基于CDIO理念的線(xiàn)性代數(shù)課程教學(xué)探索

馮燕茹，程艷，白雪婷

（晉中信息學(xué)院，山西晉中 030800）

近年來(lái)，基于CDIO理念的課程教學(xué)改革研究已取得一些成果。一些學(xué)者基于CDIO理念，提出了四個(gè)層次的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)體系[1]和實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式[2]：楊韌[3]闡述了主動(dòng)式學(xué)習(xí)方式對(duì)教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的重要作用；莫禮平、周愷卿[4]提出了基于CDIO理念的實(shí)踐類(lèi)課程教學(xué)設(shè)計(jì)模式，解決了傳統(tǒng)實(shí)踐類(lèi)課程教學(xué)中知識(shí)獲取與能力培養(yǎng)失衡的問(wèn)題；付琦、聶明[5]通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)手段等的改革，提高了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)效果；梁宏英[6]認(rèn)為高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)由理論轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)踐應(yīng)用的重點(diǎn)是教學(xué)方法和手段的改革；徐琛梅[7]借助Blackboard平臺(tái)，探討了線(xiàn)性代數(shù)課程實(shí)踐教學(xué)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)存在的問(wèn)題；曹宏舉、郭巧麗[8]指出適當(dāng)增加線(xiàn)性代數(shù)課程中的應(yīng)用講解，以此增強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知，強(qiáng)化線(xiàn)性代數(shù)課程的應(yīng)用實(shí)踐。根據(jù)獨(dú)立院校學(xué)生的特點(diǎn)，筆者以CDIO理念為指導(dǎo)思想，運(yùn)用線(xiàn)上教學(xué)平臺(tái)，從教學(xué)模式、教學(xué)方法、考核評(píng)價(jià)體系三方面進(jìn)行教學(xué)改革，構(gòu)建了混合式教學(xué)模式，著重解決線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題[9-10]。

1 線(xiàn)性代數(shù)課程中存在的問(wèn)題

線(xiàn)性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的重要組成部分，是以行列式、矩陣等工具來(lái)研究線(xiàn)性方程組、線(xiàn)性空間、線(xiàn)性變換的一門(mén)學(xué)科，是學(xué)習(xí)近世代數(shù)、圖論、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)。特別是在電子信息時(shí)代，許多工程技術(shù)問(wèn)題的解決都離不開(kāi)線(xiàn)性代數(shù)的理論與方法，因而本課程對(duì)工學(xué)、管理學(xué)等專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)具有基礎(chǔ)性的作用。然而傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程只注重讓學(xué)生做模仿計(jì)算，期末試題多為教材習(xí)題，缺乏創(chuàng)新性與延展性，與該課程的教學(xué)目標(biāo)相悖。除此之外，還存在其他一些問(wèn)題。

（1）注重定義定理講解，忽略知識(shí)背景引入。線(xiàn)性代數(shù)的背景是線(xiàn)性方程組，然而多數(shù)教師授課時(shí)忽視知識(shí)背景的闡述，直接講解相關(guān)定義和定理，學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容感到困惑，影響后續(xù)學(xué)習(xí)效果。

（2）注重講解書(shū)本知識(shí)，忽視培養(yǎng)學(xué)生能力。傳統(tǒng)授課以學(xué)生通過(guò)期末考試為目標(biāo)，且受課時(shí)、績(jī)效考核等客觀條件所限，教師只能按照教材講授相關(guān)理論并進(jìn)行練習(xí)，不利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（3）重視本課程教材內(nèi)容教學(xué)，割裂了基礎(chǔ)課程與專(zhuān)業(yè)課程之間的聯(lián)系[11]。線(xiàn)性代數(shù)是一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，其主要價(jià)值在于為專(zhuān)業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。然而通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)：學(xué)生通過(guò)32課時(shí)的學(xué)習(xí)，只是通過(guò)期末考試，未對(duì)后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)起到輔助作用。造成這一現(xiàn)象的原因主要有兩點(diǎn)：一是教材及課堂教學(xué)以理論知識(shí)為主，缺乏實(shí)際案例；二是教師受課時(shí)及自身專(zhuān)業(yè)背景限制，只能以講授課程知識(shí)為主，無(wú)法與實(shí)際案例相結(jié)合[12]。

2 基于CDIO理念的混合式教學(xué)新模式

“以學(xué)生為主體，以應(yīng)用為目標(biāo)，以科學(xué)化過(guò)程評(píng)價(jià)為主導(dǎo)”的混合式教學(xué)新模式可以改善教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題。該教學(xué)模式的總體思路如圖1所示。

圖1 混合式教學(xué)模式

2.1 以學(xué)生為主體，采用多元化的教學(xué)模式

線(xiàn)性代數(shù)課程的教學(xué)目標(biāo)有：一是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、科學(xué)計(jì)算等基本數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；二是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。基于CDIO理念“做中學(xué)”的原則[13]，采取“探究式+拋錨式”的多元化教學(xué)模式，可以解決傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中存在的忽視課程背景引入和學(xué)生能力培養(yǎng)的問(wèn)題，有助于達(dá)成線(xiàn)性代數(shù)課程的教學(xué)目標(biāo)。

