基于模糊控制的懸浮轉子感應加熱方法

李東峰，李冬梅，張 嶸，賀曉霞

（清華大學 精密儀器系，北京 100084）

慣性儀器的性能對溫度變化十分敏感。真空懸浮金屬球轉子作為一種高精度導航儀器的核心部件，從室溫狀態(tài)啟動后必須要與支承電極碗實現(xiàn)溫度平衡后，方可進入工作狀態(tài)[1]。由于懸浮轉子與外部腔體無機械接觸，僅依靠輻射傳熱實現(xiàn)熱平衡所需時間較長，文獻[2]的研究指出轉子熱平衡過程的時間常數(shù)約為6.6 小時，平衡過程歷時20 小時以上，極大地制約了測試系統(tǒng)的啟動效率。目前國內(nèi)外尚無相關研究對轉子升溫平衡過程進行主動加熱控制。

針對金屬球轉子在交變磁場中的不同運動狀態(tài)，文獻[3-5]對金屬球上產(chǎn)生的電渦流及熱效應進行了研究，為尋找主動磁感應加熱方式提供了思路。文獻[6]在優(yōu)化線圈結構的研究中完善了旋轉磁場的加轉模型，文獻[7]進一步在改進模型中發(fā)現(xiàn)：可以在不改變現(xiàn)有結構條件下，調節(jié)兩路線圈中加載控制信號的相位差，產(chǎn)生一種特殊旋轉橢圓磁場，對高速旋轉的轉子進行非接觸式感應加熱，在不引入額外轉矩改變轉子轉速的條件下顯著提升轉子溫升速率。文獻[7]的研究從仿真計算證明了零施矩感應加熱方案的可行性，但未進行相關控制方案設計與工程化應用。

因此，為了解決金屬球轉子進入高速旋轉狀態(tài)后升溫緩慢問題，本文以文獻[7]提出的感應加熱方法為手段，引入模糊控制方式調整兩路線圈中的控制信號相位差，利用數(shù)字控制技術對轉子進行主動加熱控制。實驗結果表明，借助模糊控制方法，可以在維持轉子轉速條件下，實現(xiàn)對轉子的持續(xù)穩(wěn)定加熱，有效縮短熱平衡時間至5 小時以內(nèi)，極大地提升儀器測試系統(tǒng)整體啟動效率。

1 旋轉橢圓磁場

1.1 轉子-線圈加轉模型

轉子加轉啟動過程類似于交流異步電機，利用了交流旋轉磁場產(chǎn)生加轉力矩的原理，其空間結構如圖1 所示。在加轉平面XY 內(nèi)，由外部四個完全相同的線圈做定子，內(nèi)部懸浮金屬球做轉子，其中對向線圈分為A1A2、B1B2兩組，在加轉平面內(nèi)呈正交分布[8]。

圖1 轉子-線圈結構模型Fig.1 Structural model of rotor and coils

加轉狀態(tài)下，同一組對向線圈的抽頭N 相連，另外兩個抽頭分別做信號接入端P 和接地端GND。當在同一組線圈P 端通以一定形式的電信號，產(chǎn)生的磁場方向也相同。當向兩組線圈分別施加具有90°相位差的同頻等幅正弦交流信號，線圈中磁感應強度隨加載信號同頻變化，合磁場為交流旋轉圓形磁場Bm，對轉子產(chǎn)生垂直于加轉平面的旋轉力矩T 帶動轉子轉動。

1.2 旋轉橢圓磁場

加轉線圈中產(chǎn)生的磁場強度與控制信號電壓幅值成正比，通過調整控制信號產(chǎn)生單一空間指向的交變磁場B，從磁矢量勢的泊松方程出發(fā)[9-10]，推導轉子在外磁場中受力矩T為公式[9]：

式(1)中A為磁矢量勢，τ為轉子金屬導體電阻率，r 為徑向單位矢量，r為金屬球轉子半徑，根據(jù)磁矢量勢和磁感應強度有關系式[9]：

忽略高階小量，磁矢量勢簡化有近似微分方程[9]：

式(3)中μ為相對磁導率。文獻[9]采用分段求解，在一個交變磁場周期內(nèi)做平均后，可以給出轉子在某一軸方向上受加轉力矩。文獻[7]在此基礎上，針對本文轉子-線圈空間結構模型，當兩路正弦控制信號在正交方向分別產(chǎn)生磁場強度Bi、Bj，相位差90°，也即合磁場B=Bisinωmti +Bjcosωmtj 作用下，給出轉子在轉軸Z 方向受到的加轉力矩表達式[7]：

