對(duì)兩道繩、桿連接體問題的深入研究

黃尚鵬

(湖北省監(jiān)利市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué))

本文先對(duì)一道繩連接體問題運(yùn)用兩種方法尋找系統(tǒng)總動(dòng)能最大時(shí)的位置,闡釋“保守力學(xué)體系在系統(tǒng)的平衡位置勢(shì)能取極值”這一結(jié)論;再對(duì)2015年高考全國(guó)Ⅱ卷一道桿連接體問題進(jìn)行定量研究,求出滑塊的最大速度和最大加速度以及桿對(duì)滑塊的作用力隨桿與豎直方向的夾角的變化規(guī)律,并為本題的定性解答提供理論依據(jù),以體現(xiàn)高考命題的科學(xué)性.

1 繩連接體問題的深入研究

1.1 對(duì)原題的分析與解答

圖1

方法1 矢量三角形法

如圖2所示,假設(shè)小球A在A'位置時(shí),A、B組成的系統(tǒng)靜止,此時(shí)輕桿與水平方向成θ角,A'P段的輕繩與水平方向成α角.對(duì)小球A、B進(jìn)行受力分析,小球B受力平衡,輕繩的拉力FT＝mg,小球A受重力2mg、輕桿的彈力FN和輕繩的拉力FT的作用,且這三個(gè)力平衡,構(gòu)成一個(gè)封閉的矢量三角形.在矢量三角形中,由正弦定理得

圖2

聯(lián)立式①②,得sinα＝cosθ,故α+θ＝90°,此時(shí)輕繩與輕桿夾角為90°.

將α+θ＝90°代入式①,得,故此時(shí)輕桿與水平方向的夾角θ＝60°.

方法2 正交分解法

如圖3所示,對(duì)小球A受力分析,由平衡條件得水平方向:豎直方向:

圖3

2)尋找系統(tǒng)總動(dòng)能最大時(shí)的位置.

如圖4所示,假設(shè)小球A運(yùn)動(dòng)到A'位置時(shí),輕桿與水平方向成θ角,A'P段的輕繩與水平方向成α角.由機(jī)械能守恒定律可知,當(dāng)系統(tǒng)的總動(dòng)能最大時(shí),系統(tǒng)的總勢(shì)能最小,系統(tǒng)勢(shì)能減少最多,下面我們用兩種方法尋找系統(tǒng)總動(dòng)能最大時(shí)的位置.

圖4

方法1 數(shù)學(xué)方法

在△POA'中,由余弦定理得

故當(dāng)輕桿與水平方向的夾角θ＝60°時(shí),即在系統(tǒng)靜止時(shí)的平衡位置,A、B組成的系統(tǒng)總動(dòng)能最大.

方法2 物理方法

根據(jù)重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系WG＝-ΔEp可知,當(dāng)系統(tǒng)的重力做正功時(shí),系統(tǒng)的重力勢(shì)能減少,當(dāng)系統(tǒng)的重力做負(fù)功時(shí),系統(tǒng)的重力勢(shì)能增加,故當(dāng)系統(tǒng)的重力總功率為零時(shí),系統(tǒng)勢(shì)能取極值.或者對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理W合＝ΔEk,當(dāng)系統(tǒng)的合外力做功最多時(shí),系統(tǒng)的總動(dòng)能增加最多,故當(dāng)系統(tǒng)的重力總功率為零時(shí),系統(tǒng)的總動(dòng)能最大.設(shè)此時(shí)小球A的速度為vA(vA與輕桿垂直),小球B的速度為vB,則

聯(lián)立式①②③,得sinα＝cosθ,故α+θ＝90°,此時(shí)輕繩與輕桿夾角為90°,即在系統(tǒng)靜止時(shí)的平衡位置,A、B組成的系統(tǒng)總動(dòng)能最大.

1.2 總結(jié)

1)本題要尋找系統(tǒng)總動(dòng)能最大時(shí)的位置,常規(guī)思路是根據(jù)機(jī)械能守恒定律得出系統(tǒng)總動(dòng)能的表達(dá)式,然后利用數(shù)學(xué)工具求極值,考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力.方法1以θ為自變量,利用導(dǎo)數(shù)工具,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解,由一階導(dǎo)數(shù)為零求出極值出現(xiàn)的位置.方法2是物理解法,根據(jù)“系統(tǒng)的重力總功率為零時(shí)系統(tǒng)的總動(dòng)能最大”這一條件巧解,屬于特殊快捷解法,要求考生具有敏銳的洞察力,一般考生難以想到.