2.1.1 探究式教學(xué)

探究式教學(xué)旨在讓學(xué)生在探討中自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提高學(xué)生的積極性、創(chuàng)造性。精選合適的問(wèn)題是探究式教學(xué)的核心。問(wèn)題選擇的原則是：（1）在教學(xué)時(shí)間有限的前提下，合理安排探究時(shí)間；（2）學(xué)生已經(jīng)掌握所探究問(wèn)題的基本理論和應(yīng)用。比如，探究線(xiàn)性方程組的解題方法。線(xiàn)性方程組一般求解方法是：在有解的情況下，將其轉(zhuǎn)換為矩陣方程，從而求解X=A-1B。首先，教師提出探究的問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)查閱資料、分組討論等方式探索新的解法。其次，學(xué)生在課堂上匯報(bào)、交流。最后，學(xué)生提出迭代法或用數(shù)學(xué)軟件求解等方法。這種教學(xué)模式提高了學(xué)生的思考能力和自主學(xué)習(xí)能力。

2.1.2 拋錨式教學(xué)

拋錨式教學(xué)是指將知識(shí)錨定在某一特定情境中，激發(fā)學(xué)生的好奇心和創(chuàng)造性。這種教學(xué)模式要求以具有感染力的真實(shí)事件或現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為基礎(chǔ)，故又稱(chēng)“實(shí)例教學(xué)”或“情境教學(xué)”。如講解“矩陣的基本概念”時(shí)，首先創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境：每家航空公司都有大量的航線(xiàn)，包括國(guó)際航線(xiàn)和國(guó)內(nèi)航線(xiàn)，如何將大量航線(xiàn)簡(jiǎn)單化表示，以便對(duì)票價(jià)、貨物價(jià)格等展開(kāi)計(jì)算。在此情境下，為學(xué)生講解矩陣的相關(guān)概念，并將航空公司的航線(xiàn)用矩陣表示，形象地向?qū)W生展示了矩陣作為工具在實(shí)際生活中的應(yīng)用。拋錨式教學(xué)有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

2.2 以培養(yǎng)應(yīng)用能力為目標(biāo)，采用多樣化教學(xué)方法

線(xiàn)性代數(shù)課程一般采用講授法，此教學(xué)方法以教師為主導(dǎo)，要求學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)接受大量抽象枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)，由于課時(shí)限制、統(tǒng)一進(jìn)度等問(wèn)題，學(xué)生只能被動(dòng)接受知識(shí)，較難發(fā)揮主觀能動(dòng)性和積極性。因此，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容采用不同的教學(xué)方法，有助于提高學(xué)生的課堂參與度，活躍課堂氛圍，最終實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的課程目標(biāo)。

2.2.1 主題討論法

主題討論法是全班或小組成員在教師的指導(dǎo)下，圍繞某一中心問(wèn)題發(fā)表自己的看法和見(jiàn)解，從而進(jìn)行相互學(xué)習(xí)的一種方法。一般在基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)講解結(jié)束后運(yùn)用此種教學(xué)方法，例如，在講完初等變換與初等矩陣后，以“已知P1P2A=B，其中P1，P2為初等矩陣，則矩陣B是由矩陣A先進(jìn)行P1對(duì)應(yīng)的初等行變換，再進(jìn)行P2對(duì)應(yīng)的初等行變換得到，以上說(shuō)法是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由”為主題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)展開(kāi)討論，學(xué)生之間可以集思廣益，互相啟發(fā)，加深理解，提高認(rèn)識(shí)，同時(shí)還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神，提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力。

2.2.2 讀書(shū)指導(dǎo)法

讀書(shū)指導(dǎo)法是指教師指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀相關(guān)書(shū)籍，以獲得知識(shí)、鞏固知識(shí)、培養(yǎng)自學(xué)能力的一種方法。教師向?qū)W生推薦與課程相關(guān)的課外書(shū)籍或參考文獻(xiàn)，可以根據(jù)課時(shí)安排選取一定的時(shí)間讓學(xué)生參加讀書(shū)分享會(huì)，如果課時(shí)有限，可以與書(shū)院活動(dòng)相結(jié)合，組織讀書(shū)分享會(huì)，有效拓展學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。建議推薦的書(shū)籍以數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)等為主。