式(4)中ωm為加轉控制信號角頻率，ω為轉子旋轉角頻率，r為轉子半徑，ζ為金屬球轉子表面電阻率。式中Bi、Bj為任意非零值時，將在空間形成旋轉橢圓磁場。特別地，當Bi=Bj時，在空間產(chǎn)生旋轉圓形磁場。

1.3 零施矩條件

轉子與外部線圈溫度升高將引起加轉力矩顯著下降，因此必須要采取冷啟動方式，即在較低溫度下加轉至額定轉速，隨后經(jīng)過較長熱平衡過程等待轉子溫度升至與外部電極碗腔體一致[1]。因此要考慮在完成加轉過程后對轉子進行加熱控制。

在對旋轉橢圓磁場理論的研究中，文獻[7]發(fā)現(xiàn)存在一種特殊的磁場條件使得Tz=0，即加轉過程不施加轉矩，此時確定磁感應強度滿足關系式[7]：

式(5)中κ為與轉子表面電阻率、轉子半徑、加轉控制信號角頻率和轉子旋轉角頻率有關的系數(shù)，滿足公式[7]：

此條件下作用于金屬球轉子的電磁場能全部轉化為轉子內(nèi)能，引起轉子溫度快速升高，這一特殊橢圓磁場稱為零施矩磁場。這一過程本質上是利用感應渦流生熱，是一種特殊的加轉過程。在轉子高速旋轉條件下，僅調節(jié)線圈中兩路正弦信號的相對幅值大小，即可獲得這一特殊零施矩磁場。實際上，如果保持兩路控制信號幅值相等，僅調節(jié)兩路信號的相位差，兩組對向線圈中產(chǎn)生的合磁場也是旋轉橢圓磁場。

進一步地，要使調相實現(xiàn)的旋轉橢圓磁場也實現(xiàn)零施矩條件，此時相位角Φh應滿足條件：

在式(7)條件下，采用調相方式可以獲得等效零施矩磁場，對轉子進行感應加熱。零施矩條件下，參數(shù)κ的表達式(6)中，轉子表面電阻率ζ隨轉子溫度升高變化會改變零施矩磁場條件，即零施矩相位角也會移動。因為調相方式只涉及相位差一個控制變量，且不受控制信號幅值限制，所以本文考慮采用調相方式實現(xiàn)零施矩感應加熱。

2 模糊控制

2.1 模糊控制

零施矩感應加熱條件下，考慮當兩路控制信號相位差偏離零施矩條件，轉子表面受額外非零力矩，轉速會偏離額定值nm，所以可以建立以轉子轉速為反饋的閉環(huán)控制過程，以實現(xiàn)零施矩相位角的動態(tài)調整。采用調相方式控制轉速恒定是一個非線性過程，模糊控制方法較為適合本文設計。

模糊控制理論的核心在于建立模糊控制規(guī)則，是一種基于人類思維模式的主觀控制方法。它擺脫了對被控對象數(shù)學模型的限制，較為適合難以掌握被控對象內(nèi)部結構與數(shù)學模型的復雜系統(tǒng)控制過程，尤其是對存在非線性、時變和滯后等問題的控制過程，具有較好的魯棒性和適應性[11]。

2.2 基于模糊控制的算法設計

采用模糊控制實現(xiàn)零施矩感應加熱過程的調相恒速控制，具體實現(xiàn)包含以下幾個步驟：

1)確定控制器結構

以實時轉速與額定轉速的差值en和轉速差變化率ecn作為輸入量設計二維模糊控制器，控制器直接輸出量為相位差Φh變化量ΔΦh。模糊控制器系統(tǒng)設計框圖如圖2 所示，控制器輸出量為零施矩相位角調整增量ΔΦh，改變作用于轉子的加轉力矩Tz，控制轉子轉速n，Jζ為轉子轉動慣量，1Jζs代表了控制過程被控對象，虛線框內(nèi)為模糊控制器，表征了控制器內(nèi)部進行的基本控制過程：二維輸入變量經(jīng)過隸屬度函數(shù)庫μF進行清晰值模糊化（D F），對模糊變量在包含模糊運算規(guī)則的知識庫R中進行模糊運算過程（A*?R），得到輸出變量的模糊量，最后由清晰化方法庫fd進行模糊量清晰化（F D）過程。