2)本題得出系統(tǒng)在靜止時(shí)的平衡位置總動(dòng)能最大,這是一種巧合還是必然呢? 其實(shí)理論力學(xué)中根據(jù)分析力學(xué)原理可得出這樣一個(gè)基本結(jié)論:保守力學(xué)體系在系統(tǒng)的平衡位置勢(shì)能取極值,本題就是根據(jù)這一結(jié)論改編而成的.為進(jìn)一步理解這一思想,筆者再舉一個(gè)典型例子.如圖5所示,半徑為r的光滑半球形碗O固定在水平面上,一長(zhǎng)度為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)棒斜靠在碗緣,一端A在碗內(nèi),另一端B在碗外,棒靜止時(shí)與水平方向的夾角為α,試證明:

圖5

我們知道如果一個(gè)力所做的功與具體路徑無(wú)關(guān),這種力叫作保守力.在保守力場(chǎng)中,保守力所做的功等于勢(shì)能的減少.保守力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)時(shí)勢(shì)能取極值,根據(jù)系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零,可得出系統(tǒng)在保守力以及約束力等作用下的平衡位置,因此此平衡問題也可用能量的觀點(diǎn)求解.如圖6所示,選碗口所在的水平面為重力勢(shì)能參考面,則棒的勢(shì)函數(shù)

圖6

以α為自變量,對(duì)勢(shì)函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù),并令導(dǎo)數(shù)為零,尋找平衡位置,即

為驗(yàn)證上述解法是否正確,嘗試用其他觀點(diǎn)求解本題.如圖7所示,對(duì)棒進(jìn)行受力分析,由三力匯交原理知,彈力FN1、彈力FN2和重力mg的作用線相交于一點(diǎn)E.由幾何關(guān)系得lOA＝lOD＝lOE＝r,∠DOE＝2α,∠AEC＝90°-2α,∠ACE＝90°+α.在△ACE中,由正弦定理得所以有

圖7

2 桿連接體問題的深入研究

圖8

A.a落地前,輕桿對(duì)b一直做正功

B.a落地時(shí)速度大小為

C.a下落過程中,其加速度大小始終不大于g

D.a落地前,當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí),b對(duì)地面的壓力大小為mg

2.1 滑塊a 落地前,滑塊b 的最大速度

為方便起見,我們假設(shè)初始時(shí)刻輕桿沿豎直方向,桿長(zhǎng)為L(zhǎng),由于受到輕微擾動(dòng),整個(gè)系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng).

如圖9所示,設(shè)某時(shí)刻滑塊a、b的速度分別為va、vb,此時(shí)刻桿與豎直方向的夾角為θ,根據(jù)兩滑塊沿桿方向的分速度相等得

圖9

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒,得

2.2 滑塊a 落地前,滑塊a 的最大加速度

如圖10所示,由速度矢量三角形得滑塊b相對(duì)滑塊a的速度與兩滑塊的速度大小關(guān)系為

圖10

滑塊a的a0-cosθ圖像是拋物線的一部分,如圖11所示,其中當(dāng)cosθ＝2 3時(shí),滑塊a的加速度a0＝g,這是不難理解的,因?yàn)橛汕懊娴姆治隹芍?此時(shí)b的速度最大,b的加速度為零,桿對(duì)兩滑塊的作用力F＝0.

圖11

2.3 滑塊a 落地前,桿對(duì)滑塊的作用力F 隨桿與豎直方向的夾角θ 的變化規(guī)律

如圖12所示,設(shè)桿對(duì)兩滑塊的作用力為F(下面我們約定用正值表示推力,負(fù)值表示拉力),對(duì)兩滑塊受力分析,設(shè)地面對(duì)滑塊b的支持力為FN,在地面參考系中,滑塊b在豎直方向處于靜止,由平衡條件得

圖12

選滑塊a為參照系(非慣性系),研究滑塊b相對(duì)滑塊a的運(yùn)動(dòng),為使牛頓運(yùn)動(dòng)定律成立,必須引入慣性力,慣性力的大小

滑塊b相對(duì)滑塊a做圓周運(yùn)動(dòng),向心力為指向圓心的合力

3)滑塊a的加速度大小,化簡(jiǎn)得a0＝(-3cos2θ+2cosθ+1)g,這與前面得出的結(jié)論完全一致.

(完)