所示,無人機攜帶石塊朝向傾角θ=30°的斜坡飛行。已知無人機以速度沿水平方向勻速飛行,某時刻無人機釋放石塊,之后無人機的飛行速度和飛行方向均保持不變,石塊被釋放后經(jīng)過一段時間落在斜坡上。若石塊落在斜坡上時的速度方向與斜面垂直,取重力加速度g=10 m/s2,則下列說法中正確的是( )。

圖4

A.在石塊離開無人機至落到斜坡上的過程中,石塊始終位于無人機的正下方

B.在石塊離開無人機至落到斜坡上的過程中,石塊與無人機間的水平距離越來越大

C.石塊從離開無人機至落到斜坡上所用的時間為0.1 s

D.石塊從離開無人機至落到斜坡上所用的時間為0.3 s

解析：無人機始終沿水平方向做勻速直線運動,石塊離開無人機后做平拋運動,根據(jù)平拋運動特點可知,石塊和無人機在水平方向上做速度大小相等的勻速直線運動,因此在石塊離開無人機至落到斜坡上的過程中,石塊始終位于無人機的正下方,選項A 正確,B錯誤。當(dāng)石塊落在斜坡上時的速度方向與斜面垂直時,根據(jù)幾何關(guān)系得, 解得t=0.3 s,選項C錯誤,D 正確。

答案：AD

題型三：求平拋運動的水平射程x。

根據(jù)x=v0t可知,要想求出平拋運動的水平射程x,需要先求出平拋運動的初速度v0和運動時間t。

例3取水平地面為零重力勢能平面,不計空氣阻力。將一質(zhì)量為m的物塊從離地h高度沿水平方向拋出,若物塊在拋出點時的動能與重力勢能恰好相等,則物塊的落地點到拋出點的水平距離為( )。

A.2hB.h

解析：設(shè)物塊的初速度為v0,根據(jù)物塊在拋出點時的動能與重力勢能相等得,解得。設(shè)物塊做平拋運動的時間為t,則,解得。因此物塊的落地點到拋出點的水平距離x=v0t=2h。

答案：A

題型四：求平拋運動的末速度vt。

例4將甲、乙兩小球從同一斜面頂端沿同一水平方向拋出,小球甲落在斜面的中點處,小球乙落在斜面的底端,不計空氣阻力,則下列說法中正確的是( )。

A.甲、乙兩小球的初速度大小之比為1∶2

B.甲、乙兩小球的位移方向相同

C.甲、乙兩小球的末速度方向不同

解析：甲、乙兩小球落在同一斜面上,則甲、乙兩小球的位移方向相同,選項B 正確。根據(jù)做平拋運動的物體的末速度與水平方向間夾角的正切值總是位移與水平方向間夾角正切值的2倍可知,甲、乙兩小球的末速度方向也相同,選項C錯誤。設(shè)斜面的高度為h,斜面沿水平方向的長度為l,根據(jù)平拋運動規(guī)律得,解得, 即甲、乙兩小球的初速度大小之比,選項A 錯誤。設(shè)甲、乙兩小球的末速度與水平方向間的夾角為α,根據(jù)幾何關(guān)系得,變形得,即甲、乙兩小球的末速度大小之比,選項D 正確。

答案：BD

總結(jié)：平拋運動四個重要推論的推導(dǎo),平拋運動常見題型的分析與求解都是基于平拋運動的特點,結(jié)合數(shù)學(xué)知識得出的。另外,物體做平拋運動的時間由拋出點的高度決定,拋出點離地面越高,物體的運動時間越長;物體做平拋運動的水平射程由拋出點的高度和初速度共同決定,拋出點離地面越高、初速度越大,水平射程越大。同學(xué)們在高三一輪復(fù)習(xí)的過程中,應(yīng)該在理解的前提下,熟練掌握平拋運動的特點、推論,靈活選用平拋運動規(guī)律,結(jié)合動力學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法求解各種類型的問題。