圖2 模糊控制器框圖Fig.2 Block diagram of fuzzy controller

2)模糊化輸入、輸出量

根據(jù)實驗獲取加轉特性變化數(shù)據(jù)，確定轉速差en的模糊量SE，模糊子集簡記為{NL(負低)，L(低)，ML(零低)，MH(零高)，H(高)，PH(正高)}；轉速差變化率ecn的模糊量SEC，模糊子集為{ DNL(負低)，DL(低)，DML(零低)，DMH(零高)，DH(高)，DPH(正高)}；相位角變化量ΔΦh的模糊量U，模糊子集為{NB(負大)，NM(負中)，NS(負小)，PS(正小)，PM(正中)，PB(正大)}。

隸屬函數(shù)庫μF中存儲了用以將數(shù)字清晰量轉換為模糊量的隸屬度函數(shù)。各變量論域上的模糊子集分布是不均勻的，尤其在平衡零點附近采用斜率較大的三角形隸屬度函數(shù)，既提高平衡零點附近的轉速控制精度，又可以在偏差較大時使系統(tǒng)從遠離平衡點處迅速趨向平衡點附近[12]。

3) 建立模糊規(guī)則

模糊規(guī)則的建立依賴于實驗操作經(jīng)驗，設計實驗獲取零施矩相位角Φh附近相位角變化量與加轉力矩的變化關系，實際中加轉力矩的變化可由轉速差與轉速差變化率表征。根據(jù)調試經(jīng)驗，形成模糊控制知識庫R，建立模糊控制規(guī)則表以進行模糊運算。

4) 近似推理

模糊推理采用Mamdani 型推理，定義uen、uecn、分別為轉速差、轉速差變化率和輸出相位角變化量的隸屬度，∩為Mamdani 推理中的取小算子，則輸出相位角變化量的隸屬度有表達式：

5) 輸出量清晰化

輸出模糊量清晰化采用方法庫fd中的最大隸屬度平均值法，即確定最大隸屬度對應的所有輸出量值點取其平均值，得到輸出相位角變化量清晰值。

3 實驗測試

3.1 橢圓磁場加轉特性

本文選取400 r/s 額定轉速條件進行相關實驗設計，實驗硬件條件是基于DSP 的數(shù)字控制電路，設計了以DDS芯片AD9958為核心的雙通道正弦信號發(fā)生器模塊，通過DSP 內(nèi)部SPI 通信指令控制AD9958 產(chǎn)生兩路24 V 幅值，1000 Hz 頻率正弦加轉信號，在400 r/s 轉速條件下實現(xiàn)零施矩感應加熱。室溫下啟動轉子至額定轉速，由于初始溫度與加轉過程熱效應的差異，進入零施矩感應加熱條件的初始相位角Φh一般在55 °附近，此時圍繞Φh附近以一定幅度調整兩路信號相位差，得到轉子轉速變化率如表1 所示。

表1 相位角調節(jié)與轉速差變化率關系Tab.1 Relationship between phase difference adjustment and speed change rate

據(jù)表1 總結出以下調試經(jīng)驗：輸出相位角調整值ΔΦh越大，引起轉速偏差ecn變化越快；轉速偏差變化率的符號由相位角調整方向決定。

3.2 模糊控制器設計

二維模糊控制器設計中，根據(jù)手動調試經(jīng)驗，以轉速差為例，選取轉速差en的模糊量SE 論域為[-2 r/s,2 r/s]，其模糊子集對應隸屬度函數(shù)如圖3 所示。轉速差變化率、相位角調整量采用了相似的隸屬度函數(shù)，模糊子集分布有所差異而有調整，以提升控制器動態(tài)控制性能。

圖3 隸屬度函數(shù)Fig.3 Membership functions

根據(jù)手動調試經(jīng)驗進一步形成模糊控制知識庫，建立模糊控制規(guī)則表，如表2 所示。模糊推理過程采用Mamdani 型推理方法，清晰化過程以最大隸屬度平均值法得到零施矩相位角調整量輸出清晰值，以實現(xiàn)感應加熱過程的恒速控制。