2.2.3 線(xiàn)上平臺(tái)輔助教學(xué)法

線(xiàn)性代數(shù)課程課時(shí)少、內(nèi)容多且抽象難懂，對(duì)于初入大學(xué)校園的大一學(xué)生而言，學(xué)習(xí)難度較大。借助學(xué)習(xí)通平臺(tái)，教師提供電子教案、輔助學(xué)習(xí)視頻、課程思政相關(guān)資料、線(xiàn)性代數(shù)相關(guān)案例等豐富的教學(xué)資源，將課堂教學(xué)延伸到課外，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維模式轉(zhuǎn)變，盡快從被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)。與此同時(shí)，將簽到、課堂互動(dòng)、作業(yè)提交、主題討論等一系列教學(xué)活動(dòng)由線(xiàn)下轉(zhuǎn)為線(xiàn)上，使得教學(xué)活動(dòng)更加多樣化，提高教學(xué)效率。

2.3 以過(guò)程評(píng)價(jià)為主導(dǎo)，建立科學(xué)化的考核評(píng)價(jià)體系

課程教學(xué)是一個(gè)持續(xù)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，科學(xué)合理的考核評(píng)價(jià)體系有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。傳統(tǒng)的考核方式“重結(jié)果，輕過(guò)程”，導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)興趣不足?；谝钥即賹W(xué)理念，在平時(shí)考核方面，不僅要制定多樣化的考核指標(biāo)，而且要細(xì)化評(píng)價(jià)方法；在期末考試方面，加入實(shí)際案例題，以便考查學(xué)生處理實(shí)際問(wèn)題的能力。綜合成績(jī)可以依據(jù)基于模糊綜合評(píng)判的考核方式評(píng)定[14]。

2.3.1 平時(shí)考核

平時(shí)考核指標(biāo)主要包括課堂參與度、課后作業(yè)、隨堂練習(xí)、主題討論、任務(wù)點(diǎn)完成等。課堂參與度借助學(xué)習(xí)通平臺(tái)搶答、選人回答等方式完成。課后作業(yè)、隨堂練習(xí)、主題討論等由學(xué)生在學(xué)習(xí)通平臺(tái)提交后自動(dòng)計(jì)入課程積分。相比于傳統(tǒng)的記分冊(cè)記錄成績(jī)，使用線(xiàn)上平臺(tái)有助于量化指標(biāo)數(shù)據(jù)，平時(shí)成績(jī)也更加具有客觀性和說(shuō)服力。同時(shí)，以往的考核中，由于平時(shí)成績(jī)主要作為期末考試卷面成績(jī)的補(bǔ)充，致使過(guò)程性評(píng)價(jià)的作用被弱化，導(dǎo)致學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)積極性不高。改革后的考核方式有效彌補(bǔ)了這一不足。

2.3.2 期末考試

期末考試仍以閉卷考試為主，但在考試題型的設(shè)置上有所改變。除在課程題庫(kù)中選擇常規(guī)試題考查基本理論、概念和計(jì)算外，另增加一道開(kāi)放性試題，用以考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，同時(shí)還可檢驗(yàn)混合式教學(xué)模式的實(shí)施效果。

3 教學(xué)效果分析

期末考試成績(jī)是學(xué)生學(xué)習(xí)成果的最終體現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是對(duì)學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力的考核。圖2體現(xiàn)了2019—2021級(jí)學(xué)生在實(shí)施混合式教學(xué)模式前后期末成績(jī)的變化情況（2019級(jí)采用傳統(tǒng)教學(xué)模式，2020級(jí)開(kāi)始采用混合式教學(xué)模式，2021級(jí)教學(xué)改革效果進(jìn)一步顯現(xiàn)）。期末試卷是在同一題庫(kù)中隨機(jī)選題組成的難度系數(shù)一致的試卷，由教師統(tǒng)一流水閱卷，從而保證了數(shù)據(jù)的有效性。

圖2 改革前后期末成績(jī)對(duì)比

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：實(shí)施新的教學(xué)模式之后，學(xué)生期末成績(jī)不及格率顯著降低，平均成績(jī)有所提高。隨著教學(xué)改革的不斷深入，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)類(lèi)課程的學(xué)習(xí)興趣明顯提高。同時(shí)，全校參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的人數(shù)大幅增加，榮獲省級(jí)一等獎(jiǎng)人數(shù)實(shí)現(xiàn)了零的突破，榮獲三等獎(jiǎng)（含）以上的人數(shù)增多，這也從側(cè)面反映了該教學(xué)模式有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

4 結(jié)語(yǔ)

從實(shí)施過(guò)程和效果可見(jiàn)，混合式教學(xué)模式具有如下優(yōu)點(diǎn)：（1）有助于培養(yǎng)學(xué)生抽象概括問(wèn)題和分析、歸納、總結(jié)問(wèn)題的能力；（2）有助于教師更新教學(xué)理念，追蹤學(xué)科發(fā)展動(dòng)態(tài)，推動(dòng)課程改革。

然而，該教學(xué)模式還存在一些不足之處：理論教學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的融合不足，學(xué)生沒(méi)有足夠的實(shí)操時(shí)間；與不同學(xué)科知識(shí)的融合不足；案例庫(kù)中專(zhuān)業(yè)案例偏少。因此，還需在后續(xù)教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中進(jìn)一步探索和完善。