表2 模糊規(guī)則控制表Tab.2 Fuzzy rule control table

3.3 感應加熱功率調整

利用模糊控制，在400 r/s 轉速附近進入調相恒速控制狀態(tài)，實現(xiàn)零施矩感應加熱過程。設置控制信號幅值24 V，頻率1000 Hz，轉子轉速與零施矩相位角變化情況如圖4 所示，穩(wěn)態(tài)轉速控制精度優(yōu)于0.02 r/s。

圖4 感應加熱過程轉速與零施矩相位角變化情況Fig.4 Variation of speed and phase difference during heating

感應加熱過程還需要對加熱功率進行一定限制。實際中加熱功率不易直接測量，但轉子溫升速率與加熱功率成正比，加熱過程轉子溫度和電極碗溫度的相對變化引起熱脹冷縮，會通過支承間隙變化反映到支承電壓變化上，具體體現(xiàn)為公式：

式(9)中ΔTr、ΔTe分別為轉子和電極碗溫度變化，αr、αe分別為轉子和電極碗材料熱膨脹系數(shù)，K為間隙-控制電壓系數(shù)，ΔVz為支承軸Z 軸方向控制電壓變化量。忽略轉子自轉引起的離心變形影響，將線性方程(9)兩端同除Δt，整理后得到轉子溫度變化速率估算式：

測試條件下式(10)中各參數(shù)與常量取值見表3。改變控制信號幅值依次為24 V、17 V、12 V，當轉軸垂直于地面，對比多組測試加熱功率下Z 軸支承電壓變化情況并進行線性擬合，結果如圖5 所示。三組不同控制電壓條件下進行加熱實驗，得到Z 軸支承電壓變化速率依次為-284.7 mV/h、-125.2 mV/h、-40.7 mV/h。

表3 參數(shù)與常量取值Tab.3 Parameters and constants

圖5 不同加熱功率下Z 軸支承電壓變化情況Fig.5 Variation of Z-axis support voltage under different heating powers

加熱階段電極碗溫升速率由外部溫控系統(tǒng)調節(jié)，一般情況下碗溫升速率ΔTeΔt大約為30°C h，代入式(10)分別估算三組控制信號下轉子溫升速率為45.86°C h、31.86°C h、24.44°C h，得到實際測試感應生熱功率與信號幅值基本滿足正比關系，這與控制信號頻率、幅值、金屬球形狀、運動方式、線圈結構、線圈發(fā)熱情況等諸多因素有關。

對比相同條件下，自然熱平衡過程在穩(wěn)定熱輻射階段換熱效率與轉子和電極碗的溫度差有關，隨時間呈指數(shù)衰減，最高約為20°C h，可見利用控制信號進行持續(xù)主動感應加熱，可以使轉子溫度更快速升高。考慮到外部電極碗溫升速率限制，最終選取18 V 為一般情況下感應加熱控制信號的幅值。

3.4 實驗結果

配合外部電極碗溫度控制與轉子間接測溫手段，對比自然輻射傳熱方式與18 V 控制電壓下感應加熱方式，實現(xiàn)熱平衡過程轉子溫度的變化情況，如圖6所示。實驗結果顯示，基于模糊控制方法實現(xiàn)感應加熱控制，使轉子溫度快速從室溫升高至與電極碗溫度平衡，熱平衡時間縮短至5 小時以內(nèi)，相比自然輻射傳熱過程所需20 小時以上熱平衡時間，本文實現(xiàn)的主動加熱方式使轉子熱啟動效率提高75%以上，極大地提高了測試系統(tǒng)整體的啟動效率。

圖6 轉子溫度在不同熱平衡條件下變化對比Fig.6 Variation of rotor’s temperature under different heating conditions

4 結論

針對真空懸浮金屬球轉子在加轉啟動后升溫緩慢、熱平衡所需時間長問題，本文以文獻[7]提出的零施矩感應加熱方法為基礎，提出了一種基于模糊控制的感應加熱控制手段。在400 r/s 額定轉速下，本文實現(xiàn)了針對真空懸浮轉子的感應加熱過程閉環(huán)控制，在保證恒速控制精度的條件下，可對轉子進行長時間穩(wěn)定加熱，顯著縮短熱平衡時間，相比自然輻射傳熱過程，有效提高了測試系統(tǒng)的啟動效率，為后續(xù)在設備實用化方面提供了應用參